1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Таким образом, из двух условий остается лишь (122,3), так как (122.2) удовлетворяется тождественно. 2. п > 3. Здесь, наоборот, является достаточным уже одно условие (122.2). Что же касается (1 22. 3), то оно является следствием (122.2), так что его не приходится оговаривать особо. 2 122) КОНФОРМНО ЕВКЛНДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 813 Кратко наметим доказательство. Возьмем тождество Бианки (108.6), причем оба индекса, не участвующие в циклировании, поднимем наверх: ту„К..+тйЮ-..+ уР-1"=0 ,.А[ ..и Как легко получить из (122.2), ггг)„=био[1 — 6[[811 (альтернация Ра[ а с с без деления на 2), а следовательно, тождество Бианки примет внд [А 11 [а [1 [а [1 7 о[[611 + ([[~[16м[+ Чую[ 6[1 = О.
Положии здесь У=а', а в остальном индексы пусть будут различны между собойв). По свойствам 6Р получаем 1[ оа — тт о[а=:0 при [а, и[, /, различных между собой. Положим теперь 1= [, [г=.г[ в остальном индексы различны. Получаем (без суммирования!) — 11[„DŽ— 11[ Яп= о при любых 1, /, л[, различных между собой. При фиксированном ла даем 1 и / значения последовательно р, д; д, г; г, р; из полученных трех уравнений с тремя неизвестными вытекает, что каждое слагаемое есть нуль: 7[ 811= О. Итак, всегда 11[„,8[~1=0, т. е. (122.3) доказано.
Нашим результатам можно придать следующую форму. В произвольном римановом пространстве построим тензор коиформной кривизны Ст «н определяемый следующим образом: 1 С[у 'г!Ь + л 2 ( ч[аауг+ члча[а 'чпА/а гч/адн) + р + (,) ( 2) [И,я„— джута). (122.8) Легко проверить, что осли в (122.2) перенести все члены в левую часть, причем подставить вместо Яу» его значение из (122,7), то в левой части мы получим как раз тензор С, АР Отсюда следует, что (122.2) можно записать в виде СВ „— 0. Итак, гензор колформной нриаизнь[ Сыа, существует в любом римановом пространстве, причем его обращение в нуль в данном пространстве есть необходимый и лостаточный признак того, что ') Здесь мы пользуемся условием н > 3, т. е.
тем, что всегда можно ваять четыре различных кндекса. 614 (гл. ~х ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ данное пространство (локзльно) конформно евклидово, если только и > 3. В случае же и = 3 условие (122.2) удовлетворяется всегда, и, следовательно, С, ы всегда равен нулю. Тензор С,т а„ как легко проверить, обладает всеми алгебраическими свойствами тензора кривизны. При произвольном конформном преобразовании произвольной римановой метрики согласно (121.4) тензор С, ы испытывает преобразование нв Суы — — е Сгр (122.9) что проверяется на основе (121.17). Отсюда, используя (121.13), полУчаем, что тензоР Ср ЕР ( = Сон а йзр) инеаРиантен пРи конфоРмном преобразовании римановой метрики. гллвл х МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 4 123. Пространство событий в общей теории относительности Мы уже упоминали о том, что физическое содержание обшей теории относительности сводится к объяснению одного лишь явления — явления всеиирного тяготения.
Несмотря на это, общая теории относительности требует по сравнению со специальной весьма широкого обобщения математического аппарата, а именно, перехода от четырехмерного лсевдоевклидова пространства событий к четырехмерному же лсевдориманову пространству. В пространстве событий специальной теории относительности в ортонормированной координатной системе хз, х', хз, х' скалярный квадрат вектора выражался формулой х'= — хзз-1-х'з-1-хз -1-х'з. Рассматривая это псевдоевклидово пространство как частный случай риманова, мы можем записать его метрическую квадратичную форму в виде дзз дхз'+ дхд+ дхз'+ дхз' (123. 1) При этом хз, х', х', хз имеют физический смысл сС х, у, г в некоторой инерциальной системе отсчета.
Ортонормированные координаты хз, х', х', х' в этой главе мы будем называть галилеевыми. Первая гипотеза, положенная в основу общей теории относительности, заключается в том, что описанное положение вещей имеет место лишь в некотором приближении. В действительности же метрика в пространстве собьггий является не лсевдоевклидовой, а лсевдоримановой, хотя и весьма мало отличающейся от псевдо- евклидовой. В связи с этим в пространстве событий не существует галилеевых координат. в которыя метрическая квадратичная форма принимала бы вид (123.1), но зато существуют координаты, близкие по своим свойствам к галилеевым.
616 млтемлтяческив основы овщвй теоеии относительности (гл. х В этих координатах метрическая квадратичная форма имеет запись, близкую к (!23.1): две= — ах" +Их' +дхх +дхл +у дхгахт. (123.2) Здесь у,,дх'дхт — некоторая добавочная квадратичная форма; ее коэффицйенты представляют собой функции от х', х', х', х'.
(хь хт хь хз) (123.3) абсолютные значения которых весьма малы ао сравнению с единицей: И;, 1((1. Так как Нее=у,,Их'Чх'„где р,. — координаты метрического тензора, то, сравнивая с (123.2), получаем: (123.4) вы = йы+ у[я где йт — — О (~ФЛ~ ььа = 11 виа= 1. (123.5) (Греческие индексы здесь и в дальнейшем пробегают значения 1, 2, 3, а латинские О, 1, 2, 3.) Координаты х', близкие к галилеевым, не отличаются такой же определенностью выбора, как галилеевы координаты.
Действительно, галилеевы (т. е. ортонормированные) координаты в псевдоевклидовом пространстве специальной теории относительности выбираются с точностью до линейного, а именно, псевдо- ортогонального преобразования, отвечающего переходу от одного ортонормированного репера к другому. Возможность такого преобразования остается, очевидно, и для наших координат х', близких к галилеевым (при условии, что коэффициенты преобразования не слишком велики), но, кроме того, мы можем делать над х' и любые (нелинейные) малые преобразования: хе =х'+$'(хь, х', х', х'). (123. 6) Под малостью этого преобразования мы подразумеваем, что 1 — 1<<1 (123.
7) д$' т. е. абсолютные значения — весьма малы по сравнению с едидхт иицей. На значения самих $' (хь, х', х', х') мы ограничений пе накладываем. Лля иас существенно лишь, чтобы они медленно менялись при изменении х', если же при этом они сами по себе имеют большие значения, то это можно отнести за счет тривиального преобразования — добавления констант к координатам х': х' = х' + с'.
$ 123) пгостганство совытий в озщей таогии относительности 617 При условии (123.7) координаты х', близкие к галилеевым, сохраняют это свойство и после преобразования. Действительно, запишем преобразование, обратное (123.6): х' = хе + $е (хь', х', х', х') (123.8) при условии (~~' (((1 (123. 9) В таком случае йх =йх + — '. йху. д$~' дкг' Вставляя эти выражения в (123,2), мы получаем: дгг (йхь~)г ) (йхт )г ) (йхг )а ( (йха )а 1 у,,йхпйхг где в квадратичной форме уе; йхо йхр объединены все оставшиеся члены. Коэффициенты при всех этих членах будут весьма малы сравнительно с единицей, так как они обязательно будут содержать д$ь множителем или — илн у,~, или то и другое одновременно (передкл ход от 1г к Уе; не носит тензоРного хаРактеРа).
Следовательно, мы получаем снова ! Уит! ((1 Итак, координаты х, близкие к галилеевым, сохраняют это свойство не только при псевдоортогональных преобразованиях (таьих же, как в специальной теории относительности), но и при любых малых преобразованиях (!23.6). Это создает гораздо большую неопределенность в их выборе. В дальнейшем мы всегда будем рассматривать пространство событий в координатах х~, близких к галилеевым, не оговаривал этого каждый раз особо. Пространственно-временная геометрия в наших координатах по срзвнению с пространственно-временной геометрией в галилеевых координатах специальной теории относительности будет выглядеть искаженной.
Это искажение частью обусловливается тем, что сама метрика у нас теперь не псевдоевклидова, а псевдориманова, частью выбором координат х'. В общем случае нет возможности какам-либо строго определенным образом отделить одну причину от другой. В самом деле, наши координаты хг (близкие к галилеевым) можно подвергать, в частности, малым преобразованиям (123.6), и среди различных таких координатных систем нет оснований одну предпочесть другой, Между тем в каждой из них искажение пространственно- временной геометрии выражается по-своему.
618 матемлтичвскиа основы евшей теогии относительности (гл. х 9 124. Локально галилеевы координаты Хотя мы и не можем теперь подобрать координат х', которые были бы галилеевыми во всем пространстве событий, но можем сделать это для бесконечно малой окрестности любой точки М этого пространства. Для этого мы перейдем в систему координат х', геодезическую в данной точке М, т. е, такую, что )Г»г)м = О. (124.1) В $91 было показано, что это можно сделать в любом пространстве аффинной связности без кручения Е«„ а значит, в частности, н в любом римановом пространстве (г„.
Кроме того, будем считать для простоты, что точка М служит началом координат, х,'ц = О. Чтобы этого добиться, достаточно сделать тривиальное преобразование координат х', вычитая из ннх начальные значения хм. Далее, мы будем предполагать, что метрический тензор 4;у имеет в точке М «галилеев» вид (123.5): [Аг)м = Угу (1 24.2) Этого нетрудно добиться линейным преобразованием геодезических координат х' =Аг х' ! где константы А" ,подобраны так, чтобы квадратичная форма [4« )м «гх'г(хг была приведена к виду у;у«(х'«(х~, т. е.
к каноническому виду †«(х«'-)-ггх' + «(х" + «(х» . Линейное преобразование не меняет геодезического характера координат (э 91). Координаты хг со свойствами (124.1), (124.2) мы будем называть локально галилеевыми в точке М. Значение этих координат заключается в том, что в бесконечно палой окрестности точки М этн координаты приближаются по своим свойствам к галилеевым. В самом деле, а силу (124.1)Г,Ч остаются в пределах этой окрестности если и не равными нулю, то во всяком случае величинами бесконечно малыми.
Однако это искажение во всяком случае настолько мало (вследствие малости угу), что непосредственными пространственно-временныии измерениями установлено быть не может. Забегая вперед, скажем, что оно физически проявится в виде поля г«гготенил, наблюдаемого в данной системе отсчета х'. В этом и будет заключаться объяснение явлений тяготения, даваемое обпгей теорией относительности. б!9 $ 124! локАльно гклнлаввы коотдинАты Далее, согласно (94.5) [Гььу]м = [вььГй[м = О, а согласно (94.7) =[Г, „)м+[Г, Рт]м ~."1-- ' дум! (124.3) Это показывает, что значения [дьу[м = у, являются стационарными в точке М, т. е. при смещении в бесконечно близкую точку М' приращения ду — д,. будут разлагаться в ряд Тейлора по степеням х', начиная со второй степени (члены же первой степени пропадут в силу (124.3)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
