1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Так как функции ~'„, ч' удовлетворяют уравнениям (117.7), то из второго из этих уравнений заключаем, что наперед заданный тензор Ь„В действительно служит вторым основным тензором на построенной нами гиперповерхности. Теорема доказана; остается лишь показать, что все гиперповерхности, удовлетворяющие условиям теоремы, определяются в 77„ с точностью до движения. Аффинный репер, к которому мы отнесли вмещающее пространство 77„, был выбран при условии, чтобы в нем координаты метрического тензора д;т имели значения (117,1!). вкругими словами, нам были наперел заданы попарные скалярные произведения (и скалярные квадраты) векторов репера, Очевидно, такой репер определяется с точностью до движения в 77„. Так как аналитическая сторона выкладок, из которых были определены функцяи хт (и',..., и"), нн в чем не меняется, будем ли мы относить 77„ к одному или к 591 пгосттлнство постоянной ктивизны $118] другому такому реперу, то уравнения (117.16) будут в обоих случаях иметь олин и тот же внл.
Это значит, что то же движенне, которое переводит первый репер во второй, переводит гиперповерхность (т„ ю построенную, исхоля из первого репера, в некоторую гнперповерхность т'„' „ построенную, исходя из второго репера, Этим наше утверждение доказано. й 118. Прострвиство постоянной кривизны Мы переходим к изучению отдельных частных случаев римановых пространств.
Из них наиболее замечательными являются пространства постоянной кривизны. Достаточно сказать, что к чяслу пространств постоянной кривизны принадлежат, кроме евклидова пространства, пространство Лобачевского, а также эллиптическое (и сферическое) пространство. Основной особенностью пространств постоянной кривизны является их однородность, столь же полная, как и у евклилова пространства. Эта одноролность выражается в существовании группы движений от такого же числа параметров, п (л+ 1) как и в евклидовом пространстве (т. е. в и-мерном случае) . 2 Из однородной структуры этих пространств проистекает и богатство их геометрических свойств. Мы будем говорить, что данное риманоео пространство ]l„+) есть пространство постоянной кривизны, если в каждой точке кривизны его ло возможным двумерным направлениям одинаковы. (Мы не требуем, чтобы в различных точках кривизны были одинаковы,) Итак, основной илеей пространства постоянной кривизны является его однородность по всем направлениям в кажлой точке.
Выясним, какой вид имеет тензор кривизны йы, ы в пространстве постоянной кривизны. Перепишем формулу (1!1.14): Р ия тт — К. (118Л ) (кит йвз — йиа йвт) с"В8та Эдесь греческие индексы пробегают у нас значения 1, 2...,, п (как и латинские), В нашем случае кривизна К постоянна для всех двумерных направлений в данной точке и, следовательно, не зависит от выбора бивектора $'З, который характеризует направление. Освоболимся от знаменателя и перенесем все члены в левую часть; тогда, ввеля обозначение Йав, ть = Яиз, та К(Аат з«яз — К«л А«ят), (118,2) мы можем переписать (118.1) в виде )-«' еч«геьтч (118.3) *) Мы берем л > 2, исключая нз рассмотренна 2-мерные пространства, [гл. гх 592 тензоР кРияизны Кзк и (118.1), равенство (118.3) имеет место для любого двумерного направления.
Мы хотим показать, что отсюда следует; Ф.в,,б = О. (118.4) Здесь мы должны преодолеть некоторую трудность, заключающуюся в следующем: если бы й"б был произвольным бивектором, то нз тождества (118.3) немедленно следовало бы обращение в нуль коэффициентов !с„я тб, Но у нас й"б характеризует двумерное направление и потому обязательно простой бивектор, т. е. имеет строение: (118.5) 2 (~газ где й, и $,— два произвольных вектора, определяющих то двумерное направление (плоскость), о котором идет речь. После подстановки (118.5) в (118.3) последнее равенство, имеющее место для любого двумерного направления, должно обратиться в тождество относительно координат йа„ 5ю Сделав частичную подстановку, получим: — )т' б,тб(ь( ьй — ь1 ь*) ь! = О* или после раскрытия скобок йаа.
тб Я1 $я 5 2 Йаб. тб й1 йб Я =О. ! ' а В г! ! ' й а тб Во втором члене поменяем обозначения индексов суммирования пи р; Заисиаа ДаЛЕЕ, тга„, б ЧЕРЕЗ вЂ” !Саа,ба), ПОЛУЧИМ: !таа, тб Еьг Еьт Еь '+ 2 Йаа. тб $~ $~ Хь или Каз, тб $~ Ятй» = О. Поступая аналогично с $', получим: )Раб тб еаза ты еьг ты = О (1 18.6) Здесь многочлен четвертой степени относительно й„ $, тождественно а В обращается в нуль, а следовательно, все его коэффициенты после приведения подобных членов должны равняться нулю.
Фиксируя на время индексы г, у, л, 1, отберем члены, содержащие $'„й'„$„й,, Члены такого вила, как вилно из (118.6), получаются лнп!ь при *! Ках ЛЕГКО ПрОВЕрИтЬ НЕПОСрЕдСтВЕННО НЗ (1!8.2), а„й б ОбпадаЕт всеми алгебранческнмн свойствами тензора кривизны, 898 $118] ПРОСТРАНСТВО ПОСТОЯННой КРИВИЗНЫ следующих значениях индексов ц, р, у, 8 соответственно «г,з)й,1: 8)1,(,к 2)»г,у', 1,1; 4)й,),1,7. (Впрочем, эти комбянации индексов будут различны лишь при ! -ь й и 71~ У. Если ! = й (илн /=1), остается лишь две такие комбинации, если же (=й и /=1, то только одна.) После приведения этих подобных между собой членов коэффициент при равный сумме коэффнциентов, должен обратиться в нуль: )7н, ы+»7чн и+ 17н. Ат+»7АС и = О.
(118.7) Нз основании тождества )7и,ы=)7якй первый член ~ождествен с четвертным, а второй с третьии, и (118.7) переходит в Игу, ы + )7ян и =. О. (118,8) В случае 7'=! мы непосредственно вместо (118.7) получаем (118.8), но так как в этом случае оба члена в (118.8) равны, то сразу )7и, ы=-О.
Аналогично и прн ю'=й. Перепишем (118,8), поменяв местами индексы ! и 7' и умножая почленно на — 1. Получим: — Йр, и Щр, р = О, т. е. )7с, и+ йа, р = О. Наконец, выпишем тождество Йг!. ы + трр, ы = О и сложим последние три равенства почленно. В силу тожлества Риччи (1 10.8) вторые члены дают в сумме нуль, и мы получаем: З»7нт = О. Итак, во всех случаях 77,'7 „=О, Отсюда согласно (! 18.2» получаем следующее строение тензора Й;. ы для пространства постоянной кривизны: )7оч и =К(КТАКТТ КиИЗА). (118.9) В каждой точке координаты )7; „, зависят только от координат метрического тензора у,.
и от кривизны К, постоянной для всех направлений в данной точке. Легко проверить подстановкой (1 18.9) в (!18,«, что (118.« обратно является следствием (118,9). Теорема Шура. В пространстве (т„(п) 2) постоянной кривизны (т. е. Нри кривизне, одинаковой по всем направлениям в каждой данной точке) кривизна сохраняет постоянное значение и от точки к точке.
594 (гл. ~х тензог кеивизны другими словами, нужно показать, что ввыведенной нами формуле (118.9) крнвизна К остается постоянной для всех точек, хотя непосредственно этого из наших предположений не видно и пока мы должны считать К некоторой функцией координат точки: К=К(х', ..., к"). Дифференцируя (118.9) почленно, получаем: 9мгг//, и = (У/Ф// К//К>а) К . (118.!0) дК Здесь К = — „=Ч К; частные, производные от инварианта совпадают, как мы знаем, с абсолютными; что же касается а)/, то они ведут себя при абсолютном дифференцировании как постоянные, т. е. !Г К, =О.
Ч,Ц., ь/= (К/а.,— а„а. ) К„ и/)та/, ы (ьтай/! Ам/К/а) К/ и результаты сложим почленно с (118.!0). Согласно тождеству Бианки — Падова сумма левых частей равна нулю. Итак, получаем: О = К (а/ад// — й/К/и) + К/ Ь/ьК~/ — К/тК ь)+ К/ М~М// — й /К/а). Помножим на К' и просуммнруем по / и /л. Тогда, так как 8'~К ! 0 (/~/) 1 (ю'=/) и, следовательно, /щ 6Е т/ К К/ — — 8~= п, ггпк а/г = и//ба=ды К„д"хм = К.бм = Кп мы получаем: А/ьК/ А/ьк/+ лг К/ — К „К/+ и/ьк/ — пи; К/ = О. Г!риведя подобные члены, найдем: (д яК/ — д/аК/) (л — 2) = О. (118.11) Так как случай п=2 нами исключен из рассмотрения, то л — 2 э~О, Мы хотим показать, что частные производные К все равны нулю, откуда К=сонэ!. Используем тождество Бианки — Падова. Пиклируем (118.10) по индексам в/, 1, /, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
