1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Действительно, заменяя в любой из этих формул символы абсолютного дифференциала Е) через дх»~» согласно (96.20] и принимая во внимание, что дифференциалы дх совершенно произвольны, мы имеем право приравнять коэффициенты при дх в правой и левой частях формулы, а это н означает замену символа О символом тт». В заключение нужно вернуться к связи между параллельным перенесением и абсолютным дифференцированием.
Мы начали с параллельного перенесения и на его основе установили абсолютное дифференцирование. Этот путь геометрически наиболее поучителен. Однако возможен обратный, хотя и весьма формальный, но зато короткий способ изложения, а именно, задавшись объектом связности Г,'», можно определить абсолютный дифференциал непосредственно формулой (96.7), показать его тензорный характер (так, как зто было у нас сделано), установить технику абсолютного дифференцирования, а затем определить параллельное перенесение тензора Ц,''',"„ вдоль произвольного пути условием (97.9) Или подробно: будем говорить, что тенэор У~," ' '~ы заданный в каждой точке некоторого пути, параллельно переносится вдоль него, если абсолютный дифференциал этого тянэоро при любом бесконечно малом смен(внии вдоль пути ривен нулю. Легко видеть, что это определение равносильно прежнему.
Действительно, приравнивая нулю абсолютный дифференциал,0У,,"'',"„ записанный согласно (96.7), мы возвращаемся к формуле параллельного перенесения (95.! 3). Этого, конечно, и нужно было ожидать, так как абсолютный дифференциал есть главнзя линейная часть приращения тензора по сравнению со случаем его параллельного перенесения на данном бесконечно малом участке пути. Поэтому обращение 466 АппАРАТ АБсОлютнОГО диФФеРенциРОВАния (гл. Риг абсолютного дифференциала в нуль естественно означает параллель- ное перенесение тензора. В частности, приравнивая нулю Ой': 7)~Г = д",+ Г'„Г йх», мы получаем формулу параллельного перенесения вектора: = — (ч„~~ ах . формальная характеристика параллельного перенесения (97.9) удобна для разного рода выкладок.
Так, например, легко можно получить теорему: при одновременном параллельном перенесении нескольких тензоров ло данному пути параллельно переносятся и тензоры, полученные из них операциями тензорной алгебры. В самом деле, пусть, напрямер, (ун» = иУЬ"»„ (97.10) причем тензоры У, 1Г параллельно переносятся вдоль данного пути. Это означает, что С)(7У = О, Е)1/» = О. Отсюда следует: 7) ((УУ(7,') = 7)(7У- 1~»+ (7Р ..()17» = О, т. е.
произведение теизоров »7и)г» тоже переносится параллельно. Аналогичным образом легко показать, что параллельно переносятся и суммы параллельно переносимых тензоров и тензоры, полученные их свертыванием, Конечно, эти теоремы нетрудно получить и непосредственно из определения параллельного перенесения тензора (9 95). 9 98. Абсолютное дифференцирование в римаиовом пространстве \Г„ Все сказанное в Я 96, 97 справедливо, конечно и для связности ('»и в римановом пространстве. Но при этом абсолютное дифференцирование приобретает и некоторые новые свойства. Прежде всего вычислим абсолютную производную от метрического тензора аг, по оби(ей схеме (96.21): дуг» Р дх" Пользуясь (94.4), мы замечаем, что 9,Р„= О. (98.1) Таким образом, абсолютная производная метрического тензора тождественно равна нулю.
Тем самым тождественно равен нулю и 467 5 98) авсолютное диааееенциеованив в У„ абсолютный дифференциал метрического тензора: ой„,=о. (98.2) 0 (гФ/) = )(7=!) (98.3) Мы знаем, что, действительно, тензорный закон преобразования не меняет этих численных значений. Вычислим абсолютную производную этого тензора: ~Рабг = 6! + Гьрбг Гагбр дха Частная производная от константы Ь~г дает нуль, а остальные члены в результате суммирования по р приводится к виду г'„— г' = о.
Итак, и тем самым с)6,'=О. 9,6) =- о, (98. 4) Этот результат верен, разумеется, не только в римановом пространстве И„, но н в любом пространстве аффинной связности У„. Теперь покажем, что и для контравариантного метрического тензора 4о абсолютный дифференциал тождественно равен нулю; 1)дгт=о, или, что то же, т7 40=.0. Для доказательства запишем основное соотношение, выражающее, что матрицы д; и дб взаимно обратные и при перемножении дают единичную матрицу: уч'4 = Ьгг. (98.6) Берем почленно абсолютные дифференциалы (от левой части— как от произведения тензоров, выполняя свертывание по р после дифференцирования): гтдг.д„) ~г .п~„=-вц. В силу (98.2) и (98.4) получаем: 7)р'г.д , = О, Рассмотрим теперь поле единичного тензора 6';, считая, что в каждой точке Л4 и в любой координатной системе х' его координаты определены соотношениями 468 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [гл.
Юп т. е. тензор 0у'Р равен нулю после опускания индекса рч следовательно, он н сам равен нулю, и (98.5) доказано. Пусть теперь в рнмановом пространстве заданы два тензорных поля, например, $';; н Р' ;, причем первое получается нз второго опусканием индекса г, а следовательно, второе из первого †е поднятием (см. (85.5), (85.6)): (98.7) Берем почленно абсолютные дифференциалы, причем правые части диффенцируются как произведения (с выполнением свертывания после дифференцирования): П)Р'„= (ОА„))'",,, +дР) ",„П)Р"; = (98' ) )",;+Р" П)г',;, Так как Ой„=- Т)д"Р =- О, то мы получаем: (98.8) формулы (98.8) показывают, что операции опускания и поднятия индексов перестановочны с операцией абсолютного дифференцирования.
Проверим еще при помощи абсолютного дифференцирования известный нам факт, что при одновременном параллельном перенесении векторов $Г, т)г по данному пути их скалярное произведение 8;фт)т не меняется. Очевидно, В (ДтР91) = (Вйу) ~9'+ д;, Щг) т)1+дфот)'= О, так как Вйг всегда Равен нУлю, а г)$', Ат$~ Равны нУлю в силУ параллельного перенесения этих векторов. Абсолютный дифференциал от инварнанта совпадает с обыкновенным, так что получаем: с((дат)~) = О, т.
е. йфт)у= сопят, что мы и хотели показать. Мы видим, что геометрический смысл соотношении Ой. = 0 †э неизменность скалярного произведения !/ параллельно переносимых векторов. Заметим, что в рнмановом пространстве нетрудно ввести основные понятия векторного анализа по аналогии с обычным пространством, Так, каждому скалярному полю <р=ю(х', ..., х") й 98) авсолютное дисзагенцигование в Ь'„ отвечает поле вгктора-градиента % =Чу=в др дхг который можно задать и контравариантными координатами, подняв, индекс 1: % =К зрю Каждому векторному полю $з=$'1х', ..., хя) отвечает дивергенция †инвариантн скалярное поле ~Д'.
дивергенция от градиента скалярного поля ~р называется оператором Лапласа от ф: д р= Чз(а'рт) =И'Чзр, р. Все эти понятия, очевидно, принимают обычный вид, если рзссматривать обычное пространство в прямоугольных координатах. Сложнее обстоит дело с ротором векторного поля $~, который в л-мерном случае приходится определить как бивгктор: дау дез ьз =Чь т" й= дх' дх" где $з — ковариантные координаты вектора й'. Инвариантное истолкование этого бивсктора как вектора тг' возможно лишь в трехмерном случае.
Оно производится по формулам 1 ! — $ з тр= =аз та )'к з о ==язв рк ~Щ = дг;б ~,ЛЯд = — Лзр. д дхз причем мы ограничиваемся координатными системамн некоторой данной ориентации. Следует отметить еще, что в частном случае, когда риманово пространство является гвклидовым, абсолютный дифференциал в криволинейных координатах выглядят по внешнему виду не проще, чем в общем случае риманова пространства. Его более простой характер выступает явно лишь при переходе к аффинным координатам, Тогда коэффициенты связности обращаются в нуль, дополнительные члены пропадают и абсолютное дифференцирование дает тот же результат, как и обыкновенное.
Лля любого тензора, например кзз1, мы в втоц случае имеем: 470 кппхгхт ьвсолютного диеаггенцигования (гл. чш В главе 1, рассматривая обычное евклидова пространство е прямоугольных координатах, мы вводили абсолютное дифференцирование именно этим путем. Все полученные там тензорные соотношения с участием абсолютных дифференциалов или производных имеют л1есто и е любых криволинейных координатах, если, разумеется, выполнять абсолютное дифференцирование так, как в этом случае полагается (с участием Гьп). Впрочем, при переходе к криволинейныи координатам нужно произвести еще расстановку индексов у тензоров— часть их поместить наверх, — в то время как в главе 1 мы все индексы писали внизу, пользуясь тем, что в ортонормированном репере в собственно енклидовом пространстве ко- и контравариантные индексы ведут себя одинаково.
9 99. Кривые в римановом пространстве У„ В этом параграфе мы ограничимся такими свойствами кривых в римановом пространстве Ь'„, для которых существенно лишь параллельное перенесение векторов, а метрика не играет роли. !1оэтому все сказанное будет справедливо и для кривых в пространстве аффннной связности 1.„(только касательное пространство А„ не будет в этом случае евклидовым пространством Я„). Рассмотрим параметрически заданную кривую х'=ха(1), сс -1()), (99.1) где х' предполагаются п раз непрерывно дифференцируемыми функйх' (г) циячн параметра, причем производные — ни в одной точке не й! обращаются в нуль одновременно. В каждой точке кривой составляем касательный вектор $'.
(99.2) Так как вдоль нашей кривой $'(1) образуют тензорное поле, то в любой ее точке можно вычислить абсолютный дифференциал Х= Я+Г' В дх (99.3) прн бесконечно малом смещении из точки ! в точку !+И. Разде- лив (99.3) на Ж почлснно, получаем: яг ~ф ихой — — +г (99.4) ф 99] кгивые в гимановом пгостгаистве У, 471 р5г Один раз контравариантный тензор, в частности, — „, всегда имеет истолкование в касательном евклндовом пространстве Я„ в виде 05г (г) век~ора.
Вектор „ мы будем называть производной вектора я' по парзметру (. От этого векторного поля можно в свою очередь вычислить производную , которую мы будем обозначать пзбг — н т. д. Выпишем последовательность векторов йгь К' (() О'$ (г) и" '5'69 (99.5) в какой-нибудь точке М(О на кривой, Вообще говоря, эти л векторов будут в каждой точке линейно независимыми. Рассмотрим этот случай, которсчй меч будем называть основнсчм (кривая основного хила). Плоскость в касательном пространстве Иь, проходящая через точку Я и построенная на лврвых р векторах (99.5), называется р-й соприкасающзйся плоскостью )с .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
