1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 88
Текст из файла (страница 88)
В результате имеем: хе — хд =- ~от — Г;;К~»)лт» — — Г,"галл ~йт~+... (92.23) Вычи~ая почленно (92.19) из (92.23), получим первую фигурную скобку в (92.18]: ((хр — ХО) — (хз — хл)) = — Ггг»яйт)нт»+... Вычисление второй фигурной скобки должно проходить совершенно симметричным образом лишь с переменой ролей векторов вл, т)л. В результате приходим к выражению (хт — «з) — (хо — «л) = — Гут)л $лт»+ Вычитая почленно это равенство из предыдущего, мы согласно (92,18) найдем искомый зазор: хР— хт= Гуялт)лт Гыял»)лт + А ь ~ !» А 1 г» Меняя в последнем члене обозначения индексов суммирования г на у и наоборот и пользуясь определением тензора кручения А А А 3„—. ГП вЂ” Ггп получаем окончательно; хр — хт = 3„.
$л т)лт + А А А Г / » (92.24) Таким образом, мы можем резюмировать; Приращения координат х', которыми характеризуется зазор ТР, с точностью 2-го порядка получаются в результате свертывания в точке П тензора кручения 3гт с векторами ялт, т)лт, выражающими геодезические смещения )со, ЯГ',1 (н дающими в изображении векторы дел» я»я») Итак, квазар» в своей главной части выражается посредством тензора кручения в той точке П, к которой стягивается наш «разомкнутый параллелограмм». В этом и состоит геометрическое истолкование тензора кручения.
Если связность будет без кручения, то «зазор» оказываешься бесконечно малым уже не 2-го, а 3-го порядка относительно т. Подчеркнем, что зта роль нулевого кручения скззывзется лишь в бесконечно малом. В случае конечных размеров и прн нулевом кручении обнаруживаются те же явления гразмыкания» замкнутых контуров. Наконец, следует отметить, что мы брали в качестве з 93] пРОстРАнстВА Е„с Ансолютным ЛАРАллелнзмом 4З9 замкнутого контура параллелограмм лишь для упрощения выкладок.
Аналогичные результаты можно получить для любого бесконечно малого контура, стягивающегося в данную точку и расположенного в данной двумерной плоскости пространства Асг Можно было бы исходить также †обрат тому, что мы делали, — из контуров, замкнутых в Г., и размыкающихся в А„.
Оценка зазора получилась бы по существу такой же. й 93в. Пространства Е„с абсолютным параллелизмом В этом параграфе мы решим такую задачу: найти всевозможные пространства аффинной связности ]н с абсолютным параллелизмом векторов. Так мы будем называть пространства, в которых результат параллельного перенесения произвольного вектора $' из точки Р в точку О при любом выборе этих точек не зависит от пути перенесения РЯ. Это значит, что по какому бы пути ни соверп>ать переход из Р в (1, мы придем в О с одним и тем же вектором. Следовательно, мы получаем возможность вектор, заданный в какой- нибудь точке Р, как бы откладывать из любой точки пространства.
В результате возникает целое векторное поле. Очевидно, любой вектор этого поля можно принять за исходный и считать, что все другие векторы поля получены его параллельным перенесением. Такое векторное поле мы будем называть однородным. Один пример Е„ с абсолютным параллелизмом нам известен— это аффннное пространство А„.
Требуется выяснить, существуют лн н другие Е„ с абсолютным параллелизмом и какие именно. Допустим, что нам дано Е„ с абсолютным параллелизмом. Выберем в какой-либо начальной точке Ме и линейно независимых векторов с $(11, ., $(.) и путем их параллельного перенесения в любую точку М нашего пространства получаем и однородных векторных полей $(с) (М),..., 1(„) (М), В силу абсолютного характера параллелизма эти векторы будут в каждой точке М вполне определенными; при этом их линейная независимость при параллельном перенесении сохранится.
Параллельное перенесение любого вектора $ из одной точки М в другую М' совершается теперь, очевидно, так: разложим вектор $' по векторам я(р>(М) в данной точке М; так как при параллельном перенесении линейные зависимости сохраняются, то параллельно перенесенный вектор йс разлагается в точке М' по векторам $,р)(М') с теми же самыми коэффициентами. Этим перенесение определится. 440 (гл. Рп РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА Теперь ясно, нто, обратно, задавая, в каком-либо многообразии %„ п произвольно выбранных полей линейно независимых векторов') сы) (М), ..., с',н) (М), (93.2) мь) можем превратить И„в Е„с абсолютным параллелизмол). Действительно, мы можем тогда определить в Ж абсолютное перенен сение любого вектора й так, как это было только что описано.
Может, однако, возникнуть сомнение, подходит ли это перенесение под наше общее определение, т. е. под формулу параллельного перенесения с определенным объектом связности Г,'). Покажем, что действительно всегда можно подобрать такой объект связности Г)р для которого наши наперед заданные векторы $)р)(м) будут параллельно переносимыми векторами при любом бесконечно малом смещении из любой точки.
Тем самым и все их линейные комбинации с постоянными коэффициентами будут тоже параллельно переносимыми векторами, и построенную нами связность с абсолютным параллелизмом можно будет считать порожденной объектом Гь). Запишем, что каждый из Цр) при любом бесконечно малом смещении из любой точки М должен удовлетворять формуле параллельного перенесения йь)Р) = — Г)) я<Р) с)х, где Гп — искомый объект связности. Так как $<Р) есть функция от ь ь х', ..., х" (которая предполагаетсн непрерывно дифференцируемой), то левую часть можно развернуть как полный дифференциал, и мы по,тучаем: ь бася) , йх'= -Г,,йсэ) йх). Так как это есть тождество относительно йх, то имеем окончательно: — = -1)) $)р). "ЧР) Ь (93,3) Фиксируя на время й, ) и давая р значения 1, 2, ..., и, мы получаем здесь и линейных уравнений с л неизвестными ГА„Г,".„..., Гь„ Определитель этой системы отличен от нуля в силу линейной независимости векторов (93.2), и следовательно, Гь.
находятся однозначно. То, что прн этом Гп удовлетворяют обычному закону преобразования, видно из единственности определяемого ими перене- *) Это всегда л)ажно сделать в элементарном многообразии, но далеко не всегда а многообразии общего вида; многообразия, где это можно сделат)н называются параллелизуеммми. 9 93] пРОстРАнстВА ! с АВсолютным пАРАллелизмОм 441 Здесь х ищутся, таким образом, как функции от х"", причем частная производная каждой неизвестной функции по каждому аргументу выражена через сами неизвестные функции. Геометрический смысл уравнений (93А) состоит в следующем: дх! мы ищем новые координаты хче так, чтобы векторы —,, касательдхье ' ные к координатным линиям хм', совпадали с наперед заданными век~орами Цы), т.
е. обладали абсояютным параллелизмом. Легко видеть, что это требование соответствует свойствам аффинных координат. Следует отметить также инвариантный характер уравнений (93.4) относительно преобразования координат х', так как в левой и правой частях стоят одинаково преобразующнеся контра- вариантные тензоры (при фиксированном я)). Составим условия интегрируемости этой системы. Дифференцируем (93.4] по хн и частные проязводные, получающнесн в правой части, заменяем согласно (93.4): д'х дя)м) дх! д$)м) -ь ! ь дхм дх! дх' дх! дх' Условия интегрируемости получаются, как известно, если мы запишем, что правая часть этого равенства должна быть (вслед за левой) симметрична относительно т, Л д"ь де д гм).! дя)!) ! ь)!) = . -! ч).
дх! дх! (93. 5) Если бы у нас было пространство с кручением, то условия интегрируемости не удовлетворялись бы тождественно, мы получили бы зависимость между х', ..., х", т. е, противоречие. Система (93 4) сенна, а также может быть проверено формальной выкладкой, исходя из (93.3). Таким образом, мы получили довольно обширный класс связностей с абсолютным параллелизмом. Однако есе они будут обладать кручением за исключением лишь случая (локально) аффинного пространства А„. В самом деле, покажем, что в случае Е„ с абсолютным параллелизмом и без кручения можно, ло крайней мере, в некоторой окрестности любой точки М, перейти к аффинным координатам х", т.
е. дсблтьоя Гьр =: †. 0; тем самым наше !'. будет (локально) аффинным лространствол!. Для этого будем искать функциональную зависимость между х! и хн из системы дифференциальных уравнений д, — — $<,„) (хг, ..., хч) (й, «)= 1, 2, ..., и). (93.4) 442 (гл. чн еимлновы птостглнствл оказалась бы несовместной. Но в нашем случае дело обстоит иначе. В самом деле, умножая (93.3) на Цч! и свертывая по (, получим: Ь!= ! «ьы! ь(Ю Из условия Г'; = Г~~ вытекает, что перестановка индексов р, в праной частй равносильна перестановке обозначений индексов суммировании г, 7' и, следовательно, результата не меняет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
