1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Строим теперь геодезическуюповерхность, касающуюся в точке М плоскости А . С этой целью проводим геодезическую по направлению каждого вектора $4 плоскости Аа. Но тогда все я< = 0 кроме $1 и $4. Следовательно, согласно уравнениям геодезическим х<= $<з, вдоль них все х<= 0 кроме х', х', т. е. наши геолезические все лежат на координатной поверхности хт, х', с которой и совпалает построенная нами геодезическая поверхность Ы (по крайней мере в окрестности точки М ). Переходим к вычислению внутренней кривизны поверхности х',ха. й(ы будем рассматривать ее как двумерное риманово пространство, отнесенное к координатам х', х' (игнорируя остальные координаты, все время равные на ней нулю).
Мы утверждаем теперь, что х',ха будут служить рнмановыми координатами с точки зрения внутренней геометрии этой поверхности. Действительно, Поверхность образована геодезическими, уравнения которых были х< = $'а, при $4= $4 =... =$" = О. Это — геодезические, т. е, линии стационарной длины во вмещающем пространстве (г„, а следовательно, они и подавно обладают этим свойством на поверхности <Ж,. Итак, геодезические на поверхности я))а, выходящие из начала Ма, имеют уравнения: х'=а<а, Хя Еьаа где $1, $4 — постоянные вдоль каждой из них, а это н означает,. что координаты х', х' — римановы для поверхности %4 (Я 113).
Возьмем теперь линейный элемент вмещающего пространства )г„ при бесконечно малом смещении по поверхности х', х'. Так как при этом Ыха= Иха = ... = «х" = О, то от квадратичной формы 4;<ух<<(х~ в пространстве остается лишь йаа= д„<)х1 + 2дХВ<)х'йха+дяаг)ха . (! 14.2) Эта квадратичная форма и определяет, таким образом, внутреннюю геометрию на поверхности х', х'. Кривизна этой геометрии согласно (1 12.2) равна й14, !4 Ы1<Я44 — А<~4 где 014 1 — координата тензора кривизны, составленного для квад- ратичной формы (114,2). 570 [гл.
юх твнзог кгивизны Нам нужно доказать совпадение в точке Мю этой кривизны поверхности с кривизной вмещающего пространства 1'„ в направлении втой же поверхности. Так как последняя крнвизна равна « и ~ ~ л «), * р Умам з»ю »З»ю,аа = )зтю,ми Координаты х', ..., х" лля всего пространства и лт, ха для поверхности суть римановы координаты, значит, коэффипиенты связности Г»н в обеих геометриях обращаются в нуль в начале координат М .
Следовательно, формула (110А) для Я,» ю упрощается, так как отпадают члены с Г»-. Выписав эту формулу для тсхю »ю, получаем: 1 1' дюж,ю дюуюю дюуы дюу»ю '( 2 1,дх' дхю дх' дх' дхю дхю+ дх» дхю,/ ' Но если выписать эту же формулу для )сдх»ю, то результат будет буквально тот же, так как »«ы а»ю, лаю на поверхности те же самые, что и в пространстве, если вычислять их в точках поверхности; частные производные от них берутся по тем же переменным х', х'. Итак, (%»ю, »х)ю ' Жх, та)ю а вместе с тем кривизна геодезической двумерной поверхности в ее центре М дает кривизну пространства в етой точке в касательном к поверхности направлении.
й 115. Смешанные теизоры на гиперповерхиости Ъ'« , в У„ В римановом пространстве )т„ можно развить теорию гиперповерхностей (т„ „ весьма схожую с теорией поверхностей в обычном пространстве. Это объясняется тем, что поверхность в обычном пространстве есть частный случай гиперповерхности. Напротив, теория поверхностей И любого числа измерений о» имеет значительно более сложный вид; ее мы не будем касаться. Говоря о гиперповерхности )т„ ы мы подразумеваем, что она непзотропная и, следовательно, также несет на себе риманову геометрию Я 85)(в собственно римановом случае эта оговорка является излишней). Пусть )х„ , задана уравнениями ю г (ит и«- ») причем согласно нашим прежним предположениям (см. й 83) матрнпа !Н~ [дх' 11 дх' дх' [д «~~ ~ — я имеет ранг п — 1.
Линейно независимые векторы — ' ди''' ' ''ди« 8 115) смешаннык твнзогы нх гипвгповегхности 1'„, в )х„571 определяют в каждой точке М гиперповерхности Ъ'„, касзтельную гиперплоскость А„ , (лежащую в касательном пространстве А„ в ~очке М). Прямая Вы ортогональная к А„ , в А„ и проходящая ~ерез М, называется нормалью.
Нормаль не принадлежит А„ „ так как иначе А„ , была бы нзотропной гиперплоскостью вопреки нашим предположениям. Метрический тензор на гиперповерхности )х„ , имеет вид (85 12): дх' дхх (1 15.2) (греческие индексы здесь и в дальнейшем пробегают значения 1, 2, ..., и†1).
Тензору О„ отвечает инвариантная квадратичная форма О„зс(и"с(ив, которую мы будем называть первой основной квадратичной формой на гиперповерхности (хх , и которая согласно (85.13) выражает да'. дав= О,з(и', ..., и" ') г(и'с1ив. Как и в обычной теории поверхностей, нам дальше придется наряду с первой рассматривать вторую основную квадратичную форму, Подготовим теперь аппарат смешанных тензоров, которым будем пользоваться в дальнейшем. Рассмотрим систему величин дх' /1=1, 2, ..., и (115.3) (,а=!, 2...,, и — !/ дх' дх" дх' — — — т. е.
дх' ди' дх" Греческий индекс относится к гиперповерхности Ь'„ д и реагирует на преобразование координат и" на ней как ковариантный индекс: дх' дих дх' дих диы диыди'' ' ' а диы ш Индекс сг не реагирует на преобразование координат х' в Ию равно. как индекс 1 не реагирует на преобразование координат и* на. )х„ в произвольной точке М гиперповерхности У„ . Эти величины занумерованы двумя индексами. Из них латинский индекс относитси к вмещающему пространству )х„ и реагирует на преобразование координат х в нем как контравариантный индекс: ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ 572 [гл, ьх Систему величин $„мы будем называть смешанным тенэором одноконтРаваРиантным в Р'„и одноковаРиантным в Гь Соверп1енно аналогичным образом в точках )т„, могут быть определены смешанные тензоры любого строения, например, Щ . Мы будем подразумевать при такой записи, что индексы с, /, )г ведут себя как тензорные индексы при преобразовании координат х в Гь г (и не реагируют на преобразование координат и'), а индексы сс, р ведут себя как тензорные индексы при преобразовании координат и" на )'„ , (и не реагируют на преобразование х' в (т„).
«Чистыеь тензоры, например, лЦ или Лиа, мы будем рассматривать как частный случай смешанных; первый из них веде~ себя как инвариант при преобразованиях и", а второй †п преобразованиях х'. Таким образом, смешанный тензор имеет частью индексы, относящиеся к риманову пространству )т„ (латинские индексы, реагируьощие на преобразование координат х'), частью индексы, относящиеся к риманову пространству [т„ „ (греческие индексы, реагирующие на преобразование координат й'). Операции тензорной алгебры— сложение, умножение, свертывание тензоров †очевидн образол1 переносятся и на смешанные тензоры. Все рассуждения повторяются дословно, и нужно лишь учитывать, что индексы будут относиться частью к одному пространству, частью к другому.
Пусть теперь нам дано поле смешанного тензора на )т„гю например, (115.4) В таком случае при бесконечно малом смещении по (т„х мы опре- деляем абсолютный дифференциал этого тенэора по формуле ВЕЗ"=дЯЗР+ Гь ф'с(х" + Г"„„ХВ"ди" — Г'"„ЗЕ~"ди". (115.5) Для наглядности мы выписали абсолютный дифференциал тензора частного вида, ио формулу (115.5) нужно понимать з смысле общего правила: абсолютный дифференциал любого смешанного тенэора получается путом добавления к обыкновенному дифференциалу дополнительных членов, составленнык по одному для каждого индекса данного тенэора по ранее известным нам правилам.
Однако при этом члены, отвечающие греческим индексам, составляются при помощи 1'Зт (а не ГЦ, где Гзт — коэффициенты связности, вычисленньы в рил'ановом пространстве )т„т (искодя иэ метрического тенэорв 6«). Соответственно свертььвание в этик члвнак происходит с аин (а не с дх ). Очевидно, в случае «чистогоь тензора, например, Еу' или лт' мы получаем абсолютный дифференциал в прежнем смысле.' «й й 115) смешанные тензоты нл гипееповвтхности )'„, в (т„573 в первом случае вычисленный в римановом пространстве (т„, а во втором случае †римановом пространстве (т„ ,. В общем же случае, когда смешанный тензор снабжен и латинскими (относящимися к (т„) и греческими (относящимися к (т„ ,) индексами, определенное нами абсолютное дифференцирование происходит как бы частью в )т„ (по латинским индексам), частью в 1'„ „ (по греческим индексам). Нужно, конечно, убедиться, что определенный таким образом абсолютный дифференциал представляет собой тензор, Рассмотрим для этой цели сначала преобразование координат м'.
Первые два члена в правой части (115.5) представляют собой абсолютный дифференциал тензора ЕВ в )т„, если индексы а, р произвольно фиксировать, а тензорным индексом считать лишь г'. Оставшиеся члены каждый по отдельности тоже ведут себя при этих условиях как тензоры с контравариантным индексом 1, Таким образом,РЕа представляет собой (при фиксированных сг, р) одноконтравариантный тензор в )ты Теперь рассмотрим преобразование координат и' на (т„ д. Тогда, объединяя ИЕВш с последними двумя членами, мы получаем абсолютный дифференциал тензора Евш в римановом пространстве (т„ д (если считать индекс 1 произвольно фиксированным). Следовательно, при нашел1 преобразовании индексы сг, р в полученной сумме ведут себя как тензорные индексы.
Так же они ведут себя и в пропущены ном нами втором члене. Следовательно, РЕв при произвольно фиксированном 7 представляет собой тензор с точки зрения пространства )т„ гм Этим мы проверили, что Р2в — тензор того же строения, что и х.р". В точности то же рассуждение применимо и для смешанного тензора Л' ' любого строения: при преобразовзнии хг мы объединяем дЕ"' с дополнительными членами, отвечающими латинским индексам, а при преобразовании и" — с дополнительными членами, отвечающими греческим индексам. В обоих случаях обнаруживается, что Р7.' преобразуется по тензорному закону. Установленные нами правила абсолютного дифференцирования суммы, произведения, сеертпи тонзоров без труда переносятся и на смешаннгяе тензоры повторением прежних рассуждений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
