1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Плоскость А можно рассматривать как касательное пространство к многообразию %„ в точке М, так как векторы $' плоскости А служат изображением всевозможных тензоров $' в данной точке М многообразия 8)1 . (с сохранением линейных зависимостей между ними). дх С другой стороны, векторы В = — суть всевозможные касательаг ные векторы к поверхности % в ланной точке М, т. е. касательные к всевозможным кривым на Й1 в этой точке. Поэтому порожденную ими плоскость А можно рассмзтривать как касательную плоскость к поверхности х)1 Первая точка зрения на А,„ является, так сказать, внутренней, вторая †внешн. (Пользуясь рис.
16, нужно помнить, что изображенные на нем векторы и плоскость Л„ на свмом леле не принадлежат многообразию 21„, в котором расположена поверхность %„, йхг — в многообразии 3))ы Связь межлу этими двумя тензорами является, очевидно, инвариантнон и заключается в том, что они получены дифферениированием текуших координат соответственно и" и кь по одному и тому же параметру вдоль одной и той же кради" вой в одной и той же точке.
Тем самым каждый тензор — через дг дх' посредство тензора — — изображается некоторым вектором в )))с дг ь (т. е. в касательном пространстве Л„). Будем проводить теперь по поверхности через данную ее точку М всевозможные кривые (83.8). Для всех этих кривых строим в а точке М касательные векторы (83.9]. Тогда под вилам — мы будь дем получать всевозможные тензоры $" в Ы (в ланной его точке М). Им соответствуют векторы я = — „в 3)(„согласно (83.9): йх' (гл ю 378 многоояелзия и, строго говоря, должны были бы изображаться отдельно в каса- течьном пространс>ве Ач.) Векторы (83.11), на которых строится А„, являются касатель- ными векгорамн к координатным линиям и', ..., и (под координатной линией и" мы понимаем крне вую на поверхности, вдоль которой меняется лишь данный параметр и' при постоянных значениях остальных паранетров).
В самом деле, если в (83.8) положить, в частности, и' = г', и'= сопз1, ..., и = сопз1, т. е. рассмотреть координатную линию и', то (83.9) дает дх' дх> ВГ ди' ' Рнс. 1б. й 84. Понятие о многообразии В этом параграфе мы дадим точное определение понятия многообразия, пользуясь уже установленным нами понятием элементарного многообразия. Мы будем называть и-мерным многообразием класса >» множество Й(, в котором задана конечная или счетная система подмножеств Й(<„>, удовлетворяющая следующим условиям (элементы множества И будем называть тачками). 1'. Каждое подмножество Иех> есть элементарное л-мерное многообразие класса М.
2'. Каждая точка М множества И входит, по крайней мере, в одно Ща>. 3', Если два подмножества Й(>н>, %<я> пересекаются по некоторому непустому множеству Я, то оно образует (вообще говоря, несвязную) область как в И>„>, так и в Й(<в>1 при этом, когда точка м пробегает Я, ее координаты дг в Й(>я> являются >» раз непрерывно дифференцируемыми однозначными функпиями от ее координат к' в Й(>н>, равно как и обратно. 4'.
Если М, и М, †д различные точки И, причем М, ЕИин>, М, ЕЛЦ,> (допускается, в частности, и совпадение од ††-о,), то в дх' что и показывает, что — есть вектор, касательный к линии и'. ди' С точки зрения многообразия И„векторы (83.11) образую~ локальный репер, жо ле~ко обнаружить подсчетом их координат в Ичр например, координаты первого из них будут $" =-б„и т.
д. 3?9 э 34) ПОНЯТИЕ О МНОГООБРАЗИИ Щ„,> найдется область Я, й М» и в Исм> — область Я» 3 М„ не пересекающиеся между собой. любые два подмножества И! > и %>в> можно связать конечной цепочкой последовательно пересекающихся между собой подмножеств Щт>! точнее, существует конечная последовательность И! > (1=1, 2, ..., »), причем Щтс> и Щ,,> всегда между собой пересекаются и, кроме того, !Йш> пересекается с %>т,>, а 3)1>в> с %>тл ' Смысл этих условий следующий. Условия 1' и 2' означают, что % «склеено» из конечного или счетного запаса элементарных многообразий Иш>, частью, возможно, не имеющих общих точек, частью налегающих друг на друга или даже заключающих одно другое.
Впрочем в последнем случае %>зн входящее в Щ >, является по существу лишним и может быть изъято без ущерба для дела. Условие 3' требует, чтобы (непустое) пересечение Я элементарных многообразий Щ„> и %>в> было областью (открытым множеством) и в Щ«> и в ЩВ>. Это значит, что если точка М~Щ,„> склеена с какой-то точкой ь Е3)1>в>, то и некоторая окрестность ~очки М в Иш> тоже подклеивается к Щв>,.т. е.
не может быть так, чтобы И! > и Й1>в> до какого-то места были подклеены друг к другу, а дальше отходили бы одно от другого. Другими словами, склеенное из %е»> многообразие % не должно «ветвиться» вследствие неаккуратной, неполной подклейки многообразий Щ„> друг к другу. Далее, условие 3' требует, чтобы в склеенных местах многообразий Щ„>, %>В> их дифференцируемая структура была одинаковой, т. е.
координаты в одном и в другом многообразии были связаны !»' раз непрерывно дифференцируемыми преобразованиями. Действительно, если бы этого не было, то мы не знали бы, какую днфференцируемую структуру приписать многообрази>о % в области Я: заимствованную из ИГ»> или из И!Б>? Нри наличии же нашего условия это становится безразличным. Координатной системой в И мы будем называть любую координатную систему в любом Щ„>. Вели нас интересуют лишь чисто локальные свойства многообразия %, т.
е. его поведение в некоторой окрестности произвольной точки М, то для этого перечисленных требований 1' — 3', в сущности, достаточно. Однако если ограничиться этим, то мы допустим существование многообразий, весьма неприятных в некоторых отношениях. Прежде всего, несмотря на условие 3', все еще возможно «ветвление» многообразия %. Рассмотрим прос~ой пример: пусть п = 1 и % склеивается из двух одномерных элементарных многообразий Щ»>, %>»„представляющих собой интервалы ( — 1, 1) на осях х>, х' соответственно: Иц,( — 1 < х> < 1), 330 [ГЧ.
Ш МНОГООБРАЗИЯ 3)!„,( — 1 < х' < 1!. Образуем %, склеивая %гм и Щя, следующим образом: точки х' при — 1 < х' ( О отождествляются с точками хя при — 1 ( хя ( 0 по при1шипу равенства координат х'=х'! Гочки х' при 0(х' <1 и точки х' при 0(х'<1 не склеиваются нн с чем., В результате % будет состоять из интервала — 1 < х ( 0 (это будет область пересечения 3!) и примыкающего к нему раздвоенного полуинтервала 0 ( х ( 1, т. е. % будет ветви~ься. (т!ежду тем условие 3', как легко проверить, полностью саблю- дается. ветвление этого типз оно неспособно устранить, хотя и устраняет ветвление более грубого характерз, например, если бы мы составили Й! из полуинтервала — 1 < х -. 0 н из примыкающего к нему раздвоенного интервала 0 ( х ( 1 (действительно, в атом случае 3(( — 1 ( х ( О) не будет областью).
Чтобы устранить не только такие, но и более тонкие случаи ветвления %, подобные приведенному выше примеру, мы вводим условие 4 (аксиому Хаусдорфа). Теперь и первый наш пример становится невозможным, так как условие 4' в нем нарушено для точек х' = 0 и х' = 0 (в % †э различные точки). Действительно, какими бы интервалами ни окружать зти точки в 3)(,т, и %еп соответственно, зти интервалы всегда будут иметь общие ~очки в склеенной части в 1 ( х < О. Наконец, мы не хотим, чтобы многообразие % состояло из отдельных, ничем не связанных между собой кусков, Условие б' (условие связности многообразия) устраняет эту возможность и преврагдает многообразие в единое целое, не распадающееся на не пересекающиеся между собой многообразия. Отметим, что в многообразии %, естественно, определяется понятие облзсти (открытого множества): вто множество точек, содержащее вместе с каждой своей точкой М (х,) и все точки М(х'), для которых разности х' — х', по модулю меньше некоторого 6) 0 (6 зависит от М ); под х! понимается какая-либо координатная система в каком-нибудь элементарном многообразии %<ш содержащем М,.
Нетрудно показать, что смысл определения не зависит от того или иного выбора этой координатной системы. Определенный таким образом класс открытых множеств удовлетворяет аксиомам 1опологического пространства, специальным случаем которого н является многообразие. Далее, мы говорим, чго переменная точка М стремится к точке М„ (стремится или по последовательности положений М (а = 1, 2, ...) или как функция М(!) непрерывно растущего (убывающего) параметра 1- ге), если точка М с некоторого момента нахо.
днтся в области действия координатной системы, включающей точку М„и координаты х'точки М стремятся к координатам х, точки Ма 38! й 84) ПОНЯТИЕ О МНОГООБРАЗИИ (если сказанное имеет место для одной координатной системы, включающей Мь, то и для любой другой — тоже). В силу условия 4' наша переменная точка М не может стремиться одновременно к двум различным точкам М, М,. Мы называем кривой «параметризованное» множество точек М(<), где <<(<(<я, если прн достаточно малых изменениях любого данного значения < точка М (<) остается в пределах одной координатной системы, причем ес текущие координаты х (<) < — АГ раз непрерывно дифференцируемые функции. Далее мы говорим, что в % залано тензорное поле, например (т',тм если в % в каждой точке М и в каждой координатной системе х< (действующей в области, содержаи<ей точку М) задана система чисел )т',ь(М), которые Аà — 1 раз непрерывно днфференцируемым образом зависят от координат х', ..., х" точки М и преобразуются (прн преобразовании координатной системы) согласно (81.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
