1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Как видно из (!08.10), можно считать ~ух', Йх' тоже тензорными полями, причем множители йа, г)р рассматриваются как независимые переменные, имеющие одинаковые значения во всех точках поли. От полей г1х, Йх' можно ! !' вычислить абсолютные дифференциалы: Е)г(х' = г( ах'+ Рар ахи г)хл, Гйх =г1г1 с+Г' г)х" дх . Вследствие отсутствия кручения и перестановочности символов а~ н й получаем отсюда Ь |х' = Е) йх'. (108. 11) Далее, как мы знаем, абсолютный дифференциал тензора произволь- ного поля (заданного в некоторой и-мерной области пространства) можно разложить по абсолютным производным.
Например Ри =Ихл1у и., Ьи,=г(ха~ и.. Этн формулы, очевидно, остаются справедливыми и при подстановке вместо и; любого другого тензорного поля, заданного в некоторой и-мерной области пространства. Поэтому можно записать символически: Ь= (хам . Ч' (108.12) Теперь вычислим ЕИЭи,: ЬОи,=Ь(г)х~у иг) = Йс(х~ ту и,.+г(хлЬ(~ и,,). Аналогично получаем: ОЬи,=юг(х" ~р и,.+йхлЕт(ту и,.), ВЕ)иг — ВЬи, = г)хайх' (т),т),иг — РатЗ,и,), (108,13) Ввиду произвола в выборе функций х'(а, ))) значения йх", г(х» в любой наперед заданной точке можно брать произвольно, Сравни- Отсюда, учитывая (108.11), получаем; ВЕти, — Гйи г = дхг'Ь (1у и;) — г(хлО ( ~ и,), Раскрываем в правой части символы Е) и Ь согласно (108.12), причем индексы суммирования р, р заменяем в первом члене на и, 1, а во втором — на 1, й.
Получаем: [гл. ~х тензоР кгивизны взя (108.13) с (108.9) и учитывая, что правые части равны тожде- ственно (при любых дх~, дх'), мы приходим к выводу п,тт и,— зд,и; —.— И[1 'Я и . (108.14) ,Иы получили формулу для альтернированной второй абсолютной производной теняорного поля ио Если нам дано тензорное поле произвольного строения, например, Ечя;, то поступаем совершенно таким же образом.
Прежде всего формула (108.13) остается верной при замене иг любым тензорным полем, так как ее вывод повторяется дословно (одноковариантный характер тензора никакой роли не играет). Таким образом, Вали — От; дх дх (~1„Я,— 1я г,), Сравнивая с (105.16), мы снова убеждаемся в тождественном (относительно дх~, с(х') равенстве правых частей, а следовательно, можем приравнять соответствующие коэффициенты; Ч~~~Я'~ — )УДЩ = — ггй, ~ лл~+ )та', ь 2~~+ й)1, )'. 2; . (108.15) Индексы суммирования во всех членах правой части обозначены через р.
В частности, для одноконтравариантного тензорного поля 71Чао 'тЛР" = )ч[я, р.пя. (108. 16) формулы (108.14), (108.16) являются основными, Действительно, в общей формуле (108.15) правая часть содержит столько членов, сколько индексов у данного тензора, причем для каждого нижнего индекса соответствующий член составляется по схеме (108.14), а для каждого верхнего — по схеме (108.16). Остальные индексы переписываются каждый раз без изменений. Полученные формулы показывают, что вторые ковариантные производные зависят, вообще говоря, от порядка дифференцирования, так что символы ттю р, нельзя переставлять между собой, не компенсируя эту перестановку внесением добавочных членов согласно (108.15). В технике тензорных выкладок это обстоятельство играет большую роль. Только в случае обращения тензора кривизны в нуль, т.
е. в случае аффинного (нли, по крайней мере, локально аффинного) пространства, правая часть (108.15) равна нулю, и символы перестановочны между собой. Это, впрочем, видно уже из того, что в этом случае можно перейти (хотя бы локально) к аффинным координатам, в которых Г"1=0 и символ тт означает просто "ь частное дифференцирование по х . 536 (гл. ~х танзот кгивизны где символ 1», )г] означает требование произвести альтернацию по индексам (г, 1, однако без деления на 2. -»», » Вставляя сюда Ги = Гп+ Ти н раскрывая скобки, мы получим члены трех родов.
1'. Члены, содержащие только Г»; и их производные; они образуют, очевидно, тензор кривизны Я~»,;» для связности Г».. 2'. Члены, содержащие только У»~ и их производные: Т Т Р Д~ дх» (109. 5) 3 . Смешанные члены: Г»,Т,'г+ Т»,Ги(), У). Нетрудно заметить, что эти члены можно записать и так; Г»,ТД вЂ” Г»,Т»,— ГыТ„')1, )г1. (109. 6) р,Туг+ Т„ту(, й), где абсолютная производная берется по связности Г»р Теперь (109.4) принимает окончательный вид Ии,с.
= Йис".+ 7»Ти+ Т1»Тп — 7~Т»~ — Тт»Т»к (109.1) Эта формула показывает, как преобразуется тгнзор кривизны, когда к объекту связности Г»и добавляется произвольпыб твпзор Т»р Применим этот результат к случаю (109,1), когда Т», = Р,5» -1- Р.5» Очевидно, 'у»Ти = 7»РГ5'~ р»Р" Ч (согласно (98.4) 1т»5',=О). Кроме того, Т~,Ти=- (Р»5»+ Р51) (Р5;+ Рб,') = 54Р»Р, +5»Р»Р,. + 25 (РР,.
Мы воспользовались здесь очевидными соотношениями ба=5~, Р,о~ — Р, и т. и. Действительно, первый член не изменился, второй член дает после альтернации по )т, 1 то же самое, что и раньше, а третий член прн альтернации пропадает. Запись (109.6) подобрана так, чтобы, объединяя ее с (109.5), мы получили: ф 109) ПРОЕКТНВНО ЕВКЛНДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 537 Вставляя полученные выражения в (109.7), мы приходим к тензору кривизны для связности О)('. Й(», ('.
= йпь ('. -)- Ь)(»7»Р( — Р»Р() — Ь»(»7(Р— Р(Р() + Б((Ч»Р( — »7(Р») Введем обозначение (109. 8) Ры = «»Р — Р»Р(. Тогда предыдущее равенство принимает внд йы, 'ю« = йпь '«+ Ь(«Р»( — Ь»«РП+ Б«( (Р»( — Ры) (109 9) Переходи»( к выводу необходимь(х признаков проективно евклидовой связности. Пусть связность Г( проективно евклидова, т. е. можно подобрать такой тензор Р,, что связность б»( = Г»;+ Р; Б» + Р(Ь», имеет кривизну нуль: й(» (« = й(» '(«+ Б«(Р»( — Ь»«Ри-(-Ь«(Р»( — Ри) = О.
В таком случае й(» '(« = Ь»«РП вЂ” Б',Р»в+ Ь, (Р(» Р»() (109.10) причем Р»( =- р»Р — Р»Р(. (109.11) Это значит прежде всего, что тензор кривизны для связности Г»( должен иметь спепиальную алгебраическую структуру (!09.10). Возникает вопрос, как установить для данного тензора кривизны й(» '(«имеет ли он такую структуру и, если имеет, как найти по нему тензор Ры. Эта задача решается следующим образом. Из тензора кривизны можно составить дважды ковариантный тензор й», путе»» свертывания верхнего индекса с первым нижним: (109.
12) й»( = й(»,. Полученный таким образом тензор й»( мы будем называть тензором Риччи. Если тензор кривизны имеет строение (109.10), то после свертывания по индексам (7, 1 получаем: й»( — — Р»( — пРы+ Р(» — Р»( = — ПР, + Р(, (109.13) Из этого соотношения нетрудно выразить обратно Р, через й»п й;».
Для этого перепишем (109.!3), поменяв местами индексы (г, (» й; = — пР( +Р (. Два полученных уравнения решаем относитстьно двух кнеизвестныхь Р(, Р»о умножая первое уравнение на и и складывая со вторым почленно. Это дает нам пй»,,+й,, = — (и« вЂ” 1)Р (, (гл. !х ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ откуда Р лйы+ Иы 11 (109.14) Таким образом, если тензор кривизны имеет строение (109. 10), то тензор Ры необходимо выражается через тензор Риччи вполне определенным образом, Поэтому тензор кривизны имеет строение (109. 1О) в том и только в том случае, когда, подставлял Р; из (109. 14) в (109. 10), мы приходим к тождеству, т. е.
когда имеет место равенство й„;в= — —, 6" (пйи+йи)+ 1 + —, б~ (пй„+ й;1) —, (й,ь — й„). (109. 15) Заметим, что при и = 2 тензор й,ь;" всегда имеет строение (109. 10), так что условие (109. 15) всегда представляет собой тождество. действительно, отличные от нуля координаты тензора й)ь,;ч мы получаем лишь в случае 1, а = 1, 2 (или 1, й = 2, 1, но этот случай дает разницу лишь в знаке координаты), В результате мы имеем только четыре существенно различные координаты, например, такие: й 1 1, 1,~ й 1 1, 1 й 1 1, 1.~ й 1 1, 1.. Дл я ни х равенство ( 1 09 .
1 0 ) примет в ид .1 й;,'; =Р— 2Р1, й11,1 = Рчы .1 й;; ',=Р й;;,,'= — Рх, + 2РРР Очевидно, полученные уравнения всегда совместны относительно Р,, а следовательно, тензор кривизны всегда можно представить в виде (109. 10). Возвращаемся к случаю произвольного л> 1. Согласно (109.11) (109.
16) рьР1 = РьР + Рч Р Возьмем почленно абсолютную производную р„причем в правой части р1Рь, ргР; заменяем снова из (109. 16). Получим: р рР; = (у Р )Р1+ Р р Рч+ рР„= = Р,Р„Р1 + Р, Р, -'; Р„Р,Р1-)- РьРи+ р1Р .. Альтернируя по 1, )г (без деления на 2), получаем согласно (108.14) йчь ;'чР = (Р, — Р,)Р -)- Р Р11 — РР11+тугРь! — у Ри, 539 109] ПРОЕКТИВНО ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Вставляя, наконец, в левую часть выражения для 777А ';ч из (109.10) и выполняя суммирование по д, получаем окончательно: (109. 17) 0= ргР„.— рьРИ. Итак, для того чтобы связность ГИ была проективно евклидовой, А необходимо, чтобы тензор кривизны имел строение (109.
10), где тензор Ры удовлетворяет условию (109, 17), Докажем, что зги уоловия являются и достаточными. Г!усть нам дано, что для неко~арой связности Гй имеют место равенства (109. 1О) и (109. 17). Будем искать тензор Р; из системы диффе- ренциальных уравнений с неизвестными функциями Рг(хт, ..., хь), т)АР =РАР,+РАР (109. 18 Если подробно выписать абсолютную производную, то эти уравнения примут вид др; — =Г~~Рр+РАР + Ргн (109. 19) т. е. каждая частная производная 1-го порядка от каждой неизвестной функции Р, выражена через самые неизвестные функции (а также через известные функции ГРА,,РАР), Условия интегрируемости такой системы составляются, как известно, следующим образом: днфференцируем (109, 19) почленно по х', заменяем возникающие в дР, правой части производные — , используя снова (!09. 19), а затем дх' альтернируем по индексам )г, И В левой части получается нуль, а в правой части некоторое выраасение, содержащее неизвестные функции Р; в конечном виде.
Если полученное соотношение удовлетворяется тождественно (при любых Рг н любых х'), то мы говорим, что условил интегрируемости удовлетворяются тождественно. В нашем случае мы эту же по существу выкладку предпочтем провести в абсолютных производных, а именно, возьмем общее уравнение системы в виде (109. 18), подействуем на него посредством рн заменим в правой части производные р,РО снова используя (109. 18), и, наконец, проальтернируем по )г, 1, Но все это мы уже выполнили, исходя из уравнения (109. 16), причем пришли в результате к условиям интегрируемости (109.
17). Но сейчас нам дано, что равенство (109. 17) имеет место. Следовательно, условия интегрируемости для системы (109, 18) вьтолняются тождественно. Отсюда мы заключаел1 (см. сноску к Я 93, стр. 442), что система (109. 18) имеет решение при любых начальных значениях неизвестных функций Р! (~ г)ь 540 (гл. ~х твнзог кгивизны заданных для какой-нибудь точки к' — — х,'. Это решение существует по крайней мере, в некоторой окрестности точки х,'. Построим теперь связность О,", =. Гг» + Р,.б»+ Р,.б»» и вычислим для нее тензор кривизны )с1»';ч. Он выражается, как мы знаем, формулой (109.9), причем тензор Р, в этой формуле имеет вид Р»г = !1»Р» — Р»Рп т. е., как видно из (109.18), совпадает с рассматриваемым нами тензором Р н Учитывая, что, кроме того, имеет место (! 09.10), мы убеждаемся, что Яу»2»=0, а это означает, что связность !'т»т проективно евклидова. Итак, необходимьш" и достаточный признак проективно евклидовой связности состоит в том, что тензор кривизны для нее имеет вид Я)»';ч = ЦРИ вЂ” Ьч»Р»!+ бч(Є— Р„), (109.20) причем тензор Р»и удовлетворяет условию !уР»,.— »уР,» = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
