1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Тензор ч и," ,'","„ называется абсолютной (или ковариантной) производной тензора и,",'' ","„. Впрочем, мы иногда будем называть абсолютными производными и отдельные кооРдинаты тензоРа чьи,,' .',,". Очевидно, абсолютные пРоизводные тензора и,","',", играют по отношению к его абсолютному дифференциалу ту же роль, как обыкновенные частные производные по отношению к обыкновенному полному дифференциалу. Рассмотрим частные случаи. Если нам дано скалярное поле и(х', ..., х") (тензор лишен индексов), то в (96.21) дополнительные члены отсутствуют, и мы получаем абсолютную производную 5 97) ТЕХНИКА АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 461 Другими словами, абсолютный дифференциал тензора совпадает с обыкновенным дифференциалом, а абсолютные производные— с обыкновенными частными производными.
В частности, пусть нач задано вдоль кривой х'=х'(1) поле тснзора $ч(1), а следовательно, н векторное поле $(г) = $'(1) е,. Тогда абсолютный дифференциал 7)~' отвечает вектору .0$'(1) е; =с$'(1) е;=д (йг(1) е,) =а4(1). Таким образом, абсолютное дифференцирование тенэора е~ означает дифференцирование соответствуюи(его вектора $ в прямом геометрическом смысле этого слова: с(й (1) = ф' (1) д1, где $' (1) = йш М(1) АЧ 0 Результат был выведен в аффинных координатах в А„(или в )с„), но в силу тензорного характера абсолютного дифференциала с)в' он дает координаты того же вектора с($ н в любой криволинейной системе координат (в локальном репере, 9 76). Не нужно забывать, что упрощенные формулы (96.27), (96,28) верны лишь в аффинных координатах.
Если рассматривать аффинное пространство А„ в криволинейнвгх координатах, то приходится пользоваться общими формулами (96.7), (96.21), так как Гьи Отличны от нуля. 9 97. Техника абсолютного дифференцирования Чтобы свободно обращаться с операцией абсолютного дифференцирования, мы должны установить правила, по которым она комбинируется с операциями тензорной алгебры. Другими словами, мы должны дать правила, по которым мы сможем находить абсолютные дифференциалы от суммы тензоров, от произведения тензоров и от свернутого тензора, Говоря о тензорах, мы имеем в виду тензорные поля, заданные, по крайней морс, вдоль того пути, по которому берется абсолютный дифференциал.
Пусть тензор (ул" ,',", представляет собой сумму двух илн нескольких тензоров того же строения (97,1) Тогда (97.2) Действительно, выпишем формулу (96.7) для тензора У,,';;.","„и 462 АППАРАТ АВСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ (гл. нш совершенно такую же формулу для тензора )т,', ..',„': Складываем эти формулы почлснно, объединяя соответствующие члены их правых частей и заменяя везде сумму тензоров У и )т через (Р согласно (91.1).
Кроме того, учитываем, что В результате в правой части мы получаем для )Рт в точности такое же выражение, какие были выписаны для У и (т, т. е. а это нам и требовалось доказать. Мы приходим к правилу дифференцирования суммы тензоров: Пусть теперь тензор 'й,",. ф' "~;„ представляет собой произве° г~ ° ° гж ° ° ° ть дсиие двух тензоров: (91. 4) Тогда Лругныи словами, абсолютный дифференциал произведения тензоров получается по обььчному правилу: абсолютный дифференциал первого множителя, умноженный на второй множитель, плюс первый множитель, умноженный на абсолютный дифференциал второго.
При атом существен именно такой порядок перемножения. В формуле он обеспечен расстановкой индексов (в каком же порядке перемножать координаты тснзоров, например, 0У,",','' и (т~~,'"', конечно, безразлично). Перехолим к выводу формулы (97.б). Запишем развернутое выражение абсолютного дифференциала в ее левой части. В него войдет прежде всего обыкновенный дифференциал 9 97) ТЕХНИКА АВСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 463 а затем дополнительные члены, по одному для каждого индекса.
Объединим первый член правой чисти (97.6) с теми дополнительными членами, которые отвечают индексам 7 ... ), г ... т, т. е. индексам, «снятымь с первого множителя. Эти дополнительные члены будут составлены по схеме (96.7). Получим: ~(ун ~ь )тт ° ! Члены в скобке составлены по очереди лля индексов чы ..., ~ь, т,,..., т„ так что индексы /ы ..., 7'„, в„ ..., г„ во всех слУчаих переписываются без изменения. Заменяя Ю произведением У на Р' согласно (97 4) и вынося за скобку общий для всех членов множитель )тт,';'',", получим: )(Щ.;.';„+ (Рь,иь,',*;.;ь+... — Рь„и*,*,", .",,'',", —...
) ймь~ р;;",„. Но в фигурной скобке стоит, очевидно, 0У,',"'.',"„, так что мы получаем первый член правой части в (97.5). Совершенно аналогично, объединял второй член правой части (97,6) с теми дополнительными членами, которьье отвечают индексам 7'„..., у'„, е„..., в„, мы получим второй член правой части (97.5). Этим формула (97.5) доказана.
Абсолютный дифференциал произведения любого числа тензоров вычисляется следующим образом: множители Етого произведения поочередно заменяются своими абсолютными дифференциалами с сохранением прежнего места в произведении, и полученные резульлаты складываются. Это легко доказать, переходя от А) к И+1 (где И вЂ” число множителей в произведении) путем применения формулы (97.5). Теперь переходим к абсолютному дифференцированию свернутого тензора.
Рассмотрим тензор Ст,," ''.~"„, полученный свертыванием тензора У,,",', .'.,"„, нзпример, по первому верхнему и первому нижнему индексам: Запись абсолютного дифференциала От свернутого тензора 077~~," "~" является, в сущности, двусмысленной: неясно, произведено лй здесь сначала свертывание, а от результата взят абсолютный дифференциал, или сначала взят абсолютный дифференциал 0У,",," ,'';„ а затем произведено свертывание по индексам йы т,. Мы покажем, однако, что оба истолкования приводят к одному и тому же выражению, т.
е. операция свертывания перестаноеочна с операцией абсолютного дифференцирования. В ятом и будет заключаться наш результат. 464 АППАРАТ АВСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ (гл. чш Начнем с вычисления с)У„",' ' ',"„истолкованного во втором смысле. Тогда мы должны положить в формуле (96.7) г',=тат-э и по в произвести суммирование. Г!окажем, что при этом в правой части взаимно уничтожатся дополнительные члены, отвечающие индексам г и г . В самом деле, эти члены суть а после того как мы положим 1, = г, = в, они примут вид т. е. взаимно уничтожаются, так как в скобке уменьшаемое равно вычитаемому (равнина только в обозначениях индексов суммирования: р вместо в, и наоборот).
В результате формула (96.7) принимает вид — Г„,(7,„;;„—... — Г„,,Г,„*,;;Р~дх. В левой части мы произвели свертывание в абсолютном дифференпиале тлст,",,", '',", Присмотревшись же к правой части, мы замечаем, что она представляет собой абсолютный дифференциал от свернутого тензора (7,',",''',",, составленный по общей схеме (96.7). Г!ри этом индекс в, конечно, в счет не идет †нему произведено суммирование — и яндексами здесь служат лишь га..... г'„; г,..., г,. Им как раз и отвечают сохранившиеся дополнительные члены.
Итак, полученное равенство можно переписать в виде (97. 7) где в левой части свертывание производится после дифференцирования, а в правой †дифференпировання, что отмечено скобкой. Итак, оба истолкования зиписи 0„', ',"„ имеют по существу один и тот асс омьчсл. А это мы и хотели установить. В технике абсолютного дифференпирования этот результат находит наибольшие применения в случае свертывания между собой двух или нескольких тензоров. Пусть, например, требуется найти ст(аОР'т)т), где а;, йг, т)" †некотор тензорные поля. Абсолютный дифференциал берется здесь от выражения а; $'г)т, которое нужно понимать, как произведение наших тензоров а;апет)ч, свернутое затем по индексам 1 и р, у и д Но свертывание можно выполнить и после $ 97! техник» лвсолютного дивэктанциговлния 465 абсолютного дифференцирования.
В результате мы должны проднфференцировать а;,$тт)ч, как произведение тензоров, а затем выполнить свертывание. Получаем: Е) (афц~) = (Юа;7) $»т)т-(- а, . (7)яг) т)т -)- а~фйт)т. (97 8) Таким образом, правило дифференцирования произведения тенэоров формально сохраняется и лри наличии свертывания. Заметим, что в левой части равенства, мы имеем (в нашем примере) абсолютный дифференциал от инварианта, так что с равным правом можем писать д(а»тр'т)7). Полученные нами в этом параграфе правила абсолютного дифференцирования (97,3), (97.5), (97.7) автоматически переносятся и на абсол|отные производные простой заменой знака 0 на знак 9».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
