1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 96
Текст из файла (страница 96)
(в случае е» = — 1) и сопровождающий репер которой при з = зь совпадарт с нипвред заданным репером. Докажем теорему сначала в случае е', = 1. Будем рассматривать (100,17) как систему линейных дифференциальных уравнений с аргументом з с неизвестными функциями уь(з) у т(з). Коэффициентами хю ..., х„ , служат при этом наперед заданные функции (100.19).
Знак -~ в кзждом из уравнений йтр — =~Х Ур „+Х + Урь, выбирается следующим образом: плюс, если орты е, е, разноименные, и минус, если они одноименные. Кроме того, на неизвестные функции ч (з), ..., ТР,(е) мы накладываем начальные условия ть (з,) = еь* Ут (зь) = еы ° . ~ У -т (зь) = е -м (100 20) Тогда, как известно нз теории дифференциальных уравнений, система допускает решение, существующее на всем интервале нзменения з (от зь до зт) и при этом единственное. Г[ас не должно смущать, что неизвестные функции ТР (з) являются векторами: каждую из них можно заменить и скалярными функциями, именно, координатами вектора у (з), н соответственно каждое векторное урав- Р нение системы (100.17) ззменить и скалярными уравнениями, Теорему существования и единственности решения мы применяем тогда к системе и' линейных дифференциальных уравнений с ль неизвестными функциями, теперь уже скалярными.
Построив таким образом вектор-функцни тр(з),мы должны показать, что они образуют ортонормированный репер при любом значении е (а не только при з=з, когда онн совпадают с ортами е ). $ 100) кгивыи в еимлновом пгостглнстве (окончании) 483 Покажем это прежде всего для случая собственно евклидова пространства )с„. Тогда в уравнениях (100.17) вместо ~ везде стоит в . Пусть в †произвольн постоянный вектор в тс .
Обои' значим через а;(г) скалярные произведения. а; (г) = зт, (г). (100.21) Умножая почленно уравнения (100.17) на в скалярно, получим: гаи гг ИИ1 — = — ха+ха, г — 12 22 Или — = — ха,+ха 2 д 3> Хтлт, (100.22) ги„ == — х „а Дг и- и 2' ОЧЕВИДНО, аи, а1,..., аи МОЖНО РаССМатРИВатЬ КаК КОВаРиантлые координаты вектора в относительно переменного репера [та(г), тД(г), ..., ти ,(г)). ЬУДЕт ЛИ ЭтОт РЕПЕР ОРтОНОРМИРОВаиным, пока не предрешается. Заметим, что векторы мр(г) во всяком СЛУЧаЕ ЛИНЕЙНО НЕЗаВИСИМЫ: КОСОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ [Ъитт...ти ] ОС- тается постоянным (что легко получить из уравнений (100 17), вычисляя чи-[тить...т, 1] = 0), а, обращаясь к начальным условиям (100 20), получаем [т т1...
т„1] = [гаг1... е„1] Ф О. Состаним сумму квадратоз координат а„(г) н покажем, что она остается постоянной в процессе измеиенйя и (г). Для этой цели вычислим ее производную: И вЂ” (а',+ а', + а',+... + а„',) = ли и 1«11 гаи '«~и-1 = 2 (аи — + а, — + а — +... + а 1 — "- ~ = О. Иг Иг Иг '' и- гг а' = а', + а', +... + а„*,. В результате скалярный квадрзт произвольного вектора а выражается в нашем переменном репере суммой квадратов ковариантных координат вектора в, а это означает, что переменный репер является ортонормированным, что мы и хотели доказать, 1ии Равенство нулю немедленно вытекает из (100.22), Итак, сумма квадратов координат а остается постоянной, а так как при г =г„ наш переменный репер совпадает с ортонормированным репером (100.20), то эта сумма квадратов выражает скалярный квадрат вектора в: 484 лппатхт лвсолютного дияввтннцитовьния [гл.
шп В случае псевдоевклидовз пространства )т„доказательство проводится совершенно аналогичным образом. Конечно, вместо суммы квадратов координат а нужно брать еьа', + е,а, '+... + в„та„' „ где в равно +1 в зависимости от того, является ли ер единичным или мнимоединичным вектором. Вместо уравнений (100.22) мы будем иметь уравнения вила дар — „е - — в,в тмрар 1+мр,тар,т. В остзльном ход рассуждения не меняется. Установив, что вектор-функции т (г) образуют ортонормнрованный репер, мы строим искомую кривую, выражая ее скользящий радиус-вектор как функцию от ьс г "(г) хь+г 'то(г)дг (100.23) где хь обозначает радиус-вектор точки Мь.
Тогда при г=гь мы попадаем в точку М,. Кроме того, из (100.23) следует: х (г) в мо (г). (100. 24) Но вектор вь(г) единичный, так как при г=гь он совпадает с единичным вектором е . Таким образом, производная радиуса-вектора по параметру г будет единичным вектором, откуда оледует, что г играет роль дуги вдоль построенной кривой (заранее мы этого не знаем). Установив, что я (г) †единичн касательный вектор, и пользуясь соотношениями (100.17), которым удовлетворяют функции т (г), мы без труда убеждаемся, что векторы зг (г) образуют для построенной кривой сопровождающий репер, а наперед заданные функции и (г) играют роль кривизн. Этим теорема доказана. Правда, в теореме еще утверждается единственность искомой кривой, но это легко получить из следующих соображений.
Для ортов яр(г) сопровождающего репера искомой кривой необходимо имеют место уравнения (100.17), т. е. формулы Френе, так что, учитывая еще начальные условия, функции тр(г) можно получить только тем способом, как это было сделано. При этом для касательного орта ч, (г) необходимо имеет место соотношение (100.24), интегрируя которое мы приходим к (100.23). Таким образом, полученная нами кривая единственно возможная. Мы провели доказательство в случае е', = 1. В случае е', = — 1 оно производится дословно так же, только обозначение парзметра г нужно везде заменить на о. Формула (100.24) получится у нас 101] геодезические линии В Римановом НРостРАнстве 485 в виде 9 101. Геодезические линии в римановом пространстве Мы рассматривали в 9 90 геодезические линии в пространстве аффинной связности Е„, в частности, в пространстве Е„'(без кручения).
Все, сказанное там, справедливо н для геодезических в римановом пространстве Р'„, так как риманова связность есть частный случай аффинной связности без кручения. Но в связи с наличием метрики у геодезических линий появляются новые свойства, которые мы и хотим сейчас рассмотреть. Отметим прежде всего, что для неизотропной геодезической длина дуги 5 (нлн и) служит каноническим параметром (9 90), так что все остальные канонические параметры т будут отличаться от в лишь постоянным множителем. В самом деле, касзтельный едннич«хд ный вектор —, взятый в какой-нибудь точке геодезической и затем «5 параллельно переносимый вдоль нее, остается касательным (по определению геодезической) и сохраняет длину 1 (по свойствам ри«хг мановой связности), т. е.
остается вектором †, а это значит, что «5 дуга 5 служит каноническим параметром. Поэтому для геодезических, отнесенных к параметру 5, имеют место дифференциальные уравнения (90.6): «вхь А «х'«х~ — = — ГА.— — . «55 П «5 «5 (101П) ') Число последних, конечно, должно совпадать с нндехсом а пространства )1» ( = Я~~ '), х' (а) = чь (о), (100.
25) причем чь(п) будет (вместе со своим начальным значением е ) мнимогдиничным ортом. Это говорит о том, что кривая имеет чисто мнимую длину дуги 5, причем 5 =си. Из доказанной теоремы вытекает следующее. Когда для искомой кривой в Й„ наперед заданы чнатуральныг уравнгнияв, т. г, зависимость кРивизн хд, ..., н„ д ог дУги в ЛРи 5 (в(5 (или, аналогично от параметра О), и, кроме того, указано, какие из векторов сопровождающего репера чь, чд, ..., чн д должны бать единичными и какие — мнимогдиничнымид), то кривая определяется с точностью до движений в йы Действительно, в этом случзе произвол сводится лишь к выбору начального ортонормированного репера (Лйв, ев, ..., е„ ), причем заранее известно, какие из его векторов должны быть единичными и какие †мнимоеднннчны, тогда начзльный репер, а вместе с ням н кривая определяются с точностью до движения в Й„.
486 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦНРОВАННЯ [гл. ип Совершенно аналогично обстоит дело в случае геодезической мннйл' мой длины з=о1, когда за параметр мы принимаем о. Тогда йо йхг аналогично — будет параллельно переносимым вдоль геодезической йг касательным вектором (только не единичным, а мнимоединичным), параметр о будет каноническим, и снова имеют место дифференциальные уравнения (101.1) с заменой параметра з на о.
В собственно римановых У„ все геодезические †неизотропн (н вещественной длины) и их всегда можно относить к дуге з как к параметру. Но в случае псевдоримановых 1'„ обязательно существуют и изотропные геодезические. Имеет место следующая теорема: Геодезическая линия, проведенная через данную точку Лйв в изотропном направлении, будет изотропной на всем своем протяжении. В самом деле, касательный вектор В к геодезической в точке М Г будет изотропным, т. е, имеет нулевую длину, будучи сам отличен от нуля, При параллельном перенесении вдоль геодезической этот вектор остается к ней касательным и в то же время сохраняет нулевую длину по общим свойствам римановой связности.
Таким образом, наша геодезическая и в любой своей точке будет идти в изотропном направлении. На нзотропных и геодезических нельзя принять за параметр длину дуги з (или о) ввиду ее тождественного обращения в нуль, Но, разумеется, можно рзссматривать канонический параметр т (990). Рассмотрим теперь задачу: вычислить вариацию длины дуги какой-либо неизотропной кривой в У„. Вопрос ставится так, Данная кривая (101.2) варьируется, т, е. включается в некоторое семейство кривых х'=х'(1, ц) (1,(1~1,), (! 01.3) зависящих от параметра ц. Таким образом, при некотором определенном значении а уравнения (101.3) совпадают с (101.2). Мы будем считать, что при 1Т - 1 ( 1Е и в том интервале изменения, который пробегает а, функции хг(1, а) дважды непрерывно дифференцируемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
