1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 121
Текст из файла (страница 121)
Пренебрегая бесконечно малыми 2-го порядка. можно, следовательно, считать, что я';~ в бесконечно малой окрестности точки М сохраняют постоянные значения А;2, т. е. именно те, которые они должны были бы иметь в галилеевых координатах. Таким образом, в бесконечно малой окрестности точки мы в известном смысле получаем возможность вернуться к галилеевым координатам †роль будут играть локально галилеевы координаты. При этом мы позволим себе рассматривать локально галилеевы координаты не только в бесконечно малой, но и в конечной окрестности точки М. Нужно только брать эту окрестность достаточно малой, чтобы практически — с точки зрения физических приложений в наши локально галилеевы координаты оставались неотличимыми от галилеевых, в частности, чтобы Гь; оставались в ких практически равными нулю.
В пределах этой окрестности мы возвращаемся (практически) к тому положению, которое существовало в специальной теории относительности. В связи с этим мы придаем локально галилеевым коорлинатам хь, х', х', х' и прежнее их физическое истолкование как неличин с(, х, у, х в некоторой инерциальной системе отсчета. Существенная разница с прежним будет, однако, в том, что это истолкование применимо лишь в некоторой ограниченной пространственно- временной области (и не является совершенно точным, а лишь практически удовлетворительным). Поскольку ннерцнальные системы отсчета строятся теперь лишь для отдельных малых кусков пространства событий, мы будем называть эти системы локально инерциальнымии. Таким образом, хотя построение инерциальной системы отсчета (т.
е. галилеевых координат) н невозможно для всего пространства событий в целом, но практически возможно для любого о~дельного его куска, не слишком большого по размерам. Локально инерциальным системам мы будем приписывать (в пределах области их действия) все те свойства, которыми обладали инерциальные системы 620 мхтамлтичаские основы онщей таогии относительности (гл.
х в специальной теории относительности. В частности, при условии, жо пространственные координаты х, у, х и время г измеряются во всех локально инерциальных системах при помощи одних и тех же единиц измерения, скорость света с будет одинакова во всех этих системах. При переходе от одной локальной инерциальной системы к другой (с общей областью действия) формулы Лоренца применимы так же, как и в специальной теории относительности, и имеют то же физическое истолкование.
Позже мы выясним полностью смысл локально инерциальных систем с физической точки зрения. Пока для ориентации в этом вопросе укажем только, что можно представлять себе локально инсрциальную систему как свободно летящую в поле тяготения, существующем в данном месте и в данное время. Свободный полет мы понимаем в том смысле, что на систему и на ее отдельные части не действует никаких сил, кроме сил тяготения.
При этом в начальный момент системе может быть сообщена какая угодно скорость поступательного движения (заметим, что прн наших условиях система не может вращаться: иначе на ее части действовали бы центростремительные силы, препятствующие им «разлететьсяа). Тогда с точки зрения этой системы, если она достаточно мала ло размерам, поле тяготения исчезает. Этим обстоятельством и характеризуется локально инерциальная система. Так, например, с точки зрения свободно летящего космического корабля поле тяготения отсутствует (явление невесомости). Действительно, любой предмет, помещенный в воздухе внутри корабля, будет лететь вместе с ним с одинаковым ускорением, а потому относительно корабля будет оставаться неподвижным.
Если сообщить этому предмету толчок, то его движение относительно корабля будет равномерным и прямолинейным. Мы имеем здесь характерный пример локально инерциальной системы. На этом же примере хорошо виден ее именно локальный характер. Действительно, если в летящем космическом корабле удается устранить поле тяготения, то существенную роль играют здесь малые размеры корабля сравнительно, например, с земным шаром. Если бы мы захотели подобрать локально инерциальную систему, охватывающую весь земной шар, то это нам не удалось бы: поле земного тяготения, силы которого направлены в основном радиально к центру земли, нельзя было бы устранить никаким выбором системы отсчета.
Заметим, что хотя в й 123 мы тоже рассматривали координаты х', близкие к галилеевым, тем не менее между ними и локально галилеевыми координатами есть принципиальная разница. Эта разница заключается в том, что в случае локально галилеевых координат их отличием от галилеевых практически можно полностью пренебречь; в случае же й 123 этим отличием пренебречь нельзя: хоти оно и мало (в смысле непосредственных пространственно-временных измерений), но не настолько, чтобы не выражаться косвенно в виде весьма 621 2 125) тензоР знеРГНН-импульса заметных физических явлений — явлений тяготения.
Разумеется, этот «более удачный» выбор локально галилеевых координат достигается за счет малой области их применения; между тем в й 123 мы рассматривали координаты х', пригодные в больших областях пространства событий. 2 125. Теизор энергии-импульса в общей теории относительности Распределение и движение энергии и импульса в пространстве описываются в общей теории относительности тзк же, как и в специальной, симметрическим тензором энергии-импульса: ТО= ТО(хь, к', хг, хэ). (125.
1) Разница лишь в том, что пространство событий, в котором задается это тензорное поле, уже не псевдоевклидово, а псевдориманово. Мы имели ранее (271) физическое истолкование тензора энергия-импульса в галилеевых координатах: Тьь — плотность энергии в соответствующей инерциальной системе и т. д, Такое же истолкование мы приписываем тензору энергии-импульса теперь в локально галилеевых координатах: Тэь †плотнос энергии в соответствующей локально инерциальной системе и т. д, Конечно, и в координатах х', близких к галилеевым ( $123), тензор 7зх имеет с известным приближением, практически удовлетворительным, то же физическое истолкование.
При этом мы считаем, что тензор энергии-импульса Т" учитывает суммарное распределение и движение всех видов энергии и импульса эа исключением энергии и импульса граэитсционного происхождения. Мы выделяем, таким образом, явления тяготения в особый разряд; это связано с тем, что физическое содержание общей теории относительности как раз и сводится к обьяснению этих явлений. Как и в специальной теории относительности, мы требуем, чтобы тензор ТЫ был подчинен закону сохранения энергии-импульса. Этот закон в специальной теории относительности в галилеевых координатах имел вид (72.13): дТы д , — — О (/= О, 1, 2, 3). (125.2) Если бы мы захотели записать его в виде, пригодном для любой координатной системы, то нам пришлось бы заменить частные производные абсолютными: 7;Ту = О.
(125.3) действительно, в такой записи мы получаем инвариантное соотношение, так как оно выражает обращение в нуль некоторого тензора. В общей теории относительности мы не имеем в своем распоряжении галилеевых координат и накладываем поэтому на тгнэор ТО 622 математические Основы Общей теОРии ОтнОсительности (гл. х ! — ИТ» — — )тг — — Куг . (125.4) Здесь Т, — тензор энергии-импульса с опущенными (прн помощи » метрического тензора у! ) индексами; т㻠— тензор риччи и )т— скалярная кривизна в псевдоримановом пространстве событий: )ать= 77». ы д = 77!!. а( !туг =% )А =)~ТАКт".
(1255) Наконец, к — некоторая положительная константа, значение которой будет найдено позже. Заметим, что, указывая основные гипотезы общей теории относительности, мы обращаем внимание не на те ее стороны, которые повторяют специальную теорию, а на те, которымн она существенно отличается. соотвгтствуюи!гг условие сразу в инвариаптном виде (125.3). 1!ри этом в локально галилеевых координатах мы возвращаемся к записи (125.2) ввиду тоге, что Гап будут в этом случае практически равны нулю.
Отсюда следует, что в локально галилеевых координатах можно повторить все выкладки й 72 и обнаружить снова, что наложенное на ТУ условие действительно выражает закон сохранении энергии-импульса. В произвольной координатной системе, где величинами Гп пренебрегать нельзя, условие (125.3) нельзя переписать в виде (125.2) н истолковать по образцу й 72 как закон сохранения энергии-импульса. Это объясняется теи, что энергия и импульс гравитационного происхождения нг учитываются ггпзорам 7их. Между тем закон сохранения энергии-импульса будет справедлив, разумеется, лишь при учете энергии и импульса любого происхождения. Поэтому лля записи закона сохранения приходится присоединять к тензору ТО еще особый дифференциально-геометрический объект !» (не тензор)), описывающий распределение и перемещение энергии и импульса гравитационного происхождения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
