1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Тогда члены со вторыми производными взаимно уничтожаются, и для разностей Т,! мы получаем тензорный закон преобразования. Это верно, разумеется, для любых связностей Г!А1, 01~! в том числе и с кручением. В нашем случае связности без кручения; отсюда следует Т!А1=-Т,!, Теперь (90.14) можно переписать: (90.
16) Из этого соотношения мы должны сделать выводы относительно строения тензора Т!;. А й1п а Для этой пели исключим неизвестный нам множитель йт следующим образом: умножаем (90.16) почленно на $' и альтернируем по индексам л и 6 Получим: й1!Т;,1иl = О. (90.17) Пользуясь единичным тензором б', можно записать тождество еь! 8! ььм Вставляя это выражение в (90.17), получим: б'! Т!,' $ "ДР =- О.
(90.18) Так как зто равенство должно иметь место тождеотвенно относительно $т, ..., $", то после приведения подобных членов все коэффициенты кубичной формы в левой части должны обратиться в нуль. Член с произведением $тЩ' будет встречаться при суммировании по лг, 1, у шесть раз (если р, !7, г все различны), именно, когда лг, !', у принимают значения р, !7, г в их всевозможных перестановках. Соответствующий суммарный коэффициент при Ствдв", который мы должны приравнять нулю, легко вычисляется из (90.18): (90.19) Ввиду симметрии Ту! по нижним инлексам среди шести коэффициентов будут три пары одинаковых.
Аналогичным подсчетом соотношение (90.19) получается и при наличии среди р, !7, г одинаковых индексов. Запишем альтернацию в (90.19) в развернутом виде: I! ! Ф ! д ! ! А ! Ф брТд,+ бдТ р+ 6 Трд — брТд,— ЬдТ,р — 6,ТР!д= О. 423 9 90) геодезические линии в Е я Произведем теперь свертывание по индексам 7, г. Учитывая свойства тензора 61, в частности, что 61=6!+62+ ° .
+Ьр.=л, получим: Трр+ 7»рр+пТре Ьр7дг ЬдТ!р 7рч — 0 откуда (90. 20) Обозначим через рг одноковариантный тензор, полученный 2 свертыванием тензора Т»0 и последующим умножением на п+ 1 2 Рг= „+, 7и. (90,21) Теперь (90.20) можно записать окончательно: » 1»» Тт= 2 (Ргб!+Ртбг) (90. 22) т. е. р» 70 = Рыб 6.
(90.23) Мы выяснили строение тензора Т!»Р формулируем теперь теорему, которая является ответом на поставленный нами вопрос. Для того чтобы два объекта связности без кручения обладали общими геодезическими, необходимо и достаточно, чтобы они отличались на гензор вида »» Т! =Р„Ь!и Правда, нами доказанз лишь необходимость этого признака. Но достаточность его проверяется легко. Пусть нам дано, что (90.24) где р; †некотор ~ензорное поле. Пусть дана какая-нибудь линия, геодезическая в связности Г„, с каноническим пара» метром т и с параллельно переносимым касательным вектором Покажем, что, подобрав некоторый (переменный) множитель сс, мы пажем добиться, чтобы вектор т)г= а$г оказался параллельно переносимым уже в связности От.
Тем самым будет показано, что наша геодезическая будет геодезической и в связности О,Р Записывая, что С переносится параллельно в связности Гп, полу» » чим снова (90.1!). Требуем, далее, чтобы т)~= ас» переносился параллельно в связности О,"Р записываем (90.12) и после прежних 424 (гл, чп РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА преобразований получаем (90.14). Пользуясь (90.24), вставляем сюда — (р,.бт.+руб,) вместо Гп — 0 1 и получаем: 1 й1па — „, 1=рй, т. е. наше требование принимает вид д1п а =Р,ь Так как вдоль нашей кривой РД' есть вполне определеннан функ- ция параметра т, то отсюда после интегрирования найдем !асс с точностью до постоянного слагаемого, а само а — с точностью до постоянного множителя.
Тем самым найден и вектор т)г= ас', и всякая геодезическая в свнзности Гьп оказывается геодезической и в связности слр Теорема доказана. Заметим, что если бы мы потребовали для двух связностей без кручения совпадения не только геодезических, но и канонических параметров на них, то и сами связности совпали бы. Действительно вдоль общей геодезической и для общего канонического параметра т удовлетворяютсн дифференциальные уравнения йьхь ь йх' йхт йьхь А дх' йхт — = — Г, — -: —, — = — сгы — —, йт' д йт йт ' йтт Ы йт йт откуда А йх' йхт Ь дх' йхт Г; — — = ст;.—— '2 дт йт Ыйт йт а так как геодезические линии проходят через любую точку по любому направлению, то здесь мы имеем тождество относительно х' йхг А А н „вЂ” .
из него следует (учитывая симметрию Гд и бб по нижним индексам); А А Г„= О„. (90. 20) Наше утверждение доказано. Добавление к какому-либо объекту свнзности любого тензора вида (90.23) называется геодезическим преобразованием аффинной связности; геодезические при этом не меняются. Пространство аффинной связности т.„ с объектом связности о г Г1А( = Гьг) называется лроективно евклидовылц если в некоторой окрестности каждой его точки можно перейти в так>ю координатную систему х, в которой геодезические линии задаются линейными парзметрическнмн уравнениями х'=а'1+Ьг (а', Ь'=сопз1).
(90. 26) 5 91) пгостглнствь ьввинной связности ввз кгтчвния 7.„' 42о Это значит, что они ведут себя как геодезические аффинного (или евклидова) пространства в аффинных коордпнатах, т. е. как прямые линии. Тем самым геодезические линии, определяемые нашим объектом связности Грп определяются и объектом связности 0';ь аффннного пространства, а следовательно, согласно (90.24) ь ь ь Ои= Г;,— р„.б!н (90.27) где рг †некотор тензорное поле (все это в пределах рассматриваемой окрестности). Чтобы Е„ с объектом связности Го было проективно евклидов ь вым, необходимо н достаточно существование в пределах некоторой окрестности любой его точки такого тензорного поля р„что Ггт — Ьирл ь ь можно было бы отождествить с объектом связности О~~ в некоторой области аффинного пространства.
Необходимость этого признака только что была показана: достаточность же обнаруживаетси переходом к аффннным координатам в аффинном пространстве, после чего уравнении геодезических (общих для обеих связностей) можно записать, очевидно, в виде (90.26). 9 91. Геодезические координаты в пространствах аффинной свизиости без кручения Е„ Среди пространств аффннной связности имеют наибольшее значение и обладают наилучшими геометрическими свойствами пространства без кручения, дли которых ь ь Г, =Гр. (9!.1) Их мы сейчас и будем рассматривать.
Важность их основывается прежде всего на том, что к их числу принадлежит аффинное пространство. Действительно, мы видели (Я 77, 78), что объект связности аффинного пространства симметричен по нижним индексам. Кроме того, аффннное пространство (или, более общо, область Й в аффинном пространстве) можно рассматривать как частный случай пространства аффинной связности, так как вся аффинная геометрия области Й вполне определяется заданием в ней объекта связности (З 78). Таким образом, область в аффинном пространстве есть частный случай аростраястви иффинной связности без кручения. Возникает вопрос, как узнать, не является ли данное прострзнство аффинной связности просто некоторой областью аффннного [гл. чн 426 Рнмкнозы итостткнстзк пространства (которая, в частности, может заполнять и все пространство).
Прежде всего прн этом имеет смысл рассматривать лишь пространства без кручения †д пространств с кручением вопрос сразу решается отрицательно. Затем вопрос сводится к такому: можно ли перейти в такую координатную систему х", действующую во всем пространстве, в которой все коэффициенты связности Г, г. тождественно обращаютел в нуль. В самом деле, мы знаем, что коэффициенты связности аффинного пространства равны нулю в аффинных координатах и только о в них.
Поэтому если в пространстве аффинной связности 1.„, отнесенном к координатной системе х' с областью изменения координат Й', оказывается г,':р=о, (91.2) то мы вправе отождествить это пространство с куском аффинного пространства, заданным в аффинных координатах х в пределах той же области изменения Й'. »[ействительно, коэффициенты связности Гее в обоих случаях одинаковы (равны нулю), а следовательно, одинакова и геометрия, определяемая объектом связности. В некоторых случаях нельзя, может быть, добиться обращения в нуль Гг.г во всем пространстве одновременно, но можно это сделать в некоторой окрестности каждой его точки.
Тогда пространство аффинной связности мы называем локально аффинным (аналогично локально евклидову; 9 86). В некоторой окрестности любой своей точки локально аффинное пространство представляет собой ккусок аффииного пространства» и лишь в целом отличается от него. Возвращаемся к общей теории. Вообще говоря, пространство аффинной связности, даже с нулевым кручением, аффннным пространством не является, и ни в какой координатной системе х', хотя бы в пределах малой окрестности данной точки М, Г~.; не удаемся обратить в нуль тождественно.
Однако в случае нулевого «рученил беа труда можно обратить Г;; в нуль в самой данной точке М. В самом деле, переходя от » И дх» координат х к координатам х , зададимся значениями — в дандх» ной точке М произвольно (разумеется, матрица должна быть неосод»х" бенной), а значения †. , в той же точке подберем так, чтобы дх'дхх Г~е(М) обРатились в нУль. ДлЯ этого, как видно, из (89.1) достаточно потребовать: д»х" дх» дх' дхт дх" , — + —., —,— г, =о. (91. 3) дх' дхт дх» дх' дхт дх" Яз 911 пеостганствл аеьинной связности ваз кгкчания Е„ 42Т Все величины предполагаются вычисленными в данной точке М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
