1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 114
Текст из файла (страница 114)
тензоры Оа( н Ьчр. А именно, рассматривая деривационные формулы как систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций Ц(и', ..., и" '), т'(и(, ..., и" '), мы составим для нее условия интегрируемости. При атом остальные функции от и', ..., и" ', входящие в вти уравнения, мы бу. дем рассматривать как известные.
Мы видим, что уравнения (116.10), (116.11) позволяют выразить каждую частную производную 1-го порядка от каждой неизвестной функции т', йз через сами зги функции. Дейстзи. теорна гнперпоаеРхностей 1'„ т в Р„ 6 116) тельно, абсолютные пРоизводные Чм»', Часа имеют в своем со- д»г дф ставе частные производные —, — (а также дополнительные дмм ' дхм члены, содержащие»', $а), так что нз (116.10), (116.11) можно выразить все производные дтс дмх (! 16.12) ~в дим Многоточиями обозначены правые части полученных дифференциальных уравнений, содержащие неизвестные функции»', Ц лишь в конечном виде.
Мы знаем, что для составления условий интегрнруемости втой системы нужно проднфференцировать почленно ее уравнения по и', заменить появившиеся в правых частях частные производные от неизвестных функций согласно (116.12) и проальтерннровать по и, Х. Левые части обращаются в нуль, и мы получаем конечные зависимости, наложенные на неизвестные функции. Это и будут условия интегрируемостн.
Мы предпочтем, однако, провести зту выкладку инвариантным путем н вместо частных производных иметь дело с абсолютными производными. Возьмем ог (1!6.1!) почленно абсолютную производную Ч„: ЧаЧ ьа = Ч~д в» + д ЕЧЕ» ° Заменим в правой части Ча»г согласно (116.10), т. е, из уравнений самой системы: Чар Вв= Члд в'» ~д вдй~е.
Теперь меняем местами индексы Л, н и полученное равенство почленно вычитаем из данного. В левой части мы теперь уже не получим нуля; альтернированная вторая абсолютная производная смешанного тензора выражается по схеме (115.16). Мы прнхолим к конечным зависимостям, наложенным на неизвестные функции ьа — Й(а, Р'.Ыйх+Йхх, д.'1е = = (Чсдма — Чмдаз)»' ~ (дх,да — даздм)$а (116.13) Это и будут условия ннтегрируемости в части, касающейся ураз- 19е П.
К. Рашеасмма 582 тензОР кривизны (гл. юх нений (1!6.11). Заметим, что использование абсолютных производных вместо частных изменило выкладки лишь но форме. По существу мы получили бы то же самое, исходя и из уравнений (1!6.12), но только значительно более сложным путем. Действительно, в обоих случаях смысл выкладки остается прежним: исключить из продифференцированных ураинений системы вторые частные производные, заменить первые частные производные из уравнений самой системы и этим путем получить конечные зависимости между неизвестныни функциями яа', ч'.
Теперь составим условия интегрируемости уравнений (116.10). Возьмем почленно абсолютную производную 7л: рлрх ' = =. рлЬа са'т-Ьхрда'. Заменяя валс', согласно (1!6.11), т. е. из уравнений самой системы, получим: ЯЛЧхт' = + ЧлЬх.яа ~ ЬхЬ)лт ° Альтернируем ло индексам Х, х и левую часть заменяем согласно (115.16): — К,' ' Ы=: (Ч~܄— 'т Ь~~)РР. (116.!4) Последний член при альтернации исчез, так как тензор ЬхЬЛР— — Гр' ЬктЬЛР симметричен по индексам к и Х. Условия интегрируемости (116.13), (! 16.14) можно записать в более четкой форме. Фиксируя в (116.13) индексы Х, к, р и оставляя переменным лишь индекс 1, можно считать, что члены левой и правой части †векто в )Р„. Умножая обе части равенства скалярно на каждый из векторов сопровождающего репера (116.1), получим и равенств, очевидно, равносильных прежним.
Умножая скалярно на Ц, (а=1, 2, ..., и — 1), т. е. свертывая с Ь!Д,'„получим (пользуясь (!16,3), (116,5), (1!6.6) и замечая, что у тензора кривизны )", индекс Ь опускается при помощи к~ь а у Й индекс о — при номощи ба„): Йи, рДлььАДа+(злх, на= '+ (ЬхВЬла ЬлаЬха)~ или окончательно: тллх аа = Я~а рДл$ДДа ~ (ЬлВЬха — ЬхВЬла)р (116.15) $116) теОРия Гипегпозегхиостей )тп д в (тп 583 Умножая (116.13) скалярно на чт, т. е. свертывая с уучт, получим: — Щм рД~ДДвчт = ~ (Я»Ь«в — т(„Ьдв). (116.16) Теперь поступим так же с уравнениями (116.11), Свертывая с уДВ, приходим к соотношению 1 — тсы, »тЫ ч»5в = ~ (7»Ь в — р»Ьдя). Это соотношение отличается от (1!6.16) лишь тем, что обе его части умножены на — 1 (чтобы убедиться в этом, достаточно в левой части переставить обозначения индексов суммирования р, у; тогда Яды;р — — — Ищ яь в остальном же левые части бУдУт одинаковы).
Далее, свертывая (116.14) почленно с уцч1, приходим к тождеству, так как в обеих частях получаются нули (в самом деле, йр,ючечт = 0 в силу косой симметрии Ии, рд по индексам р, у). Итак, условия интегрируемости системы (116.10), (116.!1) исчерпываются уравнениями (116.15), (116.16).
Из них (116.15) называются уравнениями Гаусса, а (116.16) — Петерсона — Кодацци. Смысл уравнений Гаусса заключается в том, что они обнаруживают структуру тензора кривизны )с на гиперповерхности т'„ д, а именно, этот тензор состоит из двух слагаемых: одно представляет собой как бы «проекцию» иа )т„д тензора кривизны Я во вмещающем пространстве )т„; в этой части кривизна римановой метрики на (т„ д вынуждена просто тем обстоятельством, что (т'„ д вмещено в обладающее кривизной пространство (т„. Другое слагаемое выражается через второй основной тензор гиперповерхности Ь„в, и в этой части кривизна римановой метрики связана с искривленностью самой гиперповерхности (т„ д в )т„.
Что касается уравнений Петерсона †Кодац, то они показывают, как связано уклонение тензора 7»Ь„я от симметрии по всем индексам (по индексам и, р он симметричен) с кривизной вмещающего пространства. Формально мы получияи уравнения Гаусса и Петерсона †Копании как условия интегрируемости системы (116.10), (116.11). Однако с геометрической точки зрения рассмотрение такой системы с неизвестными функциями ~~(ид, ..., и" '), чд(и„ ..., и" ') не имеет смысла. В самом деле, для этого нужно считать известными функциями от и', ..., и" ' не только дт,л и Ьав, но и входящие в состав абсолютных производных 7„т', 7„$В коэффициенты связности Гп вмещающего пространства )т„. Но чтобы знать вдоль гиперповерхности )т„д коэффициенты Гдт как функции от и', ..., и" [гл. ~х 584 тензоР КРНВизны й 117.
Теория гиперповерхностей к„ , в Д„ Если вмещающее пространство )х„является евклидовым пространством )ч„, то его тензор кривизнй тождественно равен нулю: П,ь „=0. (117.1) Уравнения Гаусса (116.15) и Петерсона — Кодацци (116.16) принимают простой вид Йлн, Ва-. ~(дхзд — днай ), Чхднв= Ч д в (117.2) (! 17.3) Таким образом, тензор кривизны на гиперповерхности )х„ , полностью выражается через второй основной тензор гиперповерхности, а тензор ртд„в будет симметричен по всем индексам. Замечательно, что в рассматриваемом случае условии интегрируемости не содержат неизвестных функций ви, т.
В частности, при п = 3 мы имеем дело с двумерной поверхностью Ъ', в П; из числа уравнений (117.2) будет лишь одно существенное П„гч = ц- (д„дчч — д[ч), (117.4) а остальные или будут его следствиями, или обращаются в тождества (греческие индексы могут принимать значения лишь 1, 2). Если Па — собственно евклидова (т.
е. обычное) пространство, то ~' всегда единичный (а не мнимоединичный) вектор, и в (117,4) следует брать знак +, Пользуясь формулой (112.2) в применении к двумерной римановой геометрии на 1'ю мы получаем: нтч. \ч ь, ь — ьч (117.5) ч ч йыды — бы диды — 0ы нужно знать, как именно [г„ 1 вложено в 1Х„, а тогда и $В, т' ! приходится считать известными функциями, и задача теряет смысл. Поэтому с геометрической точки зрения выделение в уравнениях (116.10), (116,11) вя, тс как неизвестных функций носит усяовнььй характер и никакой геометрической задачи не выражает. Однако в важном частном случае, когда вмещающее пространство 1'„ явяяется евклидовым, дело обстоит иначе.
К атому случаю мы сейчас и переходим. 2 1 ГТ) теОРия гипегповегхностей Ул т в гс„ 585 Таким сбразом, кривизна К двумерного риманава лроагранства У, совпадает с отношением дискриминантов второй и первой квадратичнык форм ла У . Как показывается в курсах дифференциальной геометрии, это означает, что кривизна К совпадает с полной (или гауссовой) кривизной поверхности Уз и может быть определена внешним образом как произведение главных кривизн поверхности 1', в данной точке, Возвращаемся к общему случаю У„х~)7„. Уравнения (117.2), (117.3) выражают зависимость, необходимо имеющую место между тензорами О а, Ьаа на У„.
При этом не нужно забывать, что Йк„ з„ есть тензор кривизны для римановой метрики О„з и, следовательно, выражается через координаты О„я и их частные произволные 1-го и 2-го порядков. В результате (117.2) представляют собой относительно О„а дифференциальные уравнения 2-го порядка, причем а„а входят в них в конечном виде. Равным образом (117.3) представляют собой относительно О„З, йаа лифференциальные уравнения 1-го порядка, причем О„з входят через коэффидиенты связности Гтид в абсолютных производных. Как оказывается, уравнения (117.2), (117.3) не только необходимы, но и достаточны для того, чтобы тензоры О„з,аиз способны были служить первым и вторым основными тензорами некоторой гнперповерхности У„ ,.
Говоря точнее, имеет место следующая теорема. Пусть в некотором и†1-мерном римановом пространстве У„ ы представляющем собой односвязное элементарное многообразие и отнесенном к коорлинатам и', ..., и" ', задан помимо метрического тензора Оиз тензор аиз = ааи, удовлетворяющий соотношениям (117.2), (117.3) (где Йх„а — тензор кривизны, а 7н — символ абсолютного дифференцирования в У„,), Тогда У„, можно реалиэоаать а виде гилерлоаерхности в некотором евклидоаом пространстве 77„, так что О„З будет служить на этой гиперлоеерхности первым, а а  — вторым основным гензором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
