1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Очевидно, что направление самого обхода роли не играет, так как при изменении его на обратное меняется знак у всех координат хмл и кривизна, как видно из (111,13), остается прежней. Бивектор х"~ был у нас единичным, т. е. он определял единичную площадь. Можно задать плоскость и направление обхода, пользуясь для этого и не единичным бивектором агу, построенным на двух произвольных векторах этой плоскости. Мы хотим выразить через ~д кривизну К пространства (т„ в соответствующем двумерном направлении, Зля этой цели превратим $ы в единичный бивектор путем нормирования, т. е.
деления его на определяемую им площадь Я. Очевидно, что плоскость и ориентация бивектора от этого не 552 (ГЛ. 1Х тензоР кРивизны площадь же станет единичной, т. е. $// превратится изменятся, в х'/: х// =— 5// Я Подставляя это выражение в (111.13), получим: 5аь 5// Д=/Стх, О $2 Но ох †квадр площади, определяемой бивектором $//, — равен согласно (54.28) (при л/ = 2) ( У/,/, Ф,/, и, следовательно: Р, / / 5/./.Еи* К= к/~/~ Йб/2 ~ 5'А 555 йод д/,/, (111.14) Так обобщается (111.12) на случай, когда двумерное направление (и направление обхода) задано произвольным бивектором. Определитель, стоящий в знаиенателе, есть четырежды ковариантный тензор с теми же алгебраическими х/ свойствами, что и тензор кривизны.
Применим формулу (111.14) к одное см му частному случаю. Вычислим кривизну в данной точке /И по направлению координатной поверхности хх, хз (рис. 22). Векторы а,' и ах/, касательные Рнс. 22. соответственно к координатным линиям х', х, имеют координаты а = —, а/= —, или 2 / дх дх/ дх'' 2 дхх' а/1(1, О, О, ..., О), а/(О, 1, О, ..., 0). $12 ~21 Плоскость, построенная на этих векторах, и будет касательной к координатной поверхности х', х'. Составим соответствующий бивектор $ / = — (а1а/, — а/1ах/). Его координаты могут отличаться ! от нуля только при 1 и у, принимающих значения 1, 2. Так как А/1=-$22=0, то отличным от нуля остаются только 2 1!2) тзнзог кгивизны двгмагного гимлнова пгостганствл 553 Формула (111.14) для нашего случая примет вид й13,12 $ 1 4 ~$ы1ы (ны Нвя Г!ри суммированиях в правой части мы оставили только отличные от нуля члены.
Коэффициенты 4 появились потому, что возможны четыре комбинации индексов (1, = 1, га = 2 илн наоборот комбинируются с /г=1, уз=-2 или наоборот), дающие одинаковые члены. Остальные комбинации дают нуль. Окончательно: 'г йшлк К= 11ш — = о лылы — й~ (111. 15) Результаты этого параграфа можно повторить во всем существенном и для псевдориманова пространства, но только ограничиваясь нензотропными ())1„ т.
е. неизотропными двумерными направлениями в данной точке М. Не вдаваясь в особенности геометрического истолкования кривизны К в этом случае, мы будем просто считать, что К определяется формулой (111.14). й 112. Тензор кривизны в случае двумерного риманова пространства Г'а Разберем частный случай риманова пространства, именно н = 2, Внутренняя геометрия поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, определяемая первой квадратичной формой Гаусса~ даа = Е г1и '+ 2 Е ту и к(о+ 0 г(о', нредставлвет образец такой геометрии, В наших обозначениях и, о=хг, ха, Е, Е, О=у;„4га, лаз. дк' дкк дкь дк' дым дим ди и дим При суммировании в правой части отличны от нуля только тв члены, где 1 = 1, у= 2 или наоборот, иначе Йн,и = О.
Запишем суммирование по 1 и / в развернутом виде, причем вместо Я„ ы Риманов тензор кривизны в этом случае будет иметь только одну существенную координату Й„д„так как среди отличных от нуля координат все или равны этой, или отличаются от нее лишь знаком. Выясним, как преобразуется К„,„ при переходе к новой координатной системе. По общему закону преобразования для Яц,и получаем: 554 [гл, чх тензоР кРивизны пишем — 1«мььп получим: / дх' дх' дх' дх' ~ дхь дхг ~ дх~ дх" дх' дх' У ' дх' дх" Поступая аналогично с другой парой индексов )г и 1, найдем окон- чательно: дхт дх« з дх' дхг дх1 дх дх« дх« (112,1) «с те,г«. )«г'ипп«'= Итак, при преобразовании координат координата 1['„,„ умножается на квадрат якобнева определителя преобразования.
Другими словами, йх«п« является относительным инварнантом веса 2. Теперь посмотрим, как обстоит дело с кривизной в нашем случае. Так как само пространство всего двух измерений, то всякая поверх%~ ность Ы в нем совпадает с ним самим (по крайней мере в некоторой окрестности каждой своей точки), Рнс. 23.
и в каждой точке будет лишь единственная двумерная плоскость, заполняющая все «касательное пространство» в этой точке. Отсюда: кривизна пространстеа будет зависеть только от выбора тачки. Г!рнменнм формулу (111.15) к поверхности хт, х», которая совпадает в нашем случае с самим пространством У . Обозначая кривизну в данной точке через К, получим: К =- йы,ы (112.2) Ыыуы — Ы~« С алгебраической точки зрения определенное таким образом К представляет собой инвариант преобразования координат в качестве частного двух относительных инвариантов, каждый веса 2. Займемся геометрическим смыслом кривизны К. Мы замечаем, что построения предыдущего параграфа (мы по-прежнему ограничиваемся собственно римановым случаем) теперь упрощаются.
Излишне, во-первых, задавать поверхность, так как она обязательно совпадает с пространством. Излишне оговаривзть, что вектор $' берется в касательной плоскости к поверхности, так как касательная плоскость совпадает со всем евклидовым пространством Й», «касательным» в данной точке, и, следовательно, автоматически заключает любой вектор $г в этой точке. По втой же причине обнесенный вектор я' + Л$' лежит в касательной плоскости, и проектировать 2 112) танзое кгивизны двтмееного тимакова пгостгхнства 555 его на нее также излишне.
Угол <р получается непосредственно как угол поворота любого вектора, параллельно обнесенного вокруг некоторой области нашего двумерного пространства (рис. 23)«). Если о †площа этой охваченной обходом области, то согласно (111.15) К=йш ~, (112.3) где К в кривизна в той точке, куда в пределе стягивается область, охваченная обходом. Если наша двумерная риманова геометрия получена, в частности, как внутренняя геометрия поверхности в классическом смысле, то кривизна К (как будет показано в $117) совпадает с полной или гауссовой кривизной поверхности.
Это значит, что кривизна К может быть опреде- р а~! «~ лена и внешним путем. А именно, если взять внутреннюю геометрию на поверхности, которой т)! придана вполне определенная форма во вмещающем евклидовом пространстве, то гауссова кривизна К в Рис. 24. каждой точке поверхности равна произведению главных кривизн !е )е (т. е. кривизн тех двух нормальнык сечений, для которых кривизна достигает экстремума).
Если поверх- ность изгибать, т. е. деформировать, оставляя на ней неизменной внутреннюю геометрию, то гауссова кривизна К не меняется, хотя по отдельности главные кривизны 7т, и йю конечно, меняются. Рассмотрим параллельное перенесение вектора в )с по конечному замкнутому контуру. До сих пор мы рассматривали в сущности лишь бесконечно малый контур, для которого согласно (112.3) (112.4) р= Ко+ во, где е — О вместе с и- О.
Теперь, оставаясь по-прежнему в рима- новом пространстве двух измерений, рассмотрим конечный замкнутый контур обхода, являющийся границей некоторой односвязной ««) области В. Для большой простоты и наглядности продолжаем ограничиваться случаем собственно риманова пространства. 1) Прежде всего для угла поворота !р безразлично, какой вектор взят в начальной точке Л4, $т или любой другой т)' (рис. 24).
) Напомним, что углу !р мы приписываем знак плюс, если поворот вектора происходит в том же направлении, что и обход, н минус--если в обратном. '*) Это значит, что область 0 может быть обслужеиа одной координатной системой хз, кх и ограничена одним кусочно-гладким и несамопересекающнмся контуром. тензоР кРиВизны [гл. ~х где Ц и т)( — наши векторы после обхода. Далее векторы $', с(, ~)', т)( в точке М лежат в евклидовом пространстве, екасательномз в этой точке, т. е. в одной двумерной плоскости, так как у нас пространство двух измерений.
Отсюда ясно, что раз угол между $г и т)' не д1 изменился, то оба вектора повернулись на один и тот же угол, 2) Угол поворота ф не зависит от выбора начальной точки обхода А ~ на данном контуре. Это прямо следует из свойств параллельного перенесении. Параллельно переносим вектор $', начиная обход контура из точки А (рис. 25). Пусть в точку В вектор пришел с координатами й(, далее после полного обхода вернулся в А с координатами Д и, наконец, при дальнейшем перенесении вновь пришел в В с координатами Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
