1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Задаемся тензором Т, т. е. распределением и движением масс. Тем самым нам будет известна правая часть соотношения (128.11) (с принятой нами то~пастью эг. заменяем через ггг ). В левую часть вместо Й,. !у вставляем его выражение (128.14) и получаем систему 10 дифференциальных уравнений 2-го порядка с 10 неизвестными функциями уг (хь, х', х», хз). Т)ри некоторых дополнительных предположениях эти функции могут быть однозначно определеньц а вместе с ними согласно (128.9) определится и поле тяготения. Однако осуществление этой программы в общем виде довольно сложно и требует некоторой специализации координатной системы х'.
Поэтому мы ограничимся стационарным случаем, т. е. предположим, что в пространстве событий можно выбрать такую координатную систему, с точки зрения которой массы, порождающие поле тяготения, практически находятся в покое. Тензор энергии-имвульса имеет тем самым лишь одну координату, отличную от нуля, именно: 637 2 128) ИРивлижеиная теоРия где р — плотность масс"). Плотность же импульса и его потока практически равна нулю, что связано с обращением в нуль остальных координат Тьр Конечно, при этом из закона сохранения энергии- импульса следует, что плотность р не меняется с течением времени и зависит лишь от точки р = р (хз, хз, ха). Естественно считать, что при стационарном распределении масс порождаемое ими поле тяготения также является стационарным.
Чтобы обеспечить это, мы предположим, что стационарной является метрика пространства событий, т. е. у; от времени не зависят: у =-у (х х х). (128.18) В таком случае в формуле (128,14) оператор () можно заменить оператором Лапласа дз дз дз Ь= — + — + — ' дх" дхз* дхз' С принятой нами степенью точности мы заменили здесь: лез ~ ж еез = — 1. Теперь, очевидно, ( О ((~у), Ту/ 2 Тй !ж ( ! роз (! !), 2 (! 28.19) Используя теперь (128.11) при д=а (=1, 2, 3), У=О, получаем: Йие — О или согласно (128 !4) дзу1, Лу.„— ' =О. дхи дхз Члены, где имеется дифференцирование по х', мы отбросили. Диф- ференцируя по ха почленно и альтернируя по а, (), получаем: д д дха бу !1у аз — О дх" ') Анз знаем, что Тм=рсз. Но Ты=йзсйз!ТО едзйзуТ'у=йз,ймТзз Таз = рсз.
так как дифференцирование по ха все равно дает нуль. Далее, пользуясь обращением в нуль всех Т; кроме Таа = )тсз, мы подсчитываем: Т= 8стТгу — ~за Т„= — „, 638 млтвмлтичвские основы овщхй твогии относительности (гл. х т. е. (128.20) Мы будем считать, что массы, порождающие поле тяготения, расположены в некоторой ограниченной области пространства. В таком случае естественно предположить, что уг вместе со своими частными производными стремятся к нулю в бесконечности, что обеспечивает нам исчезновение поля тяготения в бесконечности.
Искажение евклидовой метрики, вызванное присутствием масс, ослабевает по мере удаления от них, н в очень удаленных областях координаты х' являются практически галилеевыми. Это допущение вполне оправдано с точки зрения приложений. Так, например, поле тяготения солнечной системы практически исчезает в удаленных областях пространства (однако не столь удаленных, чтобы начало сказываться поле тяготения ближайших звезд).
В идеализированном виде, отвлекаясь от поля тяготения звезд, мы можем рассматривать, следовательно, поле тяготения, исчезающее в бесконечности. ду;г Считая, что у;, — при г — оо стремятся к нулю (г = дхо ) х' +х' + ко ), можно утверждать, что уравнение Лапласа (128.20) допускает лишь нулевое решение, и мы получаем: дуоо дузо — — — „=О. (128.21) дхв дх" Используем теперь (128.11), (128.19) при 1 =-/= О. Г!олучаем: )Гоо = — — )осо, откуда, сравнивая с (128.14) прн /= Й = О, имеем 2 1 к — Ьуо — — — рс' (все дифференцирования по х' дают нуль). Полученное здесь уравнение Пуассона для у„имеет, как известно, решение Тоо(к', хг хо) = — ") Ц~ )х(У' ' ') г(уг о(ух отуо (128 22) где р = (х' — у')' + (х' — у')' + (х' †)', а интеграл распространен по области распределения масс.
При наших предположениях (Тоо — 0 прн г — со) зто решение будет единственным. Рассмотрим теперь поле тяготения, отвечающее данному распределению масс. Прежде всего перепишем формулу (128,9) для стационарного случая вообще (когда ТО не зависят от г). Получим; Н'х" с' дуоо гдуво дуао г оГ»З (128,23) дсо 2 д»" ~ дх" дхз,l «1 ч 129) цвнтгкльно симмвтгичвсков поле тяготения 639 Пользуясь (!28.21) и (128.22), получаем окончательно: Ос~альных у,, не играющих роли для поля тяготения, мы вычислять не будем, Мы замечаем, что ускорение частицы в поле тяготения будет в точности таким же, как и в ньютоновой теории, если выбрат~ иго константу и (до сих пор не определенную) из условии — =и, т.
е. 8п положить: (128. 25) и=в оо где л — ньютоново гравитационная константа. В таком случзе — И "(" ' " ' " ) йу' йуо г(у =й И,( р (у ' " ' " ) г(уг йу г(у ""~И''ууу=И(''''ууу дает ньютонов гравитационный потенциал, и (128,24) есть основная формула ньютонозой теории тяготения. Итак, общая теория относительности в рассмотренном наин первом приближении приводит к ньютоновой теории тяготения.
Теперь мы отказываемся от приближенной точки зрения и переходим к точной теории, которая приводит уже к несколько иным результатам. Однако фактически проинтегрировать уравнения (125.4), т. е. найти метрический тензор я; по тензору энергии-импульса ТО, удается лишь в исключительных случаях (в левых частях уравнений (125,4) мы должны пРедставлЯть себе )сг выРаженныии дую д'у;г через у,, —, —, так что у нас будет 1О уравнений с дхь дхь дхг частными производными 2-го порядка относительно 1О функций (лсо хг лгз лз)) В дальнейшем мы будем заниматься лишь одним, правда, очень важным случаем, когда поле тяготения создается массами, сосредоточенными в малой области, так что поле тяготения за пределами этой области ес~ественно считать центрально симметрическим. Очевидно, сюда относятся поля тяготения, создаваемые отдельными небесными телами.
9 129. Центрально симметрическое поле тяготения Мы предположим, что в пространстве событий можно выбрать такую координатную систему у (как всегда у нас, близкую к галипеевой), что собл1одаются следу1ощие условия. 640 матемлтичаскив основы ошцай таогии относительности )гл.
х йе»=-у;,.йутйут будет инортогональных преобразонензменной уа. не зависят от времени, 1'. Метрическая квадратичная форма вариантной относительно всевозможных агний над координатами ут, у», у» при 2'. Координаты метрического тензора т. е. от у»: (уг» у») так что поле тяготения стационарное, При этих двух условиях поле тяготения мы будем называть центрально симметрическим.
Гиперповерхности у» = сопя! мы для наглядности будем рассматривать как обычные евклидовы пространства, отнесенные к прямоугольным декартовым координатам у', у', у'. Соответствующая евклидова метрика будет играть у нас вспомогательную роль и с «настоящей» метрикой гиперповерхности не совпадает. Введем вместо «прямоугольных декартовых> координат уг, уа, у» «полярные» координаты х', х', х', где х' — полярный радиус: х =т= у' ут +у» ) уз х» = — — 9 где 9 — широта, х» = ф, где тр — долгота. При этом т, 2 9, ф определены обычным образом относительно вспомогательной евклидовой метрики, так что ут = х а!и х соз хз у» х> 5!п ха 5[п х» уз хт соах» Положив еще х»= у», мы переходим в пространстве событий к координатам х», х', х', ха. Квадратичная форма й~=А; х'йхг согласно условию !' должна оставаться инвариантной, когда в каждой гиперповерхности хе = сопя! производится одно и то же (произвольное) «вращение> около начала О.
В дальнейшем под вращениями мы понимаем «вращения» именно этого рода. ПУсть М !Хм~, хм, хмю, хм) — пРоизвольнаЯ точка одной из этих гнперповерхностей; в каждой из гнперповерхностей х»=сонэ! ей отвечает точка М' т!Хм~, хмм, хм», хм») с теми же значениями к», х», х». Производим вращение вокруг прямой ОМ в этой гиперповерхности и одновременно такие же вращения вокруг соответствующих лрямык О'М' в каждой гиаераоверхности х» = сопзц Рассмотрим в точке М двумерные направления йх» = йх' = 0 и йх» = йх» = О. Г!ервое из этих направлений, очевидно, касается двумерной сферы х» = хм, х' = хмд, описанной в гиперповерхности 5 129] центРлльио симметРическое поле тяготения 341 х'=-хм~ из начала О как из центра и проходящей через М.
Г!ри вращении вокруг ОМ эта сфера скользит по себе и первое двумерное направление вращается з себе самом. Второе двумерное направление касается двумерной поверхности х'= хи, ха = хж — геои а 3 метрического места осей вращения О'М' (взятых по одной в каждой гиперповеркности х'= сопз1). В процессе вращения это двумерное направление тем самым остается неизменным; более того„ все принадлежащие ему векторы остаются неподвижными. Последнее видно из того, что в процессе вращения х', х', а значит, и Оха, дх' не меняют своих знзчений. Каждый неподвижный вектор второго двумерного направления в процессе вращения сохраняет постоянный угол (точнее, постоянное скзлярное произведение) с вращающимся вектором первого двумерного направления.
Но это возможно лишь в случае ортогональности неподвижного вектора ко второму двумерному направлению. В результате оба двумерных направления будут взаимно ортогонзльны, что равносильно тому, что в метрическом тензоре (129. 1) А'от = Коз = Ктз = Кт з = б "). Тем самым метрическая квадратичнан форма имеет вид а' а г)аз=доз г(ха +2ео ахат(хг+у дхг + +Квас(х~ + 2кзз Ох~ г(х +Азз пх~ . (129.2) В частности, на двумерной сфере хз=сопз1, х'=сопзй ~ЬЕ = раас(х" + 2уазс(хздхв+ л фхз' (129.3) При всевозможных вращениях сферы эта квадратичная форма должна оставаться инвариантной. Но инвариантной остается при этом и форма пхз + з(пзхаг(хз, (129.4) совпадающая с первой квадратичной формой на единичной сфере обычного пространства ( напомним: ха= — — О, хз=~р).
Отношение 2 форм (129.3) и (129.4), которое мы обозначим А, зависят лишь от з "ха~ линейного элемента на сфере (хз, хз, —, ). Но так как обе формы ' лхт,) ' инвариантны при вращениях сферы, а вращения способны переводить любой линейный элемент сферы в любой, то и представляет собой ") Так, например, ЕМ=О означает ортогональность бесконечно малого вектора зх'=Ых'=ах)=О, Нхт Ф О з первом двумерном направлении к век.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
