1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Вычислим длину кривой семейства согласно (85,10): ф 101] геодезические линии В РНИАнОВОМ НРОстРАнстВе 487 (,,„,„) Лх~ Л Е1 ~ И. (101,4) . /' Лх Лх/ 'Г а —— де ле Предположение о нензотропности кривой, длину дуги которой мы взрьнруем, как мы видим, весьма существенно: иначе знаменатель Йз подынтегрального выражения, равный 2 — „, обращался бы в нуль. е(хе лхх Обыкновенный дифференциал 6 от инварианта и — — можно за- ВНЕ ЛЕ менять соответствующим абсолютным дифференциалом Б (тоже прн бесконечно малом смещении по линии а при постоянном Е): Лхе - Йхг = 2 —.Π— .
ЙЕ дЕ ' (101. 5) Мы воспользовались здесь Равенствами .Оке —— 0 и Ахеу —— к е,' последнее позволило объединить два полученных члена. - Йхх. Запишем в развернутом виде Е) —: ИЕ НЕ и ле В процессе преобразования мы изменили порядок частных диффеОенцнпований и' и 6, а также переставили нижние индексы у Г~~р,' Так как хе зависят не только от Е, но и от а, то под знаком корня следовало бы писать частные производные по Е с круглыми д. Но мы условимся обозначать частные дифференциалы по Е символом еЕ, а частные дифференциалы по а †символ 6, Полученная длина а кривой семейства зависит, конечно, от выбора этой кривой, т. е. от параметра а.
С формальной стороны это скззывается в том, что а входит как параметр в подынтегпальное выражение через хе (Е, а), от которых ззвисят ле (х', ..., х"), лхе(Е, а) и через Вычислим теперь вариацию ллины кривой х, т. е. ее дифференцнал бг по аргументу а: 488 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ. ЧП это законно, так как риманова связность без кручения. Через [) мы обозначаем абсолютный дифференциал, отвечающий бесконечно малому смещению Ж по кривой семейства (при постоянном а). Теперь (101.5) принимает вид Возвращаясь к (101.4), заменяем числитель полученным выражением, нг а знаменатель †чер 2 — .
В результате имеем: нг' бг = ~ Д г — „г>бхУ. (101. 6) Распространяя действие символа А) на все подынтегральное выражение и вычитая возникающие вследствие этого лишние члены, получаем: Под знаком первого интеграла стоит абсолютный дифференциал В от ннварианта, Его можно заменить, следовательно, обыкновенным дифференциалом и'; производя интегрирование, получим: и бг= ~йг — „бх~~ — р! — „ЬхУ~ — ~ д й — бхт.
(101.8) 1 Значки 1, 2 указывают, что соответствующее выражение вычисляется при 1 = 1 и при 1 = Рз, т, е. в начальной и конечной точках кривой. В формуле (101.8) длина луги г может быть как вещественной, так и чисто мнимой: г =ай Для определенности мы будем заниматься лишь первым случаем, имея в виду, что второй можно трактовать совершенно аналогично.
Нужно только поделить обе части равенства на !, после чего в левой части бг заменится на бп, а в правой части !тг (в знаменателях) заменится на — !Та. Тем самым мнимые величины будут исключены, и вместо г мы будем рассматривать о. Когда мы от данной кривой семейства с определенным значением пзраметра а переходим к бесконечно близкой кривой а-[- ба, причем каждая точка кривой а переходит в точку кривой а -!-6а с прежним значением 1, то векторы соответствующих бесконечно малых смещений суть бх'(т, а).
ф 101] геодезические линии В РнмАнОВОм пРОстРАнстВе 489 Поэтому проинтегрированные члены представляют собой проекции вектора бесконечно малого смещения бхт на единичный касаах' тельный вектор — в начале и конце кривой (собственно говоря, в прямых скобках стоят скалярные произведения, но скалярное произведение какого-либо вектора на единичный вектор равно его проекции на направление этого единичного вектора). Нетрудно уяснить себе из наглядных соображений, что такого рода проекции в конце кривой дает, действительно, удлинение кривой, вызванное смещением ее конца; то же самое имеет место и в начале кривой, только проекцию нужно взять с обратным знзком. Если концы варьируемой кривой закреплены, т, е, х'(1, а) = сонэ(, хг(гх, а) = сонэ(, (101.9) прн переменном и, то бх' на концах кривой обращаются в нуль.
Проинтегрированные члены исчезают, и (101.8) принимает вид (101.10) Првдположим, кто рассматриваемая кривая (101.2) стационарной длины. Под этим мы будем понимать, что, варьируя эту кривую любым образом, однако при условии неподвижности ее концов, мы всегда будем получать бв = О. Тогда (101.10) дает А Ю вЂ” бхай=0 Йх' ва бхт при любом выборе — как непрерывно дифференцируемых функций бсс от Е По основной лемме вариационного исчисления отсюда следует обращение в нуль тех функций от 1, которые служат коэффициентами при Ьхт под знаком интеграла: йх' Е,.Р— = 0. йх вх' Поскольку, таким образом тензор Е1 — равен нулю после опускаИх ния индекса, то, поднимая индекс обратно, мы получаем: йх' Это равенство означает, что касательный вектор — параллельно да 490 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [гл.
чш переносится вдоль нашей кривой. Отсюда следует ($ 90), что наша кривая является геодезической, а длина дуги э служит вдоль нее каноническим параметром. Обратно, пусть кривая (101.2) — неиэотропная геодезическая, Ы Тогда — есть параллельно переносимый вдоль геодезической касайг тельный вектор, так что йх! А! — = 0 йэ (101.! 1) н (101.10) дает нам при любых Ьхт бе= О. Таким образом, вариация длины геодезической линии с закрепленными концами всегда равна нулю. В итоге мы получаем теорему: для того чтобге неизотропная линия в римановом пространстве обладала стационарной длиной, необходимо и достаточно, чтобы она была геодезической (в частности, в евклидовом пространстве )с„— чтобы она была прямой). Следовательно, неизотропные геодезические получили у нас новую характеристику, как неизотропные линни стационарной длины.
В случае собственно рнманова У„ все линии неизотропные, так что стационарность длины может служить определением геодезической линии. Отметим, что для (неизотропной) геодезической формула (101,8) принимает простой вид бэ = ~уи — „бх~~ — ри — „бхт~, (101.12) йх' Р1 йг Ь и по первой формуле Френе РРΠ— -=к ч' 1 1э если принять во внимание (101.11).
Итак, вариация длины геодезической вполне определяетсл векторами бесконечно малых смещений ее концов. Прн этом не ну1кно думать, что .при вариации геодезической мы требуем, чтобы она переходила снова в геодезическую: семейство, в которое она включается, остается произвольным. В занлючение будет интересно рассмотреть формулу (101,10) уже не специально для геодезической линии, а для кривой обшего вида (основного типа, Я 99, 100). Тогда $ 102) гводязичзски плглллзльныв гипвгповзехности 491 так что дх~ гл — =х ч'с(г.
йз 1 х Теперь (101.10) принимает вид 5 6з= — ~ и,(з)у;р',6хтдг. (101.13) Ввиду появления дз под знаком интеграла нам пришлось указать пределы изменения тоже для г. Итак, вариация длины дуги кривой с закрепленными концами получается следующим образом: проекция вектора бесконечно малого смеи1ения бхз на первую нормаль умножается на первую кривизну и и на с(з, интегрируется ао всей кривой, и результат берется с обратным знаком (если тхг — единичный вектор; если же он мнимоединичный, то формулировка несколько меняется).
й 102". Геодезически параллельные гиперповерхности х'=х'(и', и',..., и" '), (102. 1) где параметры и" (а= 1, 2, ..., л — 1) пробегают некоторую связную область изменения ь1„, а функции х (и") (по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемые в Й„ и на ее грзнице) удовлетворяют условию (83А) дх" ди' дхх дх' ди' ди' равен и†1. (102.2) ранг матрицы дх1 дхх дх« д «-1 де«-1 ' ' ' ди«-1 В каждой точке М ~ )т„ , имеется вполне определенная неизотропная нормаль (в касательном пространстве й„; см.
$ 85), единичный Для изучения геодезических линий в римановом пространстве В'„ и самого 1'„ в ряде случаев приносят пользу специальные, связзнные с геодезическими линиями геометрические конструкции. В частности, они позволяют строить координатные системы в й'„ с нзиболее простыми свойствами. Конечно, вообще говоря, в Ъ'„ нельзя построить такие простые координатные системы, кзкими являются, например, ортонормнрованные координатные системы в Я„ но частично все же можно приблизиться к их свойствам.
Выберем в )т„ произвольную неизотропную гнперповерхность 1 «-1' АппАРАт лвсолютного диФФеРенциРОВАиня (ГЛ. ЧП1 492 (или мнимоединичный) вектор которой мы обозначим т)1 (рис 19). Правда, такой вектор можно построить с точностью до умножения на — 1, так что в одной точке гиперповерхности У, мы выберем его направление произвольно, а во всех остальных †принципу непрерывности. Через каждую точку М гиперповерх- ( ~ 1~,' ности У„ 1 проведем геодезическую ли( ' ; нию в йаправлении нормали, т. е, века .' тора т)1. Эту геодезическую мы будем называть нормальной к У„ 1. Отнесем ее к параметру з, если она вещести(и)...,а" венной длины, и к параметру О, если она мнимой длины (изотропной эта ге- Ь одезическая быть ие может, так как касательный к нейвектор Ч1 неизотропный), Рнс, !9.
Точку М принимаем за нзчзльную точку отсчета а = 0 (или о = 0). Положительное направление отсчета параметра выбираем в сторону т)', т. е. Лхг / Лх(1 так, чтобы в точке М касательный вектор — ~или †) совпадал Ла (, Й~~ с т)' (а не с — т)г). для определенности рассматриваем в дальнейшем случай вещественной длины. Если мы зададимся определенными значениями параметров и" из области ь)„и определенным значением а, не слишком большим по модулю, то этим определится некоторая точка Ь в нашем римановом пространстве, а именно, параметры й' определяют точку М на У„ „ в значение з †определенн точку ь на нормальной геодезической, проведенной через М, так что В частности, при з = 0 мы попадаем в точку М на У„ 1.
При переменном а и постоянных и" мы, очевидно, движемся по нормальной к У„ геодезической. Поскольку точка 1. однозначно определяется значениями и", г, ее координаты х' являются однозначными функциями этих переменных: х'=х1(и', ..., й ', а), (102.3) где и" пробегают область изменения ьхх, а а — некоторый интервал изменения, включающий нуль. При этом от параметров и' непрерывно дифференцируемым образом зависят начальные условия, определяющие геодезическую: координаты ее начальной точки М на У с х-1 и координаты ее начального касательного вектора т) в точке М, Из теории дифференциальных уравнений следует, что в этом случае решение дифференциальных уравнений геодезической (101,1) тоже з 102) Геодезически пАРАллельные ГипеРповеРхиости 493 непрерывно дифференцируемым образом зависит как от аргумента з, так и от параметров и".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
