1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Прежде чем переходить к доказательстау доататочности, выведем одну формулу, представляющую н самостоятельный интерес, 517 5 106) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕИЗОРА КРИВИЗНЫ Рассмотрим в произвольном 7.„ какую-нибудь кривую (106.2) соединяющую точки Р(хр) и 1~(хо). Эту кривуюмы будем варьиро- вать, т. е, включим ее в семейство кривых хг=хг(1, а) ((,(г(1), (106.3) где параметр а меняется, например, от 0 до 1, Пусть прн этом хт(г, 0)=хт(т), т. е. прн а=О мы получаем исходную кривую.
Предположим, кроме того, что концы кривой Р и (~ закреплены, так что прн любом а ХГ((т, а)=ХР, Х'((„а)=Хо. (106,4) Зададимся в начальной точке Р каким-либо вектором $р и будем его г параллельно переносить вдоль каждой кривой семейства. Тогда в каждой точке 1 каждой кривой а определится вектор, который мы обозначим $т(т', а), Так как вдоль каждой кривой семейства этот вектор переносится параллельно, то Щ(т, а)==0, (1 06. 5) где ст — символ абсолютного дифференциала при бесконечно малом смещении т т'+с)т при постоянном а (заметим, что из теории дифференциальных уравнений следует, что Е (т, а) будут достаточное число раз непрерывно днфференцируемыми функциями т, а, поскольку, как мы предполагаем, это верно для функций хт(т, а)), Пусть, далее, ст — снивол абсолютного дифференциала при бесконечно малом смещении а — а + да при постоянном т.
Перепишем для векторного поля Й'(т, а) формулу (105.14): ЕЮ$' — Шт~' = — Т~(„,'"СР стхл дхт, где д †симв частного дифференциала по аргументу т, а 3 — по аргументу а, Так как Еф = О, то получаем окончательно: 7дИ,' =- К~(,'Я'с(хь с(х'. (106.6) Эту фориулу мы и хотели получить. Теперь применим ее к нростринству Ан, в котором тензор кривизны тождественно равен нулю. Мы получаем: ЕЮ$'= О, (гл. ~х 518 тензоР кРиВизны 7Я = К+ ГЯРйзсь. (106.71 Ввиду закрепленности концов Р и 1е их координаты хр и хо оста- ются постоянными, так что йлр= Эхо = О.
Поэтому в точках Р и 9 формула (106.7) дает ~ась'Е = йге'Е (106.8) где йр — постоянный вектор, заданный в точке Р, а $о = с'(тв, а)— результат его параллельного перенесения по кривой а в точку 9. Ввиду постоянства $р мы имеем дар = О, а следовательно, и О$р =О. Далее, так как вектор Ь$т(1,а) параллельно переносится вдоль каждой кривой семейства, причем в начальной точке Р кривой 1:)с' = О, то тем самым и в каждой точке кривой Щ(1, а) =О, В частности, в конечной точке СЗ а значит, в силу (106,8) дало, =О. Так как й — символ частного дифференциала по аргументу а, то зто показывает, что с изменением а вектор йе остается постоянным, т. е.
что результат параллельного перенесения вектора $р из точки Р в точку (С не зависит от той кривой семейства, по которой это перенесение соверигалось. Если ограничиться олносвязными пространствами 7.„, то для любых двух путей, ведущих из точки Р в точку ф, возможен непрерывный переход от одного к другому, т, е. включение их в одно семейство вида (106.3). При атом можно обеспечить и непрерывную дифференцируемость функций хт(1, и) того же порядка, какая прел- полагается для функций хт(1), дающих параметрическое представление того и другого пути, а значит вектор $о, полученный перенесением вектора $р из точки Р в точку 9 по любому нз данных т. е. вектор Ь$т(1, а) параллельно переносится вдоль каждой кривой семейства. В подробной записи Щ имеет вил % (об) ГеометРкческий смысл тензоеь кРизизны 5! 9 двух путей, будет одним и тем же.
Этим доказана и достаточность нашего признака. Аффинное пространство А„, обладая абсолютным парзллелизмом, имеет тензор кривизны, тождественно равный нулю; кроме того, его тензор кручения тоже равен нулю. Равенство нулю кривизны и кручения, очевидно, справедливо и для локально аффинного пространства. Обратно, если, пространство Е„ без кручения, т, е.
Эг<=Г',— Г', = О, и, кроме того, без кривизны, т. е. Иг<,Р', = о, то это пространство будет (по крайней мере, локально) аффинным. В самом деле, из )сч),р — — О следует по вышедоказанному, что '! Е„ обладает абсолютным параллелизмом, по крайней мере, в каждом односвязном куске. )то в З 93 было показано, что г.„ с абсолютным параллелизмом и без кручения является (локаль«о) аффинным пространством. Таким образом, каждый односвязный кусок нашего А„, а вследствие этого и само ь„, оказывается локально аффинным пространством. Итак, для того чтобы пространство аффинной связности бь<ло (локально) аффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно обладало нулевой кривизной и нулевым кручением.
Возвращаемся к общему случаю <'.„. Так как обращение в нуль тензора кривизны равносильно наличию абсолютного параллелизма в данном пространстве (в его односвязных кусках), то естественно ожидать, что отличный от нуля тензор кривизны в каком-то смысле характеризует уклонение от абсолютного параллелизма. Мы будем оценивать это уклонение следующим образом. Исходя из произвольной точки М, проделаем параллельное обнесение вектора по замкнутому пути с возвращением в прежнюю точку М. В случае абсолютного параллелизма мы возвращаемся в точку М с прежним значением вектора.
(Действителыю, перенесение от пути в этом случае не зависит, так что результат обнесения по замкнутому контуру будет таким же, как и тогда, когда весь этот контур стянут в одну точку М и когда, следовательно, переносимый вектор просто остается на месте.) Уклонение же параллельно обнесенного вектора от прежнего значения будет связано, таким образом, с нарушением абсолютного параллелизма.
Это уклонение мы и будем рассматривать и покажем, что для бесконечно малого контура оно (в своей главной части) характеризуется <визором кривизны в точке М. 520 (гл. |х ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ й 107. Геометрический смысл тензорз кривизны (окоичзние) 1Ч(ы будем рассматривать различные кусочно гладкие кривые, выходящие из какой-нибудь точки М(хм) пространства Е„. Эти кривые мы относим к параметру в, знзчение которого для каждой точки ~ на кривой определяется по формуле тг' йх' +ахг'+... +дх" .
(107. 1) лТе Здесь интеграл берется по отрезку кривой от точки М до точки О. В точке М параметр в, очевидно, равен нулю, а по мере удаления точки С~ от М он принимает возрастающие положительные значения. (Координатная система хг в окрестности точки М временно фиксирована.) Мы будем рассматривать кривые, для которых в меняется в пределах 0 ~( в < о, (107.2) где значение о фиксировано. Такие кривые располагаются (при достаточно малом 5) в некоторой окрестности точки М, именно определяемой условием (х' — хм)'+ ., + (х" — хм)г ( яг. (1 07З) причем под О будем понимать в дальнейшем подвижную точку с координатами х'(в). Согласно (107.1) ив= У дх' +... +йх" . (107.4) Отметин, что отсюда следует; Нх' ( (107, ог) Параметр в не обладает, конечно, инвариантностью относительно преобразования координат х'.
Однако было бы нетрудно показать, что для точки Сг, стремящейся в точку М, значение параметра в будет бесконечно малым всегда одного и того зсе норядка независимо от выбора координатной системы х'. Для дальнейшего будет иметь значение лишь это свойство параметра ю Зададимся в точке М каким-либо вектором $м и будем его параллельно переносить по какой-нибудь из рассматриваемых кривых.
Координаты гьг параллельно переносимого вектора будут зави- Только эту область мы и будем рассматривать. Параметрические уравнения рассматриваемых кривых мы будем писать в виде х'=х (в), Й 107) геометРический смысл тензОРА кРивизны (ОкончАние) О21 «еть от точки его приложения, т. е. от параметра э; Вг = Бг(э) (107.8) Мы хотим иву шть поведение этих Функций при э бесконечно ма. лом с точностью 2-го порядка относительно э. Полученный результат мы применим затем к частному случаю замкнутого путя. Функции $1(э) удовлетворяют закону параллельного перенесения й$ = — Щ йх,или, что то же, — „= — Г)Д вЂ” „, (107.7) 1 1 О йе! 1 йхо а также начальным условиям я~(0) = $м. (107. 8) Вдоль всех рассматриваемых кривых сумма квадратов координат Цг, о == ~~Р~ $~(з)о, остается ограниченной одной и той же константой С,.
1=1 Это почти очевидно; для интересующихся приводим детальный зынол. В самом деле, и и — = 2 ~~' ~' (э) = — 2 ~Г~Д1$1 —, 1=1 1=1 Так как функции Го,(х', ..., хо) в рассматриваемой области (107.3) ограничены ) Г'1! (Со, (107.9) то, учитывая (!07,5), получаем: ~ Го!1 й ) «~ лСо так что и и (й — ) < 2лСо ~~~, ~! В'!! Кг) » ~2лоСоо. (107.10) 1=1 Г=! МЫ ИСПОЛЬЗОВаЛИ ЗЛЕСЬ, ПО )Е1)~5')» — (ЕП+ЕЬН), тах Чтп '~', Д )$1)) Цг(е.п ~~' $'= пп. Р)з (107.10) следует, что — ~ -.2л'С„т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
