1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Можно сказать, что закон преобразования Г/» подобран именно так, чтобы параллельное перенесение произвольным, и зто означает, что на данное многообразие И„ »южно по-разному наложить аффинную связность. Таким рассуждением мы оправдываем наше определение с его содержательной стороны. Но оно нуждается в оправдании н с формальной стороны. А именно, необходимо показать его инвариантный характер: если вектор я/(/) параллельно переносится вдоль данной кривой с точки зрения одной координатной системы х', то это же верно и с точки зрения любой другой координатной системы х'. Другими словами, если условие (89.12) соблюдаешься в координатах х', то оно будет соблюдаться и в координатах х".
Чтобы проверить зто, мы вычислим д$»'(/) при бесконечно малом смещении по нашей кривой. Согласно тензорному закону преобразования 9 891 ПРОСТРАНСТВО АФФНННОй СВЯЗНОСТИ 413 вектора, определенное согласно (89.12), было инвариантныл относительно преобразования координат х'. И действительно, если потребовать эту ннварнантность (для перенесения любого вектора вдоль любой кривой), то наш закон преобразования для Г.» полу- »1 чается как следствие.
В этом можно убедиться следующим образом. В силу инвариантности данного параллельного перенесения формулы (89.12), (89.14) должны вытекать одна из другой. По- прежнему преобразуем (89.12) к виду (89.13), а в (89.14) подставляем дхг дхт " Р дх»' = —. дх, дх дх' Так как Г ' в данном пространстве и в данной координатной ~/ системе нам известны кзк функции от х', а х' вдоль данной кривой известны как функции ог 1, то в уравнениях (89.15) все функции от 1 можно считать известными кроме $ (1), которые мы будем считать искомыми. Для этих л функций мы имеем нормальную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений; произволная каждой неизвестной функции С (1) линейно выражена через сами неизвестные функции $~, причем коэффициентами служат известные функции от 1 (при наших предположениях во всяком случае непрерывные).
Из теории дифференциальных уравнений известно, что такая система имеет решение с (/) при любых начальных условиях вида =-$» (1=1, 2, ..., П) при 1.=-1», (89,!8) причем это решение определяется единственным образом и существует на всем интервале изменения 1. Так как полученные формулы должны вытекать олна из другой, то их прзвые части тождественно равны; приравнивая коэффициенты при ь(х', в', возвращаемся к формуле (89.8), т. е. к прежнему закону преобразования для Г."., ы Заметим, что в случае аффинного пространства мы не нуждались в локазательстве инвариантностн параллельного перенесения; там оно имело непосредственный геометрический смысл и, в отличие от того, что мы делаем сейчас, не определялось, а лишь залисывалогь формулой (89.12).
Мы определили параллельное перенесение вектора вдоль кривой, однако не знаем еще, когда можно такое перенесение осуществлять и будет ли оно совершаться однозначно. Обращаясь к формулам (89.12), мы перепишем их, поделив на ь(г; дь»»» тдх (Π— = — Г„(х'(1), ..., х" (г))й — . 416 [гл. Тп РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА тогкдественно равнился единице. Для этого достаточно положить: т=-$а(г)д1, так что йт=а(с)И, (90,2) после чего (90.1) принимает вид: кх' йт — =Г йхг Параметр т на геодезической, для которого — есть параллельно йт переносимый касательный вектор, мы будем называть каноническим паралсегром.
Как мы показали, переход к каноническому параметру всегда возможен. При этом канонический параметр выбирается с точностью до произвольного линейного преобразования с постоянными коэффициентами ТА=Ат+В, А~О. (90.4) Действительно, если т †каноническ параметр, то и тн тоже, так как дх' 1 йх' У1 дть = Айт, — „= — — ( — = сопэ1) йтч А д.с (:,А Ыхг дл' и вектор — будет вместе с — параллельно переносимым касательстч йт ным вектором. С другой стороны, формула (90А) исчерпывает все возможные способы вгкбора канонического параметра. В самон деле, если т и д с йхг та †д канонических параметра, то векторы — , — оба паралдт ' Ыт* лельно переносятся вдоль кривой, а следовательно, в равенстве Их' Ых' йг* йт Д" д дт* коэффициент — — должен быть постоянным (линейные зависимости дт между параллельно переносимыми векторами сохраняются).
Отсюда следует, что зависимость т от т обязательно будет линейной. Мы дали определение геодезических линий, но не знаем еще, существуют ли онн, с каким произволом их можно выбирать и как фактически их строить. На эти вопросы дают ответ дифференциальные уравнения геодезических линий. Будем искать параметрические уравнения геодезических линий с каноническим параметром т: хг = хг (т). (90. 5) Ыхг Запишем требование, чтобы вектор — параллельно переносилсл йт вдоль искомой кривой; зто будет означать одновременно, гго кривая геодезическая и что параметр т на ней канонический.
8 90) геодезические линии В Е„ 415 Далее, если в начальной ~очке ~,' = й,' + Ч,', то в процессе параллельного перенесения этих трех векторов сохраняется зависимость Г (1) =- Гг(1)+ Ч'и). (89. 20) В самом деле, складывая почленно (89,18) и (89.19), убеждаемся, что вектор $г+ т)г тоже удовлетворяет формуле параллельного пеоенесения и, следовательно, переносится параллельно вместе с $г и т)~. Поскольку вектор ~г тоже переносится параллельно, то равенство между ~г н $'+т), имеющее место в начальной точке, сохраняется все время, и мы приходим к (89.20). Так как все линейные зависимости между векторами сводятся к рассмотренным простейшим (89.17) и (89.20), то все они сохраняются при параллельном перенесении.
$ 90. Геодезические линии в г.„ Геодезические линии в пространстве аффинной связности играют приблизительно такую же роль, как прямые линии в аффинном пространстве, Именно, они обладают тем же основным свойством— постоянством направления. Для прямых линий это свойство выражается в том, что вектор, направленный по данной прямой линии в какой-нибудь ее точке, будет направлен по ней и в любой другой ее точке. Аналогично этому мы формулируем определение геодезической линии, Кривая в пространстве аффинной связности называется геодезической, если всякий гектор Ц (~0), касательный н этой кривой в какой-нибудь ег точке Мь, остаегся к ней касательным лри параллельном перенесении вдоль нее. Пусть геодезическая задана уравнениями х' =- хг (1), а ( 1 н Ь, где х (1) — по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемые функции, и пусть параллельно переносимый касательный вектор вдоль геодезической будет йг(1).
В силу коллинеарности касательных векторов в каждой точке кривой можно написать: дх' — = а$', йг (90.1) где а=а(1) зависит от точки на кривой и нигде не обращается йх ! в нуль, так как иначе — обращались бы в нуль одновременйг но, что мы исключаем. При желании всегда можно перейти к такому параметру т вдоль геодезической, чтобы коэффициент а 416 (гл.
гп Римановы пгостелнстна тождественно равнялся единице. Для этого достаточно положить: т= ) а(г)И, так что йт=-а(1)й1, (90,2) после чего (90.1) принимает вид: йх' (90.3) йхг Параметр т на геодезической, для которого — есть параллельно йт переносимый касательный вектор, лгы будем называть каноническим параметром. Как мы показали, переход к каноническому параметру всегда возможен.
При этом канонический параметр выбирается с точностью до произвольного линейного преобразования с постоянными коэффициентами та=Ат+ В, А ~ О, (90.4) Действительно, если т †каноническ параметр, то и ть тоже, так как йх' 1 йх' У1 йть = Айт, —. = — — ( — = сопз1) йх' йх' и вектор — будет вместе с — параллельно переносимым касательйт* йт ным вектором. С другой стороны, формула (90.4) исчерпывает все возможные способы выбора канонического параметра. В самом деле, если т и йхг йлг те †д канонических параметра, то векторы --, — оба паралйт ' йт* лельно переносятся вдоль кривой, а следовательно, в равенстве йх' йх1 й.г' йт =йт* йт йт коэффициент — должен быть постоянным (линейные зависимости йт между параллельно переносимыми векторами сохраняются). Отсюда следует, что зависимость т' от т обязательно будет линейной.
Мы дали определение геодезических линий, но не знаем еще, существуют ли они, с каким произволом их можно выбирать н как фактически их строить. На эти вопросы дают ответ дифференциальные уравнения геодезических линий. Будем искать паранетрические уравнения геодезических линий с каноническим параметром т: х' = хг(т). (90,5) йхг Запигие.н требование, чтобы вектор — параллельно переносился йт вдоль иска.иой кривой; зго будет означать одновременно, что кривая геодезическая и что параметр т на нгй канонический.
гзодезн!вские линни В 7ь 5 90) 4!7 и, деля на дт, приходим к дифференциальным уравнениям геодезических дьхь ь акг дкл — = — Г; — —, дть 0 дт дт ' (90.6) отнесенных к каноническому параметру. Как было уже скззано, х (т) мы рассматриваем как неизвесть ные функции.
Вторая производная каждой неизвестной функции х" (т) выражена здесь через сами неизвестные функции (входящие как аргументы под знак Гц(х', ..., х")) и через их первые производные. Мы имеем здесь, таким образом, частный случай канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, решение такой системы единственным образом определяется заданием начальных значений неизвестных функпий и всех нх производных порядка более низкого, чем порядок старших производных, выраженных в дифференциальных уравнениях.
При этом необходимо сделать определенные предположения относительно гладкости функпий, входящих в правые части уравнений; в нашем случае эти предположения вполне покрываются непрерывной дифферендируемостью функций Г;;(х', ..., х"). В соответствии со сказанным мы можем произвольно задаться начальными значениями неизвестных ь а .ь функций х и их первых производных — при каком-либо иачальат ном значении параметра: (х'), „=а', (~~) =ог, (90,7) где Ь одновременно в нуль не обращаются. Тогда по общей теореме существования мы можем утверждать, что в некоторой окрестности значения т = ть существуют и единственным образом определяются функции хг(т), удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений (90.6) и начальным условиям (90,7). Полученное решение, таким образом, зависит ог начальных условий и в развернутом виде записываетсн: х' = х'(т; а', ..., а"; Ь', ..., бь), (90.8) причем, как доказывается в теории дифференпиальных уравнений, эти функции по всем своим аргументам будут непрерывно дифферен- ! 4 П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
