1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Легко видеть, что угол <р равен углу ф', так как Ц и Ц суть соответственно $' и Ц параллельно перенесенные из А в В, а угол при параллельном перенесении сохраняет свое значение. С другой стороны, ф есть угол поворота при обходе с начальной точкой А и начальным вектором $', а ф' †уг поворота с начальной точкой В и вектором С(.
Так как ф = ф', то требуемое доказано: Рнс. 26. зависит только от контура обхода. 3) Предположим, что область /), охваченная обходом, разбита на две составляющие области / и // (рис. 26). Тогда угол пово- рота ф при обнесении вектора вокруг области равен сумме углов поворота ф, и фз при обнесенин составляющих областей, при условии, что обходы совершаются в одном направлении. Действи- тельно, исходя из точки А и обнося какой-нибудь вектор вокруг области / (обход АМВА), мы приходим в А с вектором, поверну- тым на угол фх: после дальнейшего обхода АВй/А около области // мы возвращаемся в А с новым поворотом вектора на угол В итоге вектор повернулся на ф, + фз.
Но сделанный нами обход АМВАВ/ЕА заключает отрезок АВ, пройденный сначала в направ- Рис. 25 В самом деле, при параллельном перенесении углы между векторами й' и т)г не меняются, т. е. ($', )')=(й(, ч(), 112) тензОР ИРивизны дВуиеРного Римхновл пгостглнствл 557 ленин ВА и сейчас же в обратном направлении АВ, в результате чего мы возвращаемся в точку В с прежним значением переносимого вектора. Поэтому, не меняя окончательного результата обхода, из нашего обхода можно выкинуть отрезки ВА и АВ.
Получается обход АМВМА, т. е. обход около составной области, а угол поворота вектора остается прежним, т. е. ср, + грв. Таким образом, доказано, что угол поворота обнесенного вектора есть аддитивная функция областей с данной ориентацией. Свойство это доказано для двух составляющих областей, но оно, как это легко следует отсюда, будет верно и для любого числа составля~ощих областей.
Исходя из этих свойств, легко вывести и интегральную формулу угла поворота ф при обходе по контуру, охватывающему конечную область .О. разобьем нашу облзсть на бесконечно возрастающее число бес. конечно малых частей, хотя бы, например, бесконечно сгущающейся сеткой координатных линий. Пусть Ла — площадь какой-нибудь элементарной области, Л~р †уг поворота вектора при ее обходе.
Мы предполагаем, что разбиение это произведено так, что, выписывая формулу (112А) для элементарных областей Лр=КЛО+ЕЛО, мы будем иметь равно. мерное стремление к нулю бесконечно малого коэффициента е для всех этих областей в совокупности, Как можно показать, в случае, например, разбиения бесконечно сгущающейся координатной сеткой, эта равномерность стремлении е к нулю будет следовать автоматически нз непрерывности н днфференцируемости нужное число раз всех рассматриваемых нами в данной области функций. Согласно доказанному полный угол поворота ф равен сумме углов Лф, полученных при обходе составляющих областей; ~р = ~ Л~р, где ~ИЛ~ распространена на все элементарные области разбиения, или р=~(КЛО+ЗЛО). Итак, ~р уклоняется от ДЮКЛО на ~Ив ЛО; оценим последнее выражение по модулю.
Очевидно, что ) ~а е Ла ) < ) е ( ~~~~ ЛО, (112.5) где е„— наибольшее из всех е по модулю. Сделанное предположение о равномерности стремления к нулю всех е в совокупности равно- СИЛЬНО СтрЕМЛЕНИЮ К НУЛЮ МаКСИМаЛЬНОГО ИЗ НИХ Емг ТаК КаК ~~ Лу дает, очевидно, площадь и всей области тУ, т. е. величину постоянную, то вместе с е , как видно из (112.5), стремится к нулю и 558 (гл. ~х тензоР кРинизны (112.6) Эта формула выражает угол поворота <р при обходе односвязной области О в зависимости от ее площади и распределения значений К на ней. Случай К= сопв!. Применим основную формулу (112.6) к частному случаю, когдз кривизна К нашего двумерного пространства ксо Рнс. 27.
Рнс. 28. остаемся постоянной для всех его точек. (В случае классической дифференпиальной геометрии мы рассматриваем, следовательно, внутреннюю геометрию поверхности постоянной кривизны.) формула (112.6) принимает вид <р=К)) до=-Кп, о (112.7) иначе говоря, угол поворота ~р пропорционален площади обхода, причем коэффициентом пропорциональности служит кривизна К.
Различаем следующие три случая. 1. К= О. Угол поворота !р = О, что и понятно, так как геометрия является евклидовой, 2. К>0. Следовательно, и <р>0, т. е, обнесенный вектор оказывзется повернутым в направлении обхода (рис. 27), 3. К(0; ф(0, поворот совершается в обратном направлении (рис. 28). Отметим, что если, в частности, проделать обход по геодезическому треугольнику АВС (т. е.
такому, стороны которого суть отрезки геодезических), то угол ~р будет равен сумме внутренних уклонение ф от ~ К Ла. Переходим к пределу. В пределе ~Р~К Ло становится равным ~р, обращаясь в то же время в двойной интеграл, взятый по области:О. Итак, окончательно: 5 113) Римхноаы коогдинхты углов минус и. Таким образом, для геодезического треугольника А + В+ С= и +Кп.
Здесь К вЂ постоянн кривизна пространства и о — плоюадь треугольника (рис. 29). При выводе формулы мы берем исходный вектор $' касательным к геодезической АВ, а затем, перенося его из вершины в вершину, используем постоянство угла, образуемого геодезической с вектором, параллельно переносииым вдоль нее. Последнее вытекает из того, что вектор, касательный к геодезической, тоже является вектором, параллельно переносимым вдоль нее.
в 9 113. Римаиовы координаты*) В 2 103 мы рассмотрели полугеодезические координатные системы в Р„, К ним близко примыкают по своим Еа свойствам так называемые римановы координатные системы. Их можно было бы Рис 29. рассмотреть в том же месте, но мы предпочтем это сделать теперь в связи с некоторыми применениями к тензору кривизны. Рнмановы координаты можно строить не только в рнмановом пространстве Ь'„, но и в любом пространстве аффинной связности. Так мы и поступим, причем ограничимся пространством аффинной связности без кручения Ц. Пусть Е'„ отнесено к произвольной координатной системе х' в окрестности произвольной точки Ме(х',).
Далее, проведем через М по всем направлениям геодезические линии. Каждая из них задается начальным касательным вектором $, произвольно выбранным в точке Ма. В етом случае параметрические уравнения геодезической х'=х'(т), (113.1) где т — канонический параметр, вполне определвются (й 90) из ее дифференциальных уравнений иах~ х йх' иха — = — Г 4т' 0 кт ит (113.2) *) Оставшаяся часть атой главы не обязательна для понимания главы Х. 561 6 113) РимАнояы кооРдинАты отвечающую т = а. Это буде~, как видно из (113.5), точка с наперед заданными римановыми координатами у . Чтобы точка М действительно нашлась на геодезической, придется, возможно, ограничить выбор значений уг некоторой окрестностью нуля.
Найденная точка М будет вполне определенной, несмотря на произвол в выборе константы а: если, например, константу а умножить на 2, то $' разделится, а т умножится на 2. Это означает лишь, что на прежней геодезической произведено преобразование канонического параметра причем точка М остается без изменения. Координаты х' точки М будут тем самым вполне определенными функциями от у: 1 хг( г н) (113.6) Так как хг согласно (90.8) — непрерывно дифференцируемые функции параметра т и начальных значений $', то (полагая у е' т=а=сопз() убеждаемся, что функции (113.6) также непрерывно дифференцируемые. Остается показать, что д (л', ..., х") д (у'* ° ° у ) ФО (113.7) по крайней мере, в точке М,. Это гарантирует однозначную разрешимость уравнений (1!3.6) относительно у', ..., у'.
у'=у' (х', ..., х"), (113.8) дль дхс дуз дх' дт дуз дт дузь ' по крайней мере, в некоторой окрестности точки Мь, а следовательно, возможность принять у' за новые координаты в пределах этой окрестности. Геометрически это ознзчает, что в пределах этой окрестности в каждую точку М можно провести одну и толька одну геодезическую из точки Мь (по координатам х' однозначно определяются у, а значит, и геодезическая, идущая из Мь в М), деь Чтобы доказать (113.7), вычислим производные — вдоль произ извольной геодезической, проходящей через Мь. Так как хг зависят от у', , у" согласно (113.6), а у' зависят от т согласно (113.5), то мы получаем: 562 [гл.
~х тензоР кРиВизны Г!рнменим это равенство в точке Мь. Пользуясь (113.3), получаем: Так как 5' выбираются произвольно, то это равенство показывает, тдх' х что ~ — ~) есть единичная матрица (.— ').=' (113.9) а тем самыл1 Гле1) —.! =1 ~0. 1 дул 1ь Это мы и хотели показать. Построенные нами римановы координаты у' зависят, конечно, от выбора начала М, и от выбора исходных координат х'. Но зависимость от зтих последних не очень существенна: как бы ни преобразовывать координаты х', соответствующие римановы координаты ут подвергаются линейному преобразованию (113.10) т.
е. точно так ясе, как координатгч контравариантного вектора в точке М . Это вытекает из того, что вг и в самом деле есть контравариантный вектор в точке М а уг получаются из $т умножением на значение т (которое есть инвариант преобразования координат х').
Согласно (113.5) параметрические уравнения геодезических, проходящих через начало М, в римановых координатах у становятся линейными ло отношению к каноническому параметру т; у' = ~'т, где козффициентьг $' — постоянные для данной геодезической. Очевидно, зто свойство и достаточно для того, чтобы координаты у' были римановыми. Действительно, если оно имеет место, то вдоль данной геодезической — =$' = сола(. йу йт В частности, вто справедливо и для точки Мь, так что (0у' ) Мы видим, что $' в (113,11), так же как и в (113.5), представляют собой координаты начального касательного вектора, Тем самым 563 Ю 113) Римьноеы коогдинаты из (1 13.11) следует, что у' — римзновы координаты (точнее, что римановы координаты, построенные, исходя из координат у', совпадают с ними самими). Очевидно, римановы координаты в Е'„ строятся весьма сходно с аффинными координатами в аффинном пространстве А„причем роль радиусов-векторов, идущих во все стороны из начала М, играют геодезические отрезки.
Однако в А„з аффинных координатах есе прямые определяются линейными параметрическими уравнениями (если параметр канонический), а в Е„' в римановых координатах этим свойством обладают, вообще говоря, лишь геодезические, лрокодяи1ие через начало М . В частном случае, когда Е'„представляет собой А„, римановы координаты, как легко проверить, просто совпадают с аффинными. Выясним телерь, какими особенностями будут обладать коэффициенты сеязности Гь е риманоеык координатак у~. Рассмотрим геодезическую (113.11) й запишем, что текущие координаты удовлетворяют диффереипиальному уравнению геодезических дть ГП дт с1т (113.13) ду'; дьу' Так как — =5' — =О, то мы получаем: дт ' дть ГЩ'= о. (113.14) умножая почленно на тз, получаем окончательно: Гьпугуг —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
