1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Конечно, это не значит, что излзгаемая здесь теория является последним словом в этом отношении. Скорее, наоборот, ее следует рассматривать именно как одну из попыток, за которыми по мере развития экспериментальных данных последует ряд других, Ясно лишь одно, что в булущем развитии науки пространственно-временная протяженность материи будет рассматриваться в неотрывной связи с ее другими, прежде всего механическими, свойствами. Как уже упоминалось, физический смысл эбщей теории относительности сводится именно к созданию новой теории тяготения. Правдз, сам автор теории А.
Эйнштейн и ряд его последователей придерживаются иной точки зрения. Они считаю~, что общая теория относительности помимо этого (и в первую очередь) устанавливает принцип равноправия всех систем отсчета, т. е. всех координатных систем х' в пространстве событий (наподобие того как в специальной теории относительности такое равноправие устанавливается для ортонормированных систем). С втой точкой зрения, однако, трудно согласиться, так как при этом равноправие систем отсчета с точки зрения формально-математического аппарата незаконно истолковывается как их равноправие и по физическому существу дела.
Между тем нетрудно разработать математичеокий аппарат, с точки зрения которого будут формально равноправны всевозможные системы отсчета и в классической теории; это не может, однако, устранить того факта, что одна из систем отсчета (покоящаяся) будет выделяться своими особыми физическими свойствами. Аналогично этому и в общей теории относительности вовсе не все системы отсчета равноправны по своим физическим свойствам, Прежде всего выделяются локально галилеевы системы, в которых отсутствует поле тяготения.
Но и тогда, когда в данной пространственно- временной области поле тяготения является неустранимым, обычно всегда можно указать системы отсчета, наиболее естественно и закономерно связанные с данным распределением масс и приводящие поле тяготения в основном к его «неустранимому остатку». Наппотив, вполне произвольный выбор системы отсчета (например, быстро вращающийся) сказываетсв в появлении фантастически больших полей тягвтения, которые исчезаю~ при переходе к более 632 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБШЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. Х естественным системам отсчета. Следовательно, утверждение о равноправии всех систем отсчета следует рассматривать как формальное и по существу бессодержательное.
В связи с этим приходится практически отличать реальное, неустранимое иоле тяготения, вызванное распределением масс, от «фиктивного», вызванного неудачным выбором системы отсчета. Правда, мы з общем случае не умеем провести границу между ними, так как ведут они себя одинаково, но не исключено, что в каком-то смысле и это может быть достигнуто «). 8 128, Приближенная теория Как известно, ньютонова теория тяготения с величайшей точностью объясняет движения небесных тел, и огромный опытный материал, накопленный в течение столетий, хорошо укладывается в ее рамки, Поэтому от новой теории тяготения мы должны прежде всего потребовать, чтобы она была ие хуже старой, т. е. чтобы она приводила практически к тем же или почти тем же результатам, что и ньютонова теория.
Мы увидим в этом параграфе, что дело именно так и обстоит: в первом приближении новая теория тяготеяия приводит к ньютоновой теории. Расхождение же между этими теориями оказывается чрезвычайно незначительным и в большинстве случаев находится за пределами опыта. Существует лишь ограниченное число экспериментов, при которых может быть фактически наблюдено и измерено то ничтожное отклонение от ныотоновой теории, к которому приводит новая теория тяготения.
Эти эксперименты говорят в ее пользу. Мы займемся теперь исследованием хода геодезических, т. е. изучением поля тяготения в некоторой координатной системе х', близкой к галилеевой. Метрика пространства событий будет иметь внд (123.2): йв»тм — йхь +ах» +с(х» +йх» +у .йх'йхт. (128.1) Г!ри этом согласно (123.5) А'Ы=А;у+У т. (128.2) ду;т д»уу Мы будем считать, что величинами у,, —, можно иренедхь дхлдхт брегать сравнительно с единицей; кроме того, мы считаем их малыми одного («первого») порядка, так что произведениями »тих величин мы будем пренебрегать по сравнению с самими этими величинами.
'1 В качестве попытки в атом направлении см. книгу В. А. Ф О е а, Теория пространства, времени н тяготения, 2-е нзд., М„1961. ф 128) 833 ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ Это значит, что мы будем полагать, например, ! 1 2+уев 2 уса+у«тута 'тоь и т п. Это будет первое наше упрощающее предполоясемие ч). Коэффициенты связности Гь; вычисляются по формуле 1 «у=4" 1 «. «у -ь ы (128.3) где 1 /дд«««дз««у дд««у1«! «Удуа ду«у ду«у!! Г, «у — — — ( — + — — — у! = — ( — '+ —.— — '), (!28.ч) 2 (ч дх« дх' дх« у( 2 ~,дх« дх« дх« ) д 'ы ум=1 2 3! Г,у — — Д. 1'«, «у= ЬГь, «у~,, 1)' ' ~.
(128.5) Выпишем дифференциальные уравнении геодезических д'хь ь дх«дхУ В силу (128.5) ид можно переписать в виде я ч г. „~ ь'- ь. ) (128.6) Греческие индексы будут пробегать у нас значения 1, 2, 3. При пространственно-временных измерениях с принятой точностью можно считать, что хо, х', х', хз имеют смысл сМ, х, у, г (см. сноску), ') Не следует забывать, что равенства, верные с принятой степенью точности, вообще говоря, я«льзя почлеяяо дифференяпдоаап«ь, вследствие етого мм не возвращаемся к псевдоевклидову случаю, хотя (128.1) с принятой степенью точности имеет вид дзз — дхл'+ дх" + дх" + ахз'. 21 П. К. Рааев«кна Ясно, что Г,, «в силу наших предположений будут малыми 1-го порядка, 1!Оэтому в (128.3) можно заменить Аа«через дь«, откинув добавочные члены, которые в произведении с Г, «дзют малые величины 2-го порядка.
Действительно, так как «ь«= «ь«-(-уд„то отсюда легко следует, что л отличается от а ' тоже на малые ы чы 1-го порядка. Итак, сохраняя в (128.3) лишь малые 1-го порядка, получаем 634 НАтемктические Основы Озщей теОРии Относительности (Гл. х тгк что согласно (67. 11] — и« „, 7, са йх ах' ! «Гх« (128 7) дхх ! д! ах« ах сй В атом будет состоят предположение.
Теперь и « до сЖ, — „ж1, с(а иу и« вЂ” (<1, — ((! и т. п. сй ' с' ь наше второе (и последнее) упрощающее формулы (!28. 7) принимают вид йх«! ах аха, ! ау йаа ! дх ао си!' ао с й йа сй (128.8) Имея в виду перейти в дифференциальных уравнениях (128. 6) от ваха аргумента о к аргументу х«, подсчитаем — по известной формуйх«« ле замены аргумента: уха ах« н«х« «!ха йаха с(оа ао йаа со йхха д«х« дха Дх«~ удх« ' а Дах с(оа аа (,до/ аха г'. принятой нами степенью точности мы положили — ж ! согласно ао (128.
8). Вставляя в полученное выражение вторые производные из (128. 6], мы приходим к формуле Д'х« ах! ахт йх' дхт дха — = — à — — — Г йх«а « "l ао «(о сну ао аа да Так как произведениями скоростей, отнесенных к скорости света, мы сравнительно с единицей пренебрегаем, то в первом члене правой части нх« нхз ' ! их« йха исч езают слагаемые с произведениями — — — — — и сохрайа Го! схй д!у Мы будем предполагать, что скорости движения рассматриваемых в поле тяготения свободных частиц малы сравнительно со скоростью света, Более точно, мы будем пренебрегать сравнительно с единиг(ей квадратами (и произведениями) зтих скоростей, отнесенных к скорости света: 128) пРиБлиженнАя теОРия няютсялишь слагаемые, где)=-у=О или с= О, у'= Р, или 1=(), у'= О.
Во втором же члене мы по тем же причинам сохраняем лишь одно слагаемое, где (=у=О. Итак, дех" д о дхо дха дха дхо дхе дх» » 1, 21»,о дхо «.оа дп до За дп сп а,ао д дг до Пользуясь (128. 8), (128. 4), получаем окончательно; ! пах* у„а сх' 2се дГ д! иЛи дех" ду,а се дуаа ду„о дха — = — с — '+ д1» д! 2 дх" д! д( /дуре ду«а '! дха ! дуао дх' 'А дх' дха / дГ 2 д! дт (128.9) Таким образом, свободная частица в иоле тяготения получает ускорение, проекции которого на координатные оси выражаются согласно (128. 9). Это ускорение зависит, как мы видим, от местоположения частицы и от момента времени (так как у,у суть функции х",х',х',хо), а также от ее скорости. Действительно, в правую часть формулы дха входят — — проекции скорости частицы на координатные осн.
дс Формула (128. 9) в явном виде покззывает нам, как поле тяготения, наблюдаемое с точки зрения данной координатной системы х', выражается через у;, т. е, через отклонение метрического тензора от галилеевой фоРмы Аг . Запишем теперь в нашей приближенной теории основную гипотезу (125. 4): 1 — нт, =)с. — — Йу У 'У 2 '/' (128. 10) [128.! 1) (128.12) где т=а' тг . Заметим прежде всего, что зто соотношение можно переписать з виде 636 м»темлтические основы овщвй твотии относительности (гл. х В самом деле, свертывая (128.10) с д'~, мы получаем: — т = й — 2)суда' = — гт, 1 (128.
13) так как в четырехмерном пространстве йгтй'= 6) = й 0 Вставляя в (!28.10) хТ вместо гс, мы немедленно получаем (128.11). Столь же легко и обратно из (128.11) получить (128.10). Теперь подсчитаем Я; . Согласно (11ОА) мы получаем (пренебрегая с принятой нами стейенью точности произведениями Г): 1 1г д»ур, д»ун д»уд д»у;» 1 2 (» дх'дхг дхгдх» дхгдх» дхтдхгг) Далее, свертывая почленно с йгг, мы (по тем же соображениям) можем положить йг й", так что 1 / д»у д»у) д»т» Ц»=йг»гйи= — ( ПУт»+ — — — ) (128 1'1) 2 ~ дхгдх» дх»дхг дхгдхгэ) где д» д» д» д' (128, 16) Т =)хс, 2 Общая схема исследования будет иметь такой вид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
