1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Здесь мы сталкиваемся со слабым пунктом теории, так как ввести !» удается лишь весьма формальным и искусственным путем. В локально галилеевых координатах это усложнение излишне, потому что гравитационные явления практически отсутствуют, и тензор Т» полностью описывает поведение энергии-импульса (а т» обращается практически в нуль). Вторая основная гипотеза общей теории относительности состоит в следующем.
В отличие от специальной теории относительности, где тензор энергии-импульса ТЫ накладывается на пространство событий в качестве дополнительной конструкции, мы принимаем теперь, что тензор энергии-импульса вытекает из самой псевдоримановой геометрии этого пространства, а именно, определяется формулой 623 й 125) тензот энетгии-импульса Общий смысл гипотезы (125.4) заключается в том, что геометрия пространства событий тесно связана с 'распределением и перемещением энергии-импульса. формально прн этом тензор энергии-импульса Т! определяется через геометрию пространства событий, именно через его тензор кривизны и метрический тензор.
Однако с физической точки зрения более естественно трактовать эту связь в обратном порядке: распределение и движение масс в физическом пространстве отражаютсл определенным образом на псевдоримановой геометрии пространства событий. В грубых чертах уже сейчас видно, что чем больше будет концентрация масс в данном месте и в данное время, тем интенсивнее будет отклоняться псевдориманова геометрия от псевдоевклидовой на соответствующем участне пространства событий: действительно, с увеличением координат тензора Т; должны увеличиваться и координаты тензора Риччи )с;р а следовательно, в каком-то смысле и координаты тензора крнвизйы )с; ы.
Заметим, что вместо распределения и движения энергии-импульса мы стали говорить о распределении и движении масс. Это законно, если принять во внимание, что всякому запасу энергии Е отвечаег Е масса — и обратно; что же насается импульса, то его распределес' ние описывается теми же координатами тензора Т*', что и перемещение масс; перемещение же импульса прантически не будет играть роли в создании поля тяготения (а как раз в этом с физической точки зрения выразится влияние тензора Тсу на пространственно- временную геометрию).
Однано все еще остается неясным, из каких соображений тензор Тг связан с метрикой пространства событий именно формулой (125.4). Здесь можно сделать следующие пояснения. Мы хотим установить зависимость между Т; и метрикой пространства событий, приравняв Тгу некоторому симметрическому тензору, связанному с этой метрикой. Конечно, этот тензор вместе с Тт должен удовлетворять закону сохранения (125.3). Простейшим нз ! таких тензоРов бУдет, как мы сейчас Увидим, гст — — Йдт, стоЯщий в правой части (125.4).
К этому тензору можно присоединить постоянный множитель, не нарушая его свойств; зто мы и делаем (множитель — 1/и), Заметим, что сам метРический тензоР дг также обладает требуемыми свойствами и еще более прост, но явно непригоден для наших целей. Разумеется, приведенные соображения никак нельзя считать доказательством того, что тензор энергии-импульса действительно имеет вид (125.4).
Настоящим оправданием втой гипотезы является вытекающая из нее теория тяготения, как мы увидим ниже, хорошо согласующаяся с опытом. 624 мАтемАтические Основы ОБщей теОРии Относительности (гл. х Проверим теперь, что сил!Метрический тензор Ьг — — йй)у дей! ствительно удовлетворяет закону сохранения. Для этой цели используем тождество Бианки — Падова (108.6), имеющее место в любом Е„' и, в частности, в любом римановом пространстве: Т ЯА(, 6 + Т!А т(', 1~+ Ч,К А', 1~ = О. Произведем здесь свертывание по индексам !г, д; получим: ризГТсг+ ЧАЙ!т, С вЂ” Ч,йм! — — О. Прежде чем производить свертывание, мы в последнем члене переставили индексы лг, н, компенсировав это изменением знака.
Последнее равенство можно переписать в виде р„вы+К"ЧР,„„,- рР„, = о. Напомним, что под знак абсолютного дифференцирования можно вносить (н выносить из-под него) метрический тензор, стоящий множителем; в частности, поднятие и опускание индексов можно производить под знаком абсолютного дифференцирования. В среднем члене переставим г' и /, компенсировав это изменением знака, и свертываем наше равенство с д~'.
Получим: р„в — и"рР.,— И чР„,.=О. Замечая, что второй и третий члены отличаются лишь обозначениями индексов суммирования, и внося метрический тензор под знак абсолютной производной, получаем окончательно: т !Т=2Ч~Л' . (125.6) Это тождество, имеющее место в любом римановом пространстве, как раз и выражает, что тензор 1 удовлетворяет закону сохранения.
В самом деле, поднимая индексу, получаем: Й! = Йс — Югн 1 2 Вычисляем теперь: ! ! . л ! т) йн — !рГЯ, Ч йЬ, — р Гг! 7 Гс О. Равенство нулю имеет место в силу (125.6). Поднимая индекс 1, получим окончательно: 7 1т!~=0, г а это и есть закон сохранения (в силу симметрии тензоров Йг~ и йы безразлично, какой из двух верхних индексов участвует в свертывании). 625 э 126) движение частицы в поле тяготения й 126.
движение частицы в поле тяготения которая, как и в специальной теории относительности, будет кривой чисто мнимой длины. Последнее видно уже из того, что отдельные (малые) куски траектории можно рассматривать в локально галилеевой системе координат, в которой практически имеют место все результаты специальной теории относительности, в частности, четырехмерные траектории частиц †крив чисто мнимой длины, Обозначая длину дуги вдоль четырехмерной траектории (отсчитываемую от какой-нибудь начальной точки) через з=Ф, мы принимаем за параметр вещественный коэффициент о, Тогда касательный к траек~ории вектор лх' ~)о будет мнимоеднничным: дыдхгцху Л а д'.,т'т = = — = — 1.
гl лох лот (126.2) Через каждую точку М пространства событий проходит определен- ная четырехмерная траектория, а потому вектор т' определен в каж- дой точке М тг — тг(ха х1 хе ха) (126.3) С каждой точкой М четырехмерной траектории частицы можно связать локально галилееву координатную сне~ему, относительно которой частица будет в данный момент покоящейся. В самом деле, выбрав сначала произвольную локально галилееву координатную систему хг Мы уже несколько раз упоминали о том, что уклонение метрики пространства событий от евклидовой и, следовательно, невозможность подобрать в этом пространстве событий галилеевы координаты физически проявляются в первую очередь в виде поля тяготения. Сейчас мы выясним механизм появления этого поля. Рассмотрим поток частиц (обладающих каждая определенной массой покоя), перенося в общую теорию относительности построение 8 68.
В идеализированном виде мы рассматриваем этот поток частиц как поток непрерывно распределенных масс. Каждая частица, меняя с течением времени свое положение, описывает в пространстве событий четырехмерную траекторию х'=х'(а) (1=0, 1, 2, 3), (126.!) 626 НАтемктические Основы ОБщей теОРии ОтнОсительнОсти [Гл. х в окрестности точки М, мы подвергнем ее (совершенно так же, как в специальной теории относительности) псевдоортогональному преобразованию (62.10) с таким расчетом, чтобы координатная линия хз в точке М имела вектор т касательным вектором, т.
е. чтобы 4=1, тм = тм = тм = О. Обозначим через ро плотность масс покоя относительно нашей локально галилеевой системы отсчета, «увлекаемой потоком». В каждой точке пространства событий ро имеет, вообще говоря, свое значение, так что (хо хз хз хз) (126.4) Чтобы не усложнять дела, мы предположим, что в процессе движения частицы не испытывают никаких превращений, масса покоя каждой нз них остается без изменения, так что суммарная масса покоя удовлетворяет закону сохранения (заметим, что в общем случае этого утверждать нельзя; например, при так называемой аннигиляции электрона и позитрона масса покоя возникающих при этом фотонов равна нулю).
Условие сохранения массы покоя имеет вид рз ()ззт') = О, [126. 5) т. е. четырехмерная дивергенцин векторного поля е=)зз(хз, ', ', ') '( ', ', ', х') равна нулю, Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть условие (126.5) в локально галилеевой координатной системе, т. е. с точки зрения некоторой локально инерциалзной системы отсчета *). Так как в этом случае Гьп практически равны нулю, то условие (126.5) принимает вид дз' д (рзт') — — О дк' дк' (126.6) е =уз з ') Уже не связанной каким-либо образом с потоком.
Вектор е составлен по образцу (68.12), где нужно лишь заменить плотность заряда плотностью массы покоя. Масса покоя имеет с зарядом то общее свойство, что она инвариантна относительно выбора ннерциальной (в нашем случае локально инерциальной) системы отсчета. Поэтому в нашем случае мы совершенно таким же путем, как и в Э 68, приходим к формулам (68.13): 126! движении частицы в полк тяготания 627 где рь — плотность масс покоя и и„, и, и,— составляющие скорости с точки зрения нашей локально инерциальной системы отсчета (плотность масс покоя уже не инвариантна).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
