1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 91
Текст из файла (страница 91)
у!и в точках 1 и г+Ж, а значит, отнесенные к разным локальным реперам. При преобразовании координатной системы х эти локальные реперы испытывают преобразование вила (82.11): дх' е,= —., е. дх! дх! зде матрицы —., вычислены в разных точках и, следовательно. дх! являются различными. Поэтому не имеет сиысла сравнивать между собой тензоры (/Д!(Г) и с~РД(1+И), отнесенные к различным и различно преобразующимся реперам. Другое дело, если мы предварительно перенесем параллельно тензор (зД(1+ЕЧ) в ту же точку 1, в которой задан тензор Щ (1). Тогда оба тензора будут заданы в общей точке г, а значит, отнесены к общему локальному реперу.
Вычитание из первого тензора второго будет иметь инвариантный смысл и ласт нам снова тензор в точке 1. Главную линейную часть этого тензора мы и назовем абсолютным дифференциалом Ахи',(Р) теизора Щ(1). Проделаем соответствующие выкладки. Обозначим через стД! тензор (х(Д(1-(-Ю), параллельно перенесенный из точки 1+И в точку 1. Зтоо значит, что, обратно, с!Я(1+дГ) получается параллельным перенесением ЬД нз точки Г в точку 1 —, ,д1. Пользуясь формулой (95.10), можно записатк ('Д (~+ ~~~) Мы поставили знак приближенного равенства, так как формула (95.10) дает нам лишь дифференциалы, а не приращения координат параллельно переносимого тензора, так что в равенстве допускается ошибка иа бесконечно малые высшего порядка, Как видно нз (96.4), йД отличается от (хД(1+дг), а следовательно, и от Ц',(Г), на бесконечно малую величину, Поэтому с принятой степенью точности можно заменить в фигурной скобке йД через ВД(1). Действительно, фигурные скобки множатся еще на с[х, так что ошибка получается бесконечно малой высшего порядка, По той же причине можно заменить (х(Д(г+.а!) через (УДЯ+д(УД(1).
Выражая теперь ОД из (96.4), получаем йД= иД(1)+ диД(1)+ + (Г4,'-!Р! (Г)+ Г( 6НР (1) — ГР~,Щ (1) — ГР,Щ Щ дх", (96,5) 455 % 96) лвсолютный диееегенциал Мы называем абсолютным (ковариантным) дифференциалом Е)Рог(г) главную линейную часть разности (/Я вЂ” Ц',(г) между тензором Ц, '(1+ сГГ), параллельно перенесенным из точки т+ дГ в точку 1, и тензором Щ(Г). Очевидно, ОУЯ совпадает с тем выражением, которое в правой части (96.5) добавляется к Ц',(Г). Действительно, из (96.5) видно, что это выражение лишь на бесконечно малую высшего порядка О~ЛИЧавтея От раЗНОСтИ О)гс — СТЯ(Г) (т.
Е. СОСтаВЛяЕт ГЛаВНуЮ ЧаСтЬ этой разности) и в то же время линейно зависит от И (иместе с дЦ',(~) и дх" (У)). Итак, П(7и(() =йи,'(1)+ +(Г(~(М (1) + Г~г~цг (1) — Ггг,Щ (~) — Гг,Ц~ (~)) дхг. (966) Совершенно аналогично мы приходим к формуле абсолютного дифференциала и и случае самого общего тензора: Здесь (7,',„",' '~,", — тензорное поле, заданное, по крайней мере, вдоль рассматриваемого пути. При выводе нужно воспользоваться конечно, вместо формулы параллельного пересечения (95.10) общей формулой (95.13).
Таким образом, абсолютный дифференциал тензора (тоже тензор) имеет координаты, которые вычисляются следующим образом: берутся дифференциалы координат данного тензоро и к ним приписываются дополнительные члены с участием объекта связности, по одному для каждого индекса тензора. Закон составления этик членов ясен из формулы (96.7).
Впрочем, он был описан и слоиесно в предыдущем параграфе в связи с формулой параллельного перенесения тензора. Это описание вполне применимо и теперь, лишь с изменением знакои исех членов на обратные. В частном случае, когда тензор (7 лишен индексов и явлиется просто инвариантом, так что вдоль пути залано скалярное поле У(Г), дополнительные члены в (96.7) отсутствуют, и абсолютный дифференциал совпадает с обыкновенным: П(7(() = д(ТЮ. (96.8) Для тензора, один раз контравариангного, формула (96.7) принимает 456 [гл. т ш кппкгат лнсолютного диььегвнциговкння внл Пи'(() = йигЯ+ Г[,и (1) йкь. (96.9) Аналогичным образом лля тензора, один раз ковариантного: Ои, (Г) - йи, (1) — Г„, и,(1) йхь. (96.10) кь . ° дх'гадят дхкдх' дх' дх" Мы пишем закон преобразования для перехода от штрихованных координат к нештриховаиным, что ничего не меняет по существу, а для выкладки будет удобнее.
Составим теперь с)0,",,'„ '„", по формуле (96.7), причем вычисляем дифференциал йс/„",',*," ',"„ используя выражение (96.11). Все полученные при этом члены разобьем на три группы, Во-первых, запишем член, полученный при дифференцировании множителя ф'й 'к л дх " дх дх ~(/ гу дх ' дх (96.12) Можно сказать, что в общем случае формулы (96.7) дли каждого верхнего индекса составляется дополнительный член по образцу (96.9) и для каждо~о нижнего — по образцу (96.10), причем каждый раз все остальные индексы тензора переписываются без изменений. Параллельное перенесение векторов, а следовательно, и тензоров, имеющее место в пространстве аффинной связности 7.„, обладает инвариантностью относительно выбора координатной системы. Поэтому наше построение абсолютного дифференциала ОУ,",''",„, проведенное с помощью параллельного перенесения тензоров, также обладает инвариантностью, т.
е. приводит всегда к одному и тому же тензору, независимо от той координатной системы х', в которой проводились выкладки. Но для желающих можно проверить этот факт и прямым подсчетом, исходя непосредственно из формулы (96.7). Мы хотим показать, что величины .И/~,"'',"„, составленные по формуле (96.7), преобразуются по тензорному закону при переходе ог координатной системы х~ к х~ .
Для этой цели запишем закон преобразования тензора У,'„" ","„: $96) 457 Азсолютный днььегенцнал и аналогично для каждого верхнего индекса. В-третьих, поступая совершенно так же и с нижними индексами, получаем, например, для г„выражение и аналогично для каждого нижнего индекса. Очевидно, выражение (96.12), сложенное с выражениями (96.13) для всех верхних индексов и с выражениями (96.14) для всех нижних индексов, дает наи схУ,'," ' ',"„. Теперь мы должны заняться преобразованием вырагкений (96.13) й (96.14), пользуясь законом преобразования Гьр В атом и будет заключатьси принципиальная часть нашей выкладки. дх" Перепишем (96.13), заменяя в первом члене аà —, через дх' дьхи Ф дх" ГГх, а во втором члене аГх через — с»х . Кроме того, дх 'дх" дх ь' заменяем ОР,,;;„", по формуле (96.1 1), причем индекс суммирования г» в первом множителе обозначаем р .
Получим: дх ' дх" Г дьх" П дхл дх" »~ г» Г' дх»ь дх~~ дхя дхх дхг' дхх / Г~Г в виде (89.7), мы окончательно (96.13) Пользуясь теперь законом преобразования дх" заменяем скобку выражением Г ',, †,, и дх» принимает вид дх ' дх ь дх " (96.15) Во-вторых, для каждого верхнего индекса, например, (о мы выделяем член, полученный дифференцированием соответствующего мнодхп жителя в (96.11), в данном случае —,, причем зтот член объедидх'» няем с дополнительным членом в (96.7), отвечающим атому же индексу. Получим для 1,: 458 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [гл. Юн скобкой те же, что и в (96,11), с пропуском лишь законом преобразования Г~! в форме (89.8), ны Мном<ители перед дх' Пользуясь д»" Р дхыдх ' можем заменить скобку через — ГР, ° —, после чего получаем ~ '! дхх д»" окончательно: г, г — —....
— Г,'. и," йх '. дх дх р гх.. А'г рц ..г (96,16) Здесь йх появился в результате объединения множителей йхь и А д»А — с последующим суммированием по гг. Множители перед Г, ° Р', дх" Ыг теперь те же, что и в (96.11), так как имевшийся пробел заполдх ' нен множителем —. По самому ходу нашей выкладки выражение дх" (96.12), выражения (96.15) для каждого верхнего индекса и выражения (96.16) для каждого нижнего индекса дают те слагаемые, на которые распался 7:1иг, '.'.,",. С другой стороны, вынося за скобки г' дх ' д» Р общие во всех этих выражениях множители —, ... —, мы полуд» и чаем в скобках ЕМУ! ' ", составленный в точности по формуле Г ° ° ° ГР ' г''' (96.7) (только все индексы штрихованные).
В результате гг ГР дх' дх' (96. 1 7) Это аначит, что тензорный закон преобразования (96.11) в точности переносится и на абсолютный дифференциал рассматриваемого тензора. Абсолютный дифференциал тензора лредстаеляет собой, таким образом, тензор того асе строения. Аналогичным образом преобразуем выражение (96.14), заменяя г г дх ' дхх ' й — через , йх, обозначая индекс суммирования г, черезр' дх" дх" дхх и выражая ир",'",," согласно (96.11). Получим: 459 $ 96) Авсолютный диФФБРвнциАЛ Мы рассматривали до сих пор тензорное поле, заданное вдоль некоторого пути, и абсолютный дифференциал 7:10,"''",",, брали вдоль этого пути. Если тензорное поле задано во всем пространстве или, по крайней мере, в некоторой л-мерной его области, то абсолютный дифференциал тензора можно брать вдоль любого пути в этой области. При этом, так как координаты тензора в данной координатной системе будут функциями точки (96.18) то д1тп ° ° ° ы д(УП ° гх ' ° ° "» хх» т» д» (96.19) и основная формула (96.7) принимает иид (96.20) где через »7»(3,'," .";„ обозначены коэффициенты при дх" в правой части (96,7) после подстановки туда дУ,"," ",", из (96.19): х (96.
21) дх'~ дх'" - ы Вставим в правую часть — Их вместо дх и сраиним коэффидх" »' дх» циенты при дх в левой и правой частях. Так как с(х сейчас у нас » произвольны, то равенство должно удовлетворяться тождественно относительно Их», и этн коэффициенты должны быть равны. Получаем: дх' дх' ' " 'идх" (96. 22) дх', дх'» ''" "дх" Эти коэффициенты образуют тензор, имеющий один дополнительный ковариантный индекс сравнительно с тензором О,"," ",", (индекс дифференцирования й). В самом деле, вставим в (96.17) разложение абсолютного дифференциала (96.20)) как в старой, так и в новой координатной системе, Получим; 460 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [гл.
ши ди рви=в дхь (96.23) Конечно, легко проверить и непосредственно, что — образуют один ди аха раз ковариантный тензор. Такой тензор мы будем называть градиентом скалярного поля и. Далее, пусть дано поле один раз контравариаитного тензора и'. Тогда ~„и = — +г,и, аи' дхь (96.24) абсолютная производная представляет собой тензор, один раз ковариантный и один раз контравариантный. Наконец, пусть дано поле одноковариантного тензора и,. Тогда (96.25) дхь Мы получаем два раза ковариантный тензор. Если тензор и, †гради днент, и, =-7,и= —,, то получаем: ааи ди (96.26) ~ дхл Если пространство аффинной связности Т.п является просто аффинным пространством А„ (в частности, евклидовым пространством )т„), то в аффипной координатной системе все Гам †О, дополнительные члены в формулах (96.7), (96.21) пропадают, и мы имеем: х" (96.28) Легко заметить, что для ч„и,","'.,"„имеет место тензорный закон преобразования при контравариантных индексах с„ ..., („ и коварнаитных индексах и, г„, ..., г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
