1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 101
Текст из файла (страница 101)
+),Ь( (104.13) (4) Здесь Ь; — известные нам функции точки, а )чд,..., Хр — неизвест- ные функции времени 1, поллежащие определению особо для каж- дого движения точки М, Теперь движение точки М мы ищем следующим образом. Неиз- вестными функциями от Ь являются уд, ..., д"; !(д, ..., Х, Диф- ференциальные уравнения движения (104.9) ввиду появленйя силы реакции примут вид д тдТ д дТ вЂ” ( —,.~ —.
=ф+) ты+... +Х,ьп (104.11) й( ( дд(т* дч( причем сюда нужно присоединить вследствие (104.! 1) еще уравнения (4). Ь,у(=0 (1=1, 2, ..., р). (104.15) Всего мы имеем и+р дифференциальных уравнений для определения и+р неизвестных функций от г. При этом Х„..., )( входят конечным образом и могут быть исключены из наших уравнений путем свертывания (104.14) поочередно с л — р линейно АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФЕЬРВНЦИРОВАНИЯ (ГЛ. Чи! независимыми допустимыми векторами Окончательно мы получим и — р дифференциальных уравнений 2-го порядка н р уравнений 1-го порядка (104.15) относительно неизвестных функций д((1).
Эта система будет иметь одно и только одно реп)ение, если как-либо задаться в начальный момент 1= 1, ~очкой (д ) и вектором скорости ( — ), лежащим в допустимой Уйд' 1 ь плоскости. Механику системы можно связать с романовой геометрией и оуи(ественно иным образом — через принцип наименьшего действия. Будем рассматривать на этот раз систему не только склерономную н голономную, но и консервативную, т. е. обладающую потенциалом сил у(дт, ..., д"), так что д0 дд' Полная энергия Е= Т вЂ (У при действительном движении такой системы остается постоянной.
))(ы будем рассматривать движения системы лишь с фиксированным значением энергии Е: Е= сонэк Введем в и-мерном многообразии положений системы риманову метрику иначе, чем раньше, а именно, положим: ~ее=2(У+Е) ', ' ' У, (104,16) где аы(дт, ..., д") имеют прежний смысл. Траектория всякого движенйя системы изображается кривой в этом римановом пространстве. Пусть движение началось с положения А и кончилось положением В. Тогда соответствующая кривая начинается в точке А и кончается точкой В. Длина этой кривой имеет вид ~ йз= ~ ) 2(У+Е) )'а;,.йд' йд) ЛВ АВ Согласно принципу наименьшего действия в форме Якоби траектория действительного движения системы между положениями А и В дает стационарное значение этого интеграла, т.
е. геодезическую линию в римановом пространстве. Итак, траектории действительных движений системы с фиксированным значением энергии изображаются геодезическими линиями в римановом пространстве с метрикой (104.16). ГЛАВА 1Х ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ До сих пор мы занимались римановым пространством У„н пространством аффинной связное~и Е„, в сущности, лишь в той мере, в какой первое из них напоминало евклидова пространство тс„, а второе †аффинн пространство А„. Мы по мере возможности переносили свойства этих простых пространств в более общие и сложные пространства У„ и Л„.
Теперь нам предстоит рассмотреть теорию кривизны пространств 1'„ и т'.„, причем под кривизной мы здесь понимаем, грубо говоря, уклонение геометрии этих пространств от геометрии их прообразов, тс„ и А„ (правда, в случае т'.„ с кручением уклонение от геометрии в А„ выражается также и кручением). Это уклонение мы будем оценивать в бесконечно малой окрестности произвольной точки М, где оно, как мы увидим, будет выражаться в главной своей части определенным четырехвалентным тензором, заданным в точке М,— тензором кривизны (тензором Римана — Хриетоффелл). Поэтому во всем дальнейшем тензор кривизны будет играть у нас основную роль.
й 105. Теизор кривизны в л. Мы начнем с построения тензора кривизны в т'.„, затем рассмотрим его в частном случае Е.„' (Е„ без кручения) и затем в еще более частном случае У„. При переходе от Л„ к Ц и от А„' к У„ тензор кривизны обогащается каждый раз новыми важными свойствами, которые требуют особого рассмотрения. К тензору кривизны в У.„ мы придем сначала в результате некоторых формальных выкладок, а геометрический его смысл покажем позже.
Пусть в Е„ дано одноковариантное тензорное поле и,=и,(х', ..., х"). (105.1) Вычислим абсолютный дифференциал Ви, тензора и при бесконечно малом смещении из данной точки М в каком-либо направлении; от этого дифференциала, который снова представляет собой 510 (гл.
~х тензоР кРияизны одноковариантный тензор в точке М, вычислим абсолютный дифференциал кк при бесконечно малом смещении из точки М в каком- нибудь другом направлении (знак -- отмечает, что направление смещения теперь другое). Получим тензор 50пп С другой стороны, вычислим тензор кЮпп отличающийся от предыдущего лишь порядком абсолютных дифференцирований. Как оказывается, зги тензоры будут, вообще говоря, различны; мы хотим уяснить себе, какова будет их разность.
Прежде всего нужно уточнить постановку вопроса, так как, строго говоря, неясно, что значит взять дифференциал О от дифференциала Оип Мы это уточним следующим образом. Рассмотрим в ь„двумерную поверхность %: х'= х'(а, ))), (1Оэ.2) Заметим, что, оставаясь на поверхности %, мы можем считать функциями от а, () не только текущие координаты х'(а, р), но и зависящие от них координаты тензора ип Формулы (105.3) можно переписать, явно выражая участвующйе в них частные дифференциалы: гдиг „дкьд (дсс " Рды) / да~, дкьд ь1иг =- ( — — 1'Р и — ~ 4). (,д() ы Рд()У (105.4) Теперь ясно, что мы вправе рассматривать Оип Оп; как функции от а, р, т.
е. как тензорные поля на поверхности %, а значит, можем по обычным формулам вычислять от них абсолютные дифференциалы при бесконечно малых смещениях по %, При етом отнесенную к параметрам а, (). Впрочем, здесь не возбраняется и вырождение поверхности %, в линию или даже точку. Мы имеем в виду, следовательно, просто совокупность точек, определяемых уравнениями (105.2), без каких-либо условий (кроме того, что функции х (а, р) дважды непрерывно дифференцируемы). Всегда можно выбрать поверхность % так, чтобы она проходила через данную точку М, а ее координатные линии а и р шли по наперед заданным направлениям в точке М. Пусть г), ск — символы абсолютных дифференциалов, вычисленных в произвольной точке %а при бесконечно малых смещениях по координатным линиям соответственно а, Р и пусть с(, с( †симвачы обыкновенных частных дифференциалов по а и )). Тогда Ои,=лиг — Гиыи дх~, (105.
3) 0и,=~1и; — Гиь,и с(х . тензор яр~~язв~ в Е л 511 ~ 105) мы рассматриваем да и сс() как постоянные множители (точнее, как величины, не зависящие от а и ()). Вычислим теперь фактически 00ис. Для краткости записи мы будем пользоваться формулами (105.3), не упуская„ однако, из виду их точный смысл (105А). Вставляя во вторую формулу (105.3) Оис вместо ис, получим: 00ис — — с1 (Ои;) — ГР Ок ссхь. Теперь вместо Ои; вставим его выражение из первой формулы (105.3): ЬОпс=д(дпс — ГРыи ссх ) — ГРас(аси — Гыи Ихс) дха= =Йдис — с(ГРас и с(х — ГР,аснрс(ха — ГР,и с(асха— — ГР,с(и ссх~+ГасГ,'ритах'дх~. (105.5) При вычислении 00ис мы получим тот же результат с той лишь разницей, что символы д и ас в окончательном выражении поменяются местами. При этом первый и четвертый члены не изменятся, так как результат частных дифференцирований ас и сс не зависит от нх порядка.
Кроме того, третий и пятый члены поменяются лишь местами, и сумма их останется прежней. Следовательно, при вычитании ООис из 00ис перечисленные члены уничтожаются, и мы должны выйисать лишь второй и шестой члены выражения (105.5), затем переставить в них символы сс' и с( и результат вычесть. Получим (изменяя во втором члене обозначение индекса суммирования р на су): ООц — ООц= — асГ1си г(ха+ ГрасГ1 и асхсс(ха+ + дГрасие ссх" — Глас Гери ссх' дхь, (105.6) УчитываЯ, что Г1с — фУнкциЯ от хс, ..., х", можно записать: дГ~с = — дх, дГ~с = — асх . дГ$с с - драас- с дхс дхс Вставляя эти выражения в (105.6) и поменяв местами обозначения индексов суммирования в и ! во втором и третьем членах правой части, получаем: ООц — ООц = дх' 512 (гл. <к твнзог кгивизны Введем обозначение Л1'1, = — +Г Г; — — — Г Г,.
е д1 и е р ду~~ дх» ~ дх~ (105,8) Тогда (105.6) примет вид 1э1)иг — ОЪи. = й;»,';чи йх'йх». (105,9) 1ср»ч де'ие йхнйх"= —,К';, у ти йхгйх, дхе Так как с дхг — р » дх» », дхе йх = —,йх', йх = —,йх»', и = — иеч дх~ дх» ' е дхт то, делая в правой части соответствующую замену, получчем: ч з» дх е дхе дх~ р дх» )ср»ч рч и . ах' йх' = —,, 1с1»,1» — и„—, йхн —, йх»'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
