1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 126
Текст из файла (страница 126)
тору йха Ф О, ах'=ахт=-Фха=о — зо втором двумерном направлении, 642 млтематические Основы Овщей теОРии относительностн (гл. и для данной сферы константу. В результате 2(ял — ь (л(хя + а(пахаахал) (129.5) где й может зависеть лишь от хв, х'. Но так как по нашему пред- положению плг от хв не зависят, то Й = й (хл). (129. 6) Теперь в (129.2) последние три слагаемые имеют вид (129.5), и их сумма при вращениях остается, очавидно, инварнантной (равно как и вся форма (129.2)).
Тем самым сумма н первых трех слагаемых остается инвариантной, а так как, кроме того, слхв, 2(хл инвариантны по отдельности, то коэффициенты лвв, лвл, 2,"лл также должны оставаться инвариантными "). Тем самыл~ они не могут аависеть от ха, х', а значит, зависят только от х'.
Мы получаем: 2122 =ров (х ) л)хв + 2увл (хл) алхвл(хл+122 (хл) дхл + + й (хл) (2(хл + 51пахаг(ха ), (129 7) Мы можем упростить это выражение, изменив начальный момент отсчета времени в разных точках пространства по-разному, а именно, первые три члена можно переписать в виде [ 1 а ) ввл,( 21 ( (й, ввл),( .22 Положим: ха' хв ( Г вал(х') " а'ло(х') В таком случае (обозначая х" снова через х') мы можем переписать (129.7) в виде "в =лев"х + (Клл — — Их' +А(хл) (2(х"+21пах22)ха). (129.8) Вва/ Если бы мы имели дело с пространством специальной теории относительности, то у нас было бы 2(за = — лтхв + лтхл +хл (в)ха +а)пахал(ха ) (129.9) Действительно, то, что добавляется к — 2(хв, представляет собой метрическую квадратичную форму обычного пространства в полярных координатах.
По нашим общим предположениям коэффициенты формы (129,8) лишь немного отличаются от коэффициентов формы (129.9). *) Учитывая, что сумма первых трех слагаемых остается инварнантаой при лрвивввллнах ехв, ахл. $ 1291 центоально симметеическое поле тяготения 643 В частности, ф! ня!ия й (х') близка к х' Можно добиться и их полного совпадения, если ввести вместо х' новую координату х" =)~ й(х').
Мы не нарушаем при этом никзких предположений, сделанных в начале этого параграфа. Теперь (129.8) примет вид гЬз=-!(хз) Нхо +й(х') г(хз +х' (Ихз +з!пзхзз!хз ), где х" обозначено просто через х', а 1(х') и й(х') — некоторые его функпии (явным выражением которых мы не интересуемся). При этом ! (х') близко к — 1, а й (х') — к 1, так что мы будем писать их в виде 1(х') = — е"'" ', й (х') = — е" '" ', где т(хз), Х(х') близки к нулю. Итзк, з)ез = — е"1хо -)- е'г(х' -1- х' (г(хз -(- я!пзхзе(хз ).
(129.10] Отсюда Й'оо= е Кы=о Кзз х Кзз=х з'п х зз з.з остальные йз, = О. ! д =е ~, гз ы -з зз х" ' ,зз 1 кмв!пзхз Подсчитывая Гз по обычным формулам, получаем: Г'„== — Г'„= — в!пх'соях' зо — 2~ зз— -з з т «-з з з Г„= — х е, Г„= — е, Г„=Г;,= —, 2 ' З' Гз = с1йхз, Г',з = — х'з!пзхзе (129.11) остальные Го!=О.
Теперь, пользуясь формулой (105.8): Я!з,: = — + Г~ Г, — — — Г, Гзн дрг! з доз дхз дхг и производя свертывание по индексам 1, д, находим тензор Риччи: дГз Так как тензор Риччи гсз! вместе с метрическим тензором должен быть инвариантен при рассматриваемых нами вращениях, то 644 математические основы овщвй теогии относительности (гл. х совершенно аналогично предыдущему (формулы (129,!)) получаем: )'еа = )'оа = Йга = )~га = О (129.12) а также убеждаемся, что квадратичная форма Йаяг(»' + 2)таагг»'д» + гсазй» должна иметь вид с(ха + з)па»'Иха с точностью до скалярного множителя. Это значит, что )саа — — Йеза(п х', гсеа = О, (129.13) Пользуясь (129.11), подсчитаем теперь отличные от нуля координаты тензора Й; .
Получаем: й 2+ 4 4 /' у у Х т Х й 4 ' 4 4 х' Яаа= — — 1+е '( 1 — хт),'+ х'). 2 (129.14) Что же касается Йеы то подсчет показывает, что И =О. 0 130. Центрально симметрическое поле тяготения (окончание) Мы предположим теперь, что тензор энергии-импульса Т; отличен от нуля лишь в некоторой узкой ктрубкеа, окружающей ось хе, т. е.
при условии х' ( ге, где г †некотор постоянная. За пределами же этой «трубки» Тг равен нулю: Т; =0 при х')г. (130.1) С точки зрения физической системы отсчета, в которой мы находимся, это значит, что массы, порождающие поле тяготения, расположены в сфере радиуса г с центром в начале координат, за пределами же этой сферы отсутствуют. Внутри сферы распределение масс должно быть, конечно, пентрально симметрическим (поскольку тензор Т, обладает этим свойством). Получается картина, близкая к полю тяготения, порожденному одним небесным телом (Солнпем, звездой или планетой).
Это поле тяготения будет интересовать нас лишь за пределами самого небесного тела, т. е. при условии х' > г„. В таком случае Т,.= О, а это согласно (128.11) и (128.10) равносильно тому, что )с, = О. Чтобы удовлетворить этому требованию, мы должны прн- з 130) центрально симметрическое поле тяготения 645 равнять нулю три выражения (129.!4). Тогда )7гг обратится в нуль в силу (!29.13), а остальные А'г и без того равны нулю. Мы приходим к дифференциальным уравнениям: йвр= — е""'дх' +е"'х'ах' +х' (йхр +в)прхЧхр ) (130.5) удовлетворяли условию отсутствия масс.
7,.=0, при хт > г„, необходимо и достаточно, чтобы функции т (х'), Х (хт) удовлетворяли (при х' > гр) выписанной выше системе дифференциалрнри уравнений. Эту систему нетрудно проинтегрировать. Складывая почленно первые два уравнения, мы приходим к соотношению т'+Ъ'=О. (130,6) т. е. — 1 + (х'е ')' = О, откуда х'е "=х'+ а, р е = а +х' е "=1+— хт (1 30,7) Из (130.6) следует, что т от — к отличается лишь постоянным слагаемым, а следовательно, е" от е " лишь постоянным множителем: е'=Се "=С(1+ —,) (!во.в) Множитель С близок к единице, поскольку близки к единице величины е" и ет. Вставляя (130.7)„ (130.8) в (130.5), мы относим множитель С к дхр и принимаем для простоты )гСхр за новую — — + — — — — =О, 2+ 4 4 х1 у,трктк 2 4 4 х' — ! + е '( 1 — х'Х' + ™ х') = О.
Итак, для того, чтобы метрика (!29.10) Третье уравнение дает теперь — 1+ е "(1 — хт).') =О, где а — некоторая константа. Окончательно (130. 2) ()зо.з) (130.4) й ы Иг»= — (1+ —,1(дхр -1- + х' (дх» +а(п»х»дхр ), (130.9) л' Такой вид имев~ метрика в случае центрального симметрического поля тяготения в области х' т, свободной от гравитируюи(их »~асс. Теперь окончательно е"=е '=1+ —,, т — Х. (130.10) Из уравнений (130 2), (130.3) мы использовали лишь их следствие (130.6), однако найденные нами функции т (х'), )р (х') удовлетворяют этим уравнениям, как показывает непосрелственная проверка. Константа а зависит от той суммарной массы ат, которая сосредоточена в окрестности начала (в области х' ( г ) и порождает рассматриваемое поле тяготения.
Зависимость между а и лт можно найти из следующих соображений. Рассмотрим метрику (130.9) прн очень больших х'. Тогда коэффициенты при дха, йх' очень мало отличаются соответственно от — 1, 1 и метрика почти не отличается от псеваоевклидовой, В таком случае мы имеем право применять выводы приближенной теории э 128 для стационарного случая, в частности, формулу (!28.23). Лля этого нужно было бы вернуться от наших координат х', х», ха (приблизительно полярных) к координатам у', ур, у» (приблизительно прямоугольным декартовым).
У нас, как видно из (130.9), д„ = О, Это равенство сохраняется, очевидно, при любом преобразовании «пространственных» координат х', х',х» между собой, в частности, при возвращении к (приблизительно) прямоугольным декартовым координатам у', у', у'. Поэтому в этих последних у,р =д, = О, и формула (128.23) принимает вид д»у' д уррс» ~й» ду' 2 Таким образом, поле тяготения обладает потенциальной функс' цией урр 2 Мы знаем, что дрр 1+ урр причем в нашем случае дра —— в (1+ — 11 (так как в (130.9) х' играет (приблизительно) роль / а полЯРного РасстонннЯ г). Следовательно, Т„р = — — и арчер ас 2 2т (130.11) 646 матвматичаскив основы овщвй твории относительности [гл. х координату х'. Тогда (130.5) принимает внд б47 5 13!) геодазическнв линии Но согласно приближенной теории мы должны получить ньютонову Ьл потенциальную функцию, равную —, где Й вЂ” гравитационная кон- г станта.
Сравнивая с (130.11), получаем: 2Ьи а= — —, Теперь (130.9) принимает окончательный внд д ы с]У= — (1 — — ]ах~ + -~-х1 (с(х~ +а]п сс Дхс )' (!30 !2) схх' / 2йп~ 1 — —— сах' ес =е-"= 1 —— 2Ьа с'х' (130,13) й 131. Геодезические линии в случае центрально симметрического поля тяготения Чтобы изучить движение свободной частицы в центрально симметрическом поле тяго~ения, нужно найти геодезические линии метрики (130,12).
При этом геодезические линии лают, как мы знаем, четырехмерные траектории: в случае мнимой длины — для частиц с Напомним, что пРи этом предполагаетса, что хг ) га; гс нУжно 2Ьп считать не слишком малым так, чтобы — было мало сравннтельсхг О но с единицей и, следовательно, чтобы метрика (130.!2) мало отличалась от псевдоевклндовой. При выводе формулы (130.12) мы предполагали, что кроме массы т, сосредоточенной вблизи начала координат, других гравитирующнх масс нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
