1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 117
Текст из файла (страница 117)
е. делаем над т, г', / два раза круговую подстановку: $1!9) пРОстРАнстВО (т„-т кАК гнпеРсвеРА В )сл 595 и следовательно: (! 18.12) Умножив (118.12) на дтл и просуммировав по у' и й, получим: К,(п — 1) =О, а следовательно, так как п) 2 и и — 1~9, к,=о, откуда К= сопз!. Итак, если число измерений пространства больше двух, то достаточно потребовать постоянства кривизны по всем направлениям в каждой данной точке, чтобы утверждать, что кривизна одна н та же и во всех точках пространства. Теперь рассмотрим оставленный в стороне случай и= 2.
Для всякого двумерного пространства двумерное направление в каждой точке только одно и нривизна единственная, так что прежнее требование не может служить определением пространства постоянной кривизны: оно удовлетворяется автоматически. В связи с этим В каждой точке всегда имеет место равенство (118.9): гчы,ы= К(еглйм КПВТ) как это видно уже из (112.2). Действительно, лля справедливости (118.9) достаточно, чтобы оно имело место для единственной существенной компоненты гс,т, Зато теперь (! 18.9) уже не имеет своим слеаствием К= сопя(, так как (118.11) удовлетворяется тождественно в силу и=2. В случае и= 2 пространство постоянной кривизны мы определим непосредственно требованием К= сопя! для всех его точек. 9 119.
Пространство постоянной кривизны к„ , как гиперсфера в Ю„ Мы хотим показать, что метрику риманова пространства постоянной кривизны (отличной от нуля) всегда можно реализовать, по крайней мере, локально, на гиперсфере в евклидовом пространстве на единнпу большего числа измерений. Чтобы согласовать обозначения с $ 1 17, обозначим число нзмерений пространства постоянной кривизны через и†1, его метрический тензор через О„В, тензоР кривизны через !САН В„ и операцию абсолютного дифференпирова- ния 7к. Греческие индексы будут пробегать значения 1, 2, ..., и (гл. ~х твнзог кгивнзны латинские 1, 2, ..., и.
Согласно (118.9) )7~~,а =К(П аа„„вЂ” О О„в), (119.! ) причем, как мы знаем, К= сопз!. б.а = ) 'К а.а. Тогда (119.1) можно переписать в виде (119.2) (! 19.3) ((роме того, так как ч„0,а=О, !гК= сопя(, то д„бвз = О. (119 А) Мы видим, что тензоры б,а, бва, заданные в $'„ы удовлетворяю~ условиям (117.2), (117.3) (првчем в (117,2) берется верхний знак). По основной теореме 9 117 отсюда следует, что к'„х можно реализовать в виде гиперповерхности в )с„, на которой б„а и Ь„в будут служить первым н вторым основными тензорами. При этом нормальный вектор т' будет единичным (а не мннмоединичным), так как в (117,2) берется верхний знак ( + ), а следовательно, й,гтЪ~ = + 1, Мы будем предполагать при этом К:~0.
Действительно, в случае К=О пространство постоянной кривизны не нуждается в исследовании: оно является просто евклидовым пространством или, по крайней мере, локально евклидовым в силу обращения в нуль тензора кривизны. Мы хотим доказать следующую теорему. Если пространство постоянной кривизны )г„т представляет собой односвязное элементарное многообразие (отнесенное к координатам иг, ..., и" з в некоторой области их изменения), то его можно реализовать (с сохранением метрики) в виде некоторой области на гиперсфере Ю„з в евклидовом пространстве )7„.
Не исключено при этом, что эта обласгь будет многолистной, т. е. что т'„ , многократно покроет ту или иную часть гиперсферы. Если же пространство постоянной кривизны топологически устроено как угодно, то указанное в теореме свойство можно гарантировать лишь локально, т. е.
для некоторой окрестности любой точки гИ (достаточно взять эту окрестность в виде односвязного элементарного многообразия). Переходя к доказательству, рассмотрим отдельно случай К) О, Построим тензор пгостгххство (г„ , кхк гипвясевгл в )7„ 597 и 119) Остается показать, что построенная гиперповерхность будет гиперсферой, Предполагая, что 77„ отнесено к аффинным координатам х', перепишем первое из уравнений (11 7,7) (причем, как и в (1 17.2), берем верхний знак); рхт = Ьхххи г 6 ( Но в силу (119.2) Ь„=О.ад„,= р'КО О„, =)Тгб'„, н следовательно, т«т = — $~ Кь'х Так как р„ч = — (см. (117.8)) н й„= —, то окончательно дт' г дк' дих дих ' дт',г — дк' дх' д / т' 1 — = — 1 К вЂ”,т. е.
— = — ~ — — ~. дих дих ' ' ' дих дих(~ р ~Ц ' Это означает, что х лишь на константы отличаются от — = ; сдви- 1 ти р' К1 гая начало координат, можно добиться, чтобы 1 1 г х = — =т. (119.5) Так как т' †единичн вектор, то радиус-вектор х' имеет постоян- 1 ную длину = , а следовательно, построенная нами гиперповерхность )г к* образует кусок гиперсферы Ю„ т радиуса = с пентром в начале р'К координат, Теперь рассмотрил случай К х. О. Построим гензор ь„, = ~" — коиз (119. 6) и перепишем (119.1) в виде Йхх, за = (Ьхьдхо Ьшдха) (119.7) Г!о-прежнему тухдиа = О, (119.8) и следовательно, тензоры О,з, Ь„з удовлетворяют условиям (117,2), (117.3), причем в (117.2) берется нижний знак.
Последнее означает, что нормальный вектор ч' к гиперповерхности, в виде которой РваЛИЗУЕтСЯ Ь"„ ы бУДЕт МНИМОЕДИНИЧНЫМ, Уыт'тà — 1. ЙаЛЕЕ, 598 тензог кгивизны (гл. ~х записываем первое из уравнений (117.7) (беря теперь нижний знак): 7нт = дн$а а ~ и совершенно аналогичной выкладкой получаем: х'= = т'.
у — К (119.9) Так как э~ †мнимоединичн вектор, то радиус-вектор х' имеет но. стоянную длину = . Мы получаем кусок гиперсферы о„ , чисто р' — К' мнимого радиуса р — к Если обозначить радиус гиперсферы через р в первом и через рг во втором случае, то мы получим соответственно 1 1 К= —, К= — —,. (119.10) Несмотря на то, что для пространств постоянной кривизны мы доказали важную теорему о реализапии их на гиперсферах, мы, строго говоря, до сих пор не знаем, существуют ли такие пространства (за исключением евклидова случая К= О). Действительно, при доказательстве теоремы существование этих пространств мы иредлолазали.
Чтобы показать, что они существуют, достаточно обнаружить, что риманова метрика на всякой гнперсфере ненулевого радиуса Ю„,~)7„обладает постоянной кривизной. Отнесем вмещающее пространство Й„к аффинным координатам хг с началом в пентре гиперсферы Ю„ы Тогда радиус-вектор х~, проведенный в какую-либо точку гиперсферы о„ „ направлен по нормали к ней (9 86), а значит, отличается от нормального вектора ч (единичного или мнимо- единичного) лишь численным множителем х' = рт'. Если при атом тт — единичный вектор, то о'„, имеет ралиус р, а если мнимоединичный, то р). Выпишем первую формулу (117,7), принимая во внимание (117.8) (этн формулы имеют место для любой гипериоверхностн )т„ ,~Й„): дч' с ~ дик — ==Ед $. х4 „, дх' Так как ч'= — а с' = —, то — с 1 дх' с дх' — ' =~д„—,'.
р дик ди" 599 пгостглнстзо 1 -т как Гипегсвегк В )сп з 119) дх' В силу линейной независимости векторов — отсюда слелует, что ди' коэффициенты при них в правой и левой частях равенства совпалают, т. е. Опуская индекс о при помаши метрического тензора Охсн получаем: 1 ч- днх = — Онх. Р Вставляя полученное выражение лля Ьнх в формулы Гаусса (117,2), имеем: 1 В. е = ~ —, (Охяа — О„РО Таким образом, на о„, имеют место соотношении (119.1), гле плюс в случае радиуса р и минус в случае радиуса рг'.
Это показывает, что риманова метрика на 8„, имеет аостоянную кривизну. Итак, образцом рнмановых пространств е'„ „ постоянной кривизны можно считать неевклидовы пространства, метрика которых полностью совпадает с метрикой гиперсфер о„ с~К„. Но и любые пространства постоянной кривизны, по крайней мере, локально, обладают такой же метрикой, как было показано в зтом параграфе. Отсюда на любые пространства постоянной кривизны переносится (по крайней мере, в локальном смысле) свойство своболной подвижности, установленное в $ 87 для неевклидовых пространств; а именно, некоторую окрестность произвольной точки М данного пространства всегда можно отобразить с сохранением метрики на окрестность другой произвольной точки М' и притом так, чтобы ортонормированный репер, заланный в М, перешел в произвольно выбранный ортонормнрованный репер в М'.
Точно так же в произвольном пространстве постоянной кривизны имеет место (по крайней мере, локальна) то выражение для метрической квалратнч ной формы йв' = О„йи" йиз, которое было подсчитано в 9 87 для гиперсферы о„,. Разумеется, нужно брать ту гиперсферу, на которую данное пространство способно изометрически налагаться. В частности, отсюда следует, что пространства постоянной кри визны (по крайней мере. локально) конформно евклидовы. [гл.
!х боо тензоР НРинизны 9 !20. Проективно евклидовы пространства в метрическом случае В 9 109 были установлены необходимые и достаточные признаки для того, чтобы пространство аффинной связности без кручения с„" было проективно евклидовым, Этн признаки заключались в том, что тензор кривизны должен иметь строение (109,10): )з!1 !» 34РЫ Ь» Рхг+ Ь1 (Р!л Ры) (1 20 1 ) где тензор Р„удовлетворяет условиям (!09.17): р!Рш= рьР (120.2) Из (120.1) следует, что Рш необходимо имеет вид (109.14): лрм+)(гь (120.3) ях — ! Выпишем эти признаки в случае рнманова пространства У„(л) 2].
Как мы знаем 1(110.13)), тензор Риччи будет в этом случае симметричным: Ряс=)с (120.4) ! Р„,= — — ! )сэр (120. 5) Очевидно, Перепишем (120,1), опустив индекс д путем свертывания с у„, (и приняв во внимание Ры-— -Р,„): (120.б) И~, 0 = У„Р,Р— Ю„РЫ. Заметим, что класс пространств ь» с симметрическим тензором Риччи значительно шире класса римановых пространств )хе Это будут так называемые пространства эквиаффинной связности.
Они, вообще говоря, не обладаю~ метрикой, но тем не менее в их касательных пространствах А„можно ввести измерение объемов так, что обьем л-мерного параллелепипеда, построенного на л векторах, сохраняется лри параллельном перенесении этих векторов ло любому пути. Это свойство можно принять зэ определение пространств вквиаффннной связности; тогда условие Р ; = )с!л будет служить их необходимым и достаточным признаком. Доказательства мы не приводим. В силу симметрии тензора Риччи (120.3) принимает упрошенный вид $120] ПРОЕКТИВНО ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 601 СвеРтываи (120,6) с Кы, мы полУчаем (пеРеставив У Исе » индексы внутри каждой пары): д йы тч — — Ь]Р» — К»Р, где Р= Ри,.д, ы 1 и! или окончательно )(»=~ » 8'»Р. Заменяя здесь тс, согласно (120.5) через — (и — 1) Р»п мы получаем: пР» —— 8»Р, или Р» — — Ку», 1 где К= — Р. и Вставляя эти значения Р, в (120,6), получаем: (120.1) (120.8) %ы, »=К(ЙЯц Й!Кег)* а это в случае и ) 2 означает, что наше пространство †постоянн кривизны (8 118), В случае же и = 2 мы используем условие (120,2), которое в силу (120.7) принимает вид т»К Киг РАК'в».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
