1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Так как за точку Р можно принять любую точку гиперсферы Я„т (если пустить через эту точку ось Х"), то отметим полученный нами попутно общий результат: гиперсфвра Я„т пересекается со своей касательной плоскостью Я, по ее изотропному конусу с вершиной х' х" — р и' — р где а= 1, 2, ..., и — 1.
Отсюда х" = и' (1 — л — ) . Вставляя в уравнение гиперсферы (87.1), инеем: ( ") .и; а 1 — — ) [ — и' —...— и +и+' +...+и" и Перенеся х" в правую часть, получаем выражение ра — х" = о" (! — — ) (1+ — ) . Кп Так как х'~р н, значит, 1 — — ча О, то сокращая р (87. 7) +х" = р'. х" на 1 — —, по- р лучин: 1 — — )[ — и —...— и +и +...+и ]= ( ') А' АРР п-т* р) =р'(!+ — ) . (87.8) Обозначим через и радиус-вектор ОЛ точки Е; он вместе с Е имеет координаты и', ..., и" ', О и, как видно из (87.2), его скалярный квадрат можно записать в виде и'= — и' —...
— и'+ и'+'"+... +и" '*. (87.9) в точке касания. Теперь переходим к выкладке, предполагая, что в точке М х" ~ р. Так как точки Р, М, Л расположены на одной прямой, то векторы РМ и Ру. должны быть коллинеарны. Записывая пропорциональность координат этих векторов, получаем: 397 8 87) неевклидоиы пгостелнствд Вставляя в (87.8) ца вместо ириной скобки н разрешая это уравнение относительно х", приходим к выражению (87.10) Вставляя это значение х" в (87.7), приладим последнему следующий вид: 2ри (87.11) Мы получили параметрические уравнения (87.10), (87.11) гиперсферы Я„д с параметрами и', ..., и" ', В то же время это есть выражение координат х точки М на гиперсфере 8„г через координаты и' ее стереографической проекции Е на гиперплоскости Й„ В случае собственно евклидовой геометрии на Ии т имеем цх' зО, и знаменатели в наших уравнениях всегда положительны, параметрам и" можно давать любые значения, так что их область изменении состоит из всей гиперплоскостн 77„ ,, причем на Ь', , мы получаем, как уже указывалось, тоже все точки за исключением центра проекций Р.
Хуже обстоит дело в случае псевдоевклидовой геометрии на тогда выбор значений и" нужно ограничить условием ц'-1- ра:ф О, х=хе,=хе +х е = — ие„+р!1 — — '.)е . а п 2Р а и аи+ра «( аа+ри и' Так как иае„ =- и, то окончательно 2ри / 2р' х = и + р !ч 1 — —. е .
— "-)-,и ~ аа+рху (87.!2) где и' имеет значение (87.9). Поэтому область изменения состоит из гиперплоскости Й„ т с выкинутой из нее поверхностью (сферой радиуса р!) и'+ р' = О. Точки этой области изменения (которая будет несвязной) взаимно однозначно отвечают точкам гиперсферы Ю„ , с выкинутым нз нее изотропным конусом с вершиной в Р. Точки этого конуса в нашем параметрическом представлении получаться не будут. Это связано с тем, что о„ т не является элементарным многообразием и одной координатной системой не может быть обслужена. Но двух уже будет достаточно (то же построение с центром проекций () (0...0,— р) дает вторую координатную систему).
Запишем наше параметрическое представление в векторной форме, обозначая через х радиус-вектор точки М, а через и— по-прежнему радиус-вектор точки Е. Греческие индексы пробегают значения 1, 2...,,и†1, То~да [гл. нп 398 РНМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА Вычислим теперь квадрат днфференпиала дуги дв' для произвольной кривой на Я„ ю пользуясь формулой (87. 13) два = с(ха (см.
(55.10)). Для этого вычислим сначала 2ра „2ра 2и йи 2р4.2и 41и дх=,+,с(п —,+,, и+ р,+,, е„. Возводим в скалярный квадрат, выписывая сначала квадраты слагаемых, а потом их удвоенные произведения, и помня при этом, что е„( )7„ы так что е„п = О, е„дп = О, и из трех удвоенных произведенйй два пропадут; кроме того, е'„= 1.
Получим: 4р4 а 1бр4 (и йи)4 16рь (и йи)4 16р4 (и Ни)4 (иа-( ра)4 П + (иа ( ра)4 (и44 рт)4 (ит-(-ра)4 Три последних члена взаимно уничтожаются, и мы имеем окончательно: 4р44)ит 4р4), — аит — ... — Йиь +йиаьт + ... +Ниь 4 44 4 А4 4 4, в а (87 14) (и +Р ) ( — и' —...— иа +иае' +...+ич ' +р414 Это — метрическая квадратичная форма (линейный элемент) на гнперсфере я„„записанная в параметрах и', ..., и" т. Метрический тензор 0„Р(ит, ..., а" ') имеет, очевидно, в этих параметрах следующие координаты: ст,з —— О (а ~ ()), 4р' (87 15) ( — ит — ...
— иь +иььт +...+и" 4 +рт) Таким образом, мы получили метрику неевклидова пространства как частный случай римановой метрики. Следует обратить внимание на свойственный стереографической проекции конформный характер отображения Ю„т на )7„. Действительно, пользуясь (87.13), получаем для линейного элемента на гиперплоскости Вставляя в (87.14), приходим к соотношению (87.18) которое показывает, что метрические квадратичные формы на 8„ и 77А т для соответствующих бесконечно малых смещений отличаются 8 871 899 неевклидовы пгостелнства (87.17) Область изменения и' — вся плоскость 77„ ;, параметрическое представление (87.12) дает всю гиперсферу 8„ , за исключением центра проекций Р.
При этом к точке Р на Я мы неограниченно прн- 1 а я-т ближаемся при и' +... +и" ' оо. Метрическая квадратичная форма на 5„ , принимает вид йим 1 +Пич-П и' г ... 4 и" (87.18) множителем, зависящим лишь от точки. Другими словами, координаты метрических тензоров в соответствующих точках М н Е пропорциональны между собой. В этом случае взаимно однозначное соответствие между двумя римановыми пространствами называется конформным.
Грубо говоря, это означает, что в бесконечно малой окрестности каждой данной точки на Я„ т линейные размеры фигур меняются при отображении на 77, , пропорционально, так что в пределах этой окрестности отображение сводится как бы к преобразованию подобия (разумеется, если пренебречь бесконечно малыми высшего порядка). Вернемся к формуле (87.14). Пользуясь ею, не нужно забывать, что мы рассматривали р только вещественные. Но чтобы учесть случай чисто мнимых р, достаточно в рассмотренной задаче умножить метрическую квадратичную форму з 77„ на — 1, вследствие чего, во-первых, умножится на — 1 и метрическая квадратичная форма на Ю„ т и, во-вторых, д„ т станет гилерсферой мнимого радиуса рй При этом индекс Й евклидова пространства И„ заменится на и†Й.
Таким образом, мы имеем 2п вариантов и†1-мерной неевклидовой геометрии: во-первых, гиперсферы о„ т вещественного радиуса р в 77„ индекса Й = О, 1, ..., и — 1; метрика задается согласно (87.14); во-вторых, гиперсферы Ю„ „ мнимого радиуса р1 в )с„ индекса л — Й =ц п — 1, „ 1; метрика задается согласно (87.14) с обратным знаком. Среди различных неевклидовых пространств особенно важны пространства с собственно римановой метрикой, т.
е. с положительно определенной метрической квадратичной формой. При данном п такие пространства мы получям лишь в двух случаях: когда в (87.14) все квадраты положительны, т. е. Й = О, или наоборот, когда они все отрицательны, Й = л — 1; в последнем случае нужно еще умножить метрическую квздратичную форму в 77„ , (а значит, и на о„,) на — 1. Первый случай, Й = О. Пространство 77„ собственно евклидово. Уравнение гиперсферы 5„ , имеет вид хч ( ) хл рг [гл, яп 400 Рнмьновы нгостгьнствх Г!олученное неевклидово пространство называется сферическим пространством Римана в данном случае и†1 измерений (не смешивать с римановым пространством).
Сферическая геометрия двух измерений, и=- 3, и†! == 2, есть, очевидно, внутренняв геометрия обыкновенной сферы. Следует отметить родственное сферическому эллиптическое пространство Римана. Оно получается из сферического путем отождествления диаметрально противоположных точек сферы 8„ Таким образом, эллиптическое пространство есть как бы «сложенное вдвое» сферическое пространство. Хотя такая конструкция представляется искусственной, но фактически оказывается, что эллиптическое пространство обладает более простыми свойствами, чем сферическое, т.
е. последнее целесообразно рассматривать именно «сложенным вдвое». Конечно, в пределах не слишком больших кусков эллиптическое пространство обладзет той же геометрией, как н сферическое. Эллиптическое пространство можно получить, ограничившись в нашем параметрическом представлении лишь теми значениями и", которые удовлетворяют условиям и' +из +... + и» ' в-. рз, (87.19) причем в полученном л — 1-мерном шаре в плоскости )с„х нужно отождествить диаметрально противоположные точки его граничной сферы Я„ ,: и1 ) иа + [ и» 1 рз (87.20) Тем самым и†1-мерный шар превра!цается в замкнутое и†1-мерное многообразие; в это многообразие вносится рнманова метрика согласно (87.18), и полученное рнманово пространство как раз и будет эллиптическим и†1-мерным пространством. В самом деле, ограничение (87.19) ознзчает, что мы рассматриваем лишь нижнюю половину гиперсферы о'„1, срезанную плоскостью г«„1 (коэффнциент при е„в (87.12):О); далее на срезе, который как раз совпадает с 3„„мы отождествляем диаметрально противоположные точки, а это и означает построение эллиптического пространства, причем, вместо того чтобы отождествлять точки верхней половины 5„1 с диаметрально противополоя!нымн точками нижней половины, мы просто их (точки верхней половины) выкинули и провели указанное отождествление лишь по срезу, Второй случай, !ь = и — 1.
Напишем уравнение гиперсферы радиуса р »с! х 1 + л» рз (87.21) и параметрическое представление (87.12) (учитывая (87.9)): 2рь 2р* и! и» вЂ” 1 +р» / (87,22) НЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 401 % 871 Менвем знак метРической квадРатичной фоРмы в /7ю после чего она принимает вид хя — х1 +, +х" 1 хл' (87.23) Вследствие этого меняется знак и у метрической квадратичной формы на 5„ 1, так что (87.14) запишется теперь 4рч(ии1 +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
