1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 81
Текст из файла (страница 81)
+ли" 1 ) чиг -';... +ли" ~!— ря При этом, хотя гиперсферу 5„1 мы оставляем прежней, но в результзте изменения метрики в 77„ее радиус становится мнимым, рс вместо р, Итак, мы имеем дело с гиперсферой мнимого радиуса рс в псевдоевклидовом пространстве индекса 1. Такая гиперсфера с аффинной точки зрения представляет собой двухполостный гиперболоид. При этом в параметрическом представлении (87.22) мы получаем нижнюю полость, когда коэффициент при е, отрицателен: 1 —,, <О, 2ря ,1 и1', Л-1' что равносильно неравенству и' +...
+ и" ' < р'. (87. 25) Таким образом, на нижнюю полость 5„1 отображается внутренность шара радиуса р з плоскости 77л ; аналогично на верхнюю полость 5„ , (за исключением точки Р) отображается внешняя по отношению к этому шару часть плоскости Й„ и' +... + и" ' > р' (87.26) ч (точки на граничной сфере и' + ... +и" ' = р' образов иа 5„ , не имеют).
Достаточно рассмотреть нижнюю полость 5„ „ так как верхняя полость в силу симметрии несет нз себе точно такую же риманову геометрию, хотя формула (87.22) и дает для разных полостей разные параметрические представления (в том смысле, что параметры и", ..., и" 1 пробегают разные области изменения). Но это уже связано с избранным нами способом параметриаацни. Итак, нижняя полость гиперсферы 5л , рассматриваемая как романово пространство, задается метрической квадратичной формой (87.24) в области изменения параметров (87.25). В отличие от РНМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ.
Ри сферического и эллиптического пространств полученное пространство представляет собой элементарное многообразие. Каждая полость гиперсферы мнимого радиуса р! в псевдоевклидовом пространстве индекса ! несет на себе собственно риманову геометрию, совпадающую с геометрией Лобачевского соответствующего числа измерений.
Эту формулировку можно при желании рассматривать как определение геометрии Лобачевского; если же исходить из другого, например, аксиоматического построения геометрии Лобачевского, то ьто предложение можно доказать как теорему. Мы получили пространство Лобачевского во взаимно однозначном отображении на внутренность шара в евклидовом пространстве Р„ это отображение называется интерпретацией Пуанкаре. Возвращаясь к общему случаю неевклидова пространства 5„ отметим, что оно обладает свободной подвижностью так же, как и евклидово пространство.
Этим мы хотим сказать, что в 5„ г точку с ортонормированным локальным репером в ней всегда можно перевести движением 5„ , [т. е. его изометрическим отображением на себя) в любую другую точку с любым ортонормированным локальным репером в ней. Покажем это. При нашем понимании неевклидовой геометрии как римановой геометрии на гиперсфере 5„т в Р„движения в 5В х также наглядно изображаются вращениялш в Й„около начала О. Ясно, что при этом гиперсфера 5„ , переходит в себя с сохранением всех ее геометрических свойств, в том числе и римановой геометрии на ней, При этом путем вращения Р„ около О можно заставить ортонормированный репер [О, еы ..., е„) перейти в любой другой ортонормированный репер [О, еы ..., е„). С точки зрения 5„ т это означает, что вектор ре„, идущиЙ иа О в точку Р+), превращается в вектор ре„ идущий в другую точку Р той же гиперсферы 5„ причем Р можно выбирать произвольно [так как при желании е всегда можно направить по ОР).
Далее, векторы е„ ..., е„ ортогональны к ре„ = ОР и потому принадлежат касательной гиперплоскости Л„ , к 5„ т в точке Р, образуя ортонормированный локальный репер для 5„ ы При задании точки Р определяется орт е„, направленный по ОР, но орты е„ ..., е, , в ортогональной к е„ плоскости И' , остаются произвольными и образуют произвольный ортонормированный локальный репер в точке Р. Поэтому возможность перевести векторы е,, ..., е„ вращением Л„ около О в соответствующие векторы любого другого ортонормированного репера означает с точки зрения гиперсферы 5„ „ что не только точка Р Р) Для определенности рассматриваем 5„ , вещественного радиуса р.
403 8 8Т) ивввклидовы пгостелиствл переходит в любую другую точку Р, но и ортонормированный локальный репер в Р переходит в любой ортонормнрованный локальный репер в Р. В связи с этим ясно, что произвол в выборе движений в неевклидовом пространстве(т.е.число независимых параметров, определяющих движение) должен быть таким же, как и в евклидовом пространстве.
Это можно проверить и прямым подсчетом. В евклидовом и-мерном пространстве )г движение зависит от — параметров; следов(л+1) и 2 (л — 1) л вательно, в Й„ , — от параметров. Заметим, что под «числом параметров», строго говоря, нужно понимать здесь размерность группы движений, как некоторого (неэлементарного) многообразия. Движения в 5„, порождаются вращениями Я„около О и, сле(п — 1) л довательно, тоже зависят от 2 параметров. Свободная подвижность неевклидовых пространств показывает, что они обладают сталь же высокой степенью однородности, как и евклндовы пространства.
С этим связано и богатство их геометрических свойств, развертывающихся в последовательности, напоминающей евклндову геометрию, но совершенно своеобразных. Как и евклидова пространство, онн допускают исследование элементарно геометрическими средствами, особенно эллиптическая геометрия и геометрия Лобачевского. Последняя этим путем и была впервые получена Лобачевским, Исследование элементарно геометрическими средствами тесно связано со свободной подвижностью пространства.
Действительно, важнейшей основой элементарной геометрии является возможность переносить данную фигуру из одного места пространства в другое и поворачивать ее без изменения геометрических свойств. Но это означает по существу свободную подвижность пространства. Отсюда вытекает понятие о конгруэнтных (равных) фигурах, как переводимых одна в другую посредством движения; на основе свободной подвижности фигур доказываются важнейшие теоремы, например, о равенстве треугольников; даже процесс измерения отрезка пру~им отрезком, принятым за эталон длины, требует свободной подвижности этого эталона.
Конечно, в элементарной геометрии в ее школьном изложении свойство свободной подвижности принимается просто как очевидное, но при аксиоматическом построении оно должно быть точно охарактеризовано соответствующими аксиомами (или прямо, или косвенно через понятие конгруэнтности). Другие римановы пространства свободной подвижностью уже не обладают; более того, произвольно взятое риманово пространство, вооби(е говоря, совершенно неоднородно и никаких движений не допускает. Римлновы птосттлнства 404 (гл.
тп 8 88. Измерение объемов в римановом пространстве (/„ Мы хотим ввести измерение объемов в римановом пространстве. Изложим сначала некоторые наводящие соображения. Рассмотрим бесконечно малый координатный параллелепипед, стягиваюгцийся в данную точку М(х'). Вообще под координатным параллелепипедом мы понимаем область, состоящу1о из точек Я (х'), для которых а'» х'(У («'=1, 2, ..., и). (88.1) В данном случае координатный параллелепипед определяется неравенствами х' ( х' ( х' + Ы () = 1, 2, ..., л), (88.2) где дх~ О. «Ребраа этого параллелепипеда состоят из бесконечно малых отрезков координатных линий. Так, на координатной линии х' соответствующий отрезок заключен между данной точкой' М (х', ..., х") и точкой Я, (х'+ Нх', х', ..., х").
В касательном евклидовом пространстве бесконечно малому смещению ММ, отвечает бесконечно малый вектор с координатами (88.3) (координаты берутся относительно локального репера). Аналогично обстоит дело и с бесконечно малыми смещениями по другим координатным линиям. Подменим координатный параллелепипед соответствующим параллелепипедом в касательном евклиловом пространстве, построенном на бесконечно малых векторах вида (88.3). Согласно (54.11) объем параллелепипеда в евклидовом пространстве выражается формулой (Ро=ф' (д()()е(! а~а((, где л= Ое()у;у), ૠ†координа й-го вектора из числа векторов, на которых построен параллелепипед. В нашем случае О (ю'Ф й) аь«= ( „,, так что (Уе((аа! дх' ...
дх", и мы получаем: с((к' = р' ) угс(х'... дх'. (88.4) Оценим грубо объем какой-либо области В римановз простран. ства как составленный из объемов элементарных координатных параллелепипедов, на которые мы область О разбиваем, причем мы $881 измеРение ОБъемОВ В РимАБОВОМ ВРостРАнстВВ )т„405 их подменяем параллелепипедами в касательных евклидовых пространствах. Суммирование таких объемов в пределе сводится к интегрированию элемента Объема с)(Р' (88 4) по области О, и мы получаем: %'о= ) $' )ф~г(х' ... с(х".
о (88.5) Иы не станем уточнять приведенное выше грубое рассуждение, а предпочтем принять формулу (88.5) за определение объема в рима- новом пространстве. Чтобы это определение было законным, нужно показать его инвариантность при преобразовании координат х'. Для этой цели вычислим (р'о =. ~ ')~ ! д' , 'г)хм ... с)х"', о (88.6) где у'= Ое() унр(, и покажем что (Р'о = ЯУо. По тензорному закону преобразования д.х' дхт откуда аналогично (39.17) получаем: дх' Ое( ( ач р ) = (Ое1 ~ —,, ~ ~ Ое1 ) А."гт (, )тт ( у' ) = ( Ое1 ~ — "„) ~ )/ (и), так что (88.
7) Вставляя последний результат в (88.6) и пользуясь формулой заь1ены переменных под знаком кратного интеграла, получим: Ф о = ~ )/ ! д / Ое1 — ",, ~ с)х"... с(х"' = ~ ф' ~ ~ ) с(х'... с(х" =- Яно, о а это согласуется с определением объема в евклидояои пространстве (54.1). что и требовалось доказать. Очевидно, по свойствам кратного интеграла объем обладает аддитивным характером, т. е. объем составной области равен сумме объемов составляющих областей. Далее, в частном случае евклидова пространства (88.5) дает объем в евклидовом пространстве. Действительно, если х', ..., х" — ортонормированные координаты в евклидовом пространстве, то ) в) = 1, и мы получаем: 1(т =- ) а'Х'...д~", о [гл, тп Римхиозы пгостглнстВА Пусть в римвновом пространстве Ь'„ дана поверхность (/ , также несущаи на себе риманову геометрию (9 85).
На этой поверхности мы можем, следователыю, измерять объемы лг-мерных областей по формуле (88.5): %'р — — ~~l ( Ц г(иг...ии , (88.8) о где дхг дху О=Рет(0аа!, Оаа=-Кг дн ди" (88.9) В частности, в случае двумерной поверхности $'2 мы получаем: О 011022 01„ так что «двумерные объемы», т. е. площади на поверхности, выражаются формулой йУ, = д )' (0„0„— О'„(г(иЫиа. и Вели речь идет о поверхности в обычном евклидовом пространстве тга, то Огм 012, 0„ — коэффнпиенты первой квадрзтичной формы на поверхности.
При этом 0„0,2 в 02„ ) О, так что знак модуля под радикалом можно устранить. Как видно нз (88.9), Оаа представляют собой попарные скадхг лярные произведения гл векторов, касательных к координатди~ ным линиям и" на поверхности Ь' . Поэтому подынтегральная функция )/ ( О), т, е, ~' ~()е() Оаа(~, представляет собой объем лг-мердх' ного параллелепипеда, построенного на векторах — (а =- 1, 2, ... и ..., лг) в касательном евклидовом пространстве. Но этот же объем выражается формулой (54.28), так что ')/ ГО) = )/ (гхб ..
П Г аг. х аг..тм!. (88.10) дхг' дхг' дхг дл1 ди1 ' ди1 агой . ' 1 ай (88.11) дхг' дх" дх' ди~ дам ''' ди~ ЗДЕСЬ аг..ли †КООрдИНа ПрпетОГО ГЛ-ВЕКтпра, ПОСтрОЕННОГО На дх' векторах —, т. е. дни 8 89) 407 ПРОСТРАНСТВО АФИННОй СВЯЗНОСТИ 1' л а Ан, лка П Т„ВЫражаЮТСЯ СОГЛаСНО (54.19): впл. Ф,т„ (88.19) вп. гы т ..л 4ч.у, В то время как формула (88.8) дает нам объем области П на поверхности (т с «внутренней» точки зрения, можно записать тот же результат с «внептней» точки зрения, заменив )л ) )О( согласно (88. 10). Получим: (Рр — — ) (Вп л, П; а' . плат Л ( дит...с)и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
