1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 123
Текст из файла (страница 123)
При этом с1, х, у, з = хь, х',х', хз. Теперь (126.6) принимает вид ь+ — =+ — — "+ — ° =0. (126.8) 1 дрь 1 д(рьи„) 1 д(Роит) 1 д(рои,) с дт с дх с ду с дт Рассмотрим какую-нибудь область ьт, ограниченную замкнутой поверхностью П, которая покоится с точки зрении нашей локально инерциальной системы.
Умножим равенство (126,8) почленно на элемент объема йы и проинтегрируем по области ы. Получим ( ! ~ отбрасывая множитель †): с)' Вынося в первом интеграле дифференцирование по ! за знак интеграла и преобразуя второй интеграл к поверхностному интегралу по формуле Остроградского, получим: д Я )тьйы = — Д )т пайи. (126.
9) Т» =. )сьсатттт. (126.! 0) Действительно, эта формула выражает тензор энергии-импульса, Здесь и — вектор скорости потока масс, и — единичный вектор внешней нормали поверхности П. Если умножить полученную формулу почленно на й1, то она будет означать, что приращение массы покоя, заключенной в ю, за время й! равно количеству массы покоя, втекшей через границу области й! за то же время (ср. (16.3); знак минус у интеграла и правой части означает, что мы оцениваем именно втекание массы покоя). Мы, действительно, получаем условие сохранения массы покоя. Конечно, обратным переходом мы можем от (126.9) вернуться к (126.6) (используя, между прочим, что (126.9) имеет место для любой области ьт). Итак, смысл условия (126.5) теперь ясен. Допустим, что поток частиц движется под влиянием только лишь сил тяготения (в частности, по инерции), так что в области, занятой потоком, отсутствуют какие-либо иные физические факторы, способные влиять на движение частиц.
Тогда в втой области тензор энергии-импульса будет выражаться формулой (71.3): 628 мАтемАтические Основы ОБщей теОРии ОтнОсительнОсти (гл. х отвечающий потоку масс; но ввиду того что поле тяготения не порождает тензора энергии-импульса, а другие физические факторы, как мы предполагаем, отсутствуют, то мы получаем здесь полный тензор энергии-импульса (в области, занятой потоком). Формулу (71.3) мы, строго говоря, можем применять лишь в локально галилеевых координатах, так как в них мы возвращаемся практически к специальной теории относительности.
Но в силу тензорного характера этой формулы она будет иметь тот же вид и в любой криволинейной координатной системе. В этом смысле мы ее и будем понимать. Тензор энергии-импульса должен удовлетворять закону сохранения энергии-импульса: который в силу (126.10) можно записать в виде се~с()ь тг)т7+ сзрьтстуьтт= О. Вследствие (126.5) первый член исчезает, и мы получаем окончательно: т' р,т~ О. йх' Так как с' =.„ †, то отсюда следует: йа ' йх'р;т' = О, т. е. Йтт = О, (1 26.1 !) где абсолютный дифференциал берется вдоль четырехмерной траекйх~ Т торин частицы (как и производные — ), Мы получили, следовательйа) ' но, что касательный к четырехмерной траектории вектор тт переносится вдоль нее параллельно; эта траектория есть, таким образом, геодезическая Итак, четырехмерные траектории потока частиц, движущихся под действием только лишь поля тяготения (в частности, по инерции), суть геодезические линии чисто мнимой длины.
Отдельное физическое тело, движущееся при тех же условиях, мы тоже рассматриваем как поток составляющих его частиц и применяем к нему полученный результат. Г!рактически здесь наиболее важно, что, пренебрегая размерами этого тела и представляя его себе как точку, можно считать, что закон его движения выразсается в пространстве собььтий геодезической четььрехмерной траекторией чисто мнимой длины. Аналогичным образом мы принимаем, что распространение световых лучей (в пустоте) происходит с точки зрения пространства событий также по геодезическим четырехмерным траекториям, но при этом, в отличие от предььдуи!его, изотропным. 2 127) основная идгя онщвй твоеии относительности 629 В самом деле, с точки зрения локально галилеевых координат можно считать Г»г равными нулю, и мы возвращаемся практически к псевдоевклидову пространству специальной теории относительности. Тогда в пределах нашей локально галилеевой координатной системы геодезические принимают вид прямых, в частности, изотропные геодезические †в нзотропных прямых, которые и служат четырехмерными траекториями световых лучей, а это вполне согласуется с положением вещей в специальной теории относительности.
Более глубоким обоснованием нашего утверждения мы здесь заниматься не можем. 5 127, Основная идея общей теории относительности Если мы находимся в локально галилеевой координатной системе, то геодезические линии практически принимают вид прямых, а следовательно, движение частиц под действием поля тяготения совершается с точки зрения этой координатной системы равномерно и прямолинейно; другими словами, движение в поле тяготения сводится к движению по инерции, так что поле тяготения по существу отсутствует, Однако если мы интересуемся такой областью пространства событий, в которой нельзя ввести локально галилеевых координат (или, хотя и можно, но нецелесообразно), то мы прибегаем к координатам х', лишь близким к галилеевым Я 123).
В них уже даже с практической точки зрения нельзя считать геодезические линии «прямыми» (т. е. задавать х', хг, ха линейными функциями хг), так как в дифференциальных уравнениях геодезических й»г~ г йхгйг" — +Г' — — О йо« ~ йо йо (127.1) Уже нельзЯ считать Ггг»=0. КРиволинейный хаРактеР геодезических означает нелинейную зависимость х', х', х' от хг, т.
е. неравномерный и криволинейный характер движения частиц под влиянием поля тяготения. Таким образом, поле тяготения в этом случае фактически имеет место (не равно нулю). Итак, поле тяготения, наблюдаемое относительно данной (близкой к галилеевой) координатной системы х', характеризуетгя поведением геодезических линий в координатак х~. Говоря грубо, чем более геодезические линии отличаются при этом от «прямых», тем сильнее будет поле тяготения, наблюдаемое в данной системе отсчета. В разных координатных системах хг уравнения геодезических будут иметь различный вид, а потому и поле тяготения будет выглядеть по-разному.
Так, в неподвижно висящем лифте наблюдается такое же поле тяготения, как и на поверхности земли; в ускоренно 630 мАтемАтические Основы Общей теотии относительности (гл. х движущемся лифте поле тяготения будет иным; с точки зрения свободно падающего лифта оно совершенно исчезает. Однако было бы ошибочным утверждать, что поле тяготения целиком относительно и зависит лишь от выбора системы отсчета.
Г!оследнее верно лишь в искусственно ограниченных малых участках пространства событий, в которых можно перейти в локально галилеевы координаты и тем самым (практически) полностью устранить поле тяготения. В общем же случае нельзя уничтожить поле тяготения за счет подходящего выбора координатной системы. Так, если мы рассматриваем поле тяготения Земли не в пределах малой области (какова, например, внутренность лифта), а в пределах, охватывающих весь земной шар, то никаким преобразованием координат (системы отсчета) нам не удастся его аннулировать. Здесь мы имеем дело с существенным, неустранимым полем тяготения, порожденным массой Земли, хотя в различных координатных системах это поле будет наблюдаться в различных (в известной мере) вариантах.
Ясно, что любая теория тяготения должна прежде всего установить, каким образом распределение масс порождает это реальное поле тяготения. Классическим ответом на этот вопрос является ньютонова теория, которая утверждает (правда, без всякого объяснения), что масса, сосредоточенная в точке, сообщает любой свободной частице ускорение по направлению к себе, пропорциональное величине этой массы и обратно пропорциональное квадрату расстояния. При этом коэффициент пропорциональности я †гравитационн константа— во всех случаях одинаков.
Релятивистская теория тяготения не допускает столь же элементарной формулировки. Ее сущность состоит в следующем. С одной стороны, поле тяготения характеризуется, как мы видели, ходом четырехмерных геодезических в пространстве событий, причем геодезические могут быль найдены, конечно, исходя из псевдоримановой метрики етого пространства. С другой ствроны, распределение и движение масс, выражаемые тензором Т'~, связаны с нашей псевдоримановой метрикой (согласно второй основной гипотезе) формулой (!25.4).
В результате тензор Тт, т. е. распределение и движение масс через посредство псевдоримановой метрики пространства событий влияет на ход геодезических линий, т. е. на поле тяготения. В этом и заключается основная идея новой теории тяготения. При первом знакомстве она представляется весьма неопределенной н лишенной конкретного содержания. Однако мы вскоре увидим, что на ее основе при вполне естественных дополнительных предположениях можно производить точные численные расчеты. Весьма важно правильное понимание идейного содержания общей теории относительности. Как уже отмечалось, наиболее сущес~вен- э' 127) основная идея овщвй твогии относительности 631 ную роль играет в ней гипотеза (125,4) о связи между тензором энергии-импульса и геометрией псевдориманова пространства событий. По существу эту гипотезу следует рассматривать (независимо от субъективных намерений ее автора А, Эйнштейна) как попытку конкретной математической разработки материалистического принципа, согласно которому пространство и время суть формы существования материи, а следовательно, должны рассматриваться в связи с ее остальными свойствами (в том числе в связи с распределением и движением энергии-импульса).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
