1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 113
Текст из файла (страница 113)
От абсолютного дифференциала нетрудно перейти к абсолютным производным смешанного тензора по ин. дифференцируя (115.4) и (115.1), получаем: (гл. ~х тензог кгнвизны Теперь (115.5) принимает внд ддга Ртр = ( д „+ К„Ге~Яр + Г~~Ла — Г а т, ) гуин. Коэффициенты при г7ин мы будем называть абсолютнсчми производными смешанного тензора по и"; в нашем примере ду'а Р АВ = д„к+$нГЩ" +Г", 4à — Гнр4п.
(115,6) Ф Мы сопровождаем символ абсолютной производной д, звездочкой, потому что она берется по координатам и" в (т„х (а не по хь в Рь). фориулу (115.6), выписанную для частного случая, нужно понимать д2'" в смысле общего правила: обыкновенная частная производная — '" дин дополняется членами, по одному длн каждого индекса тензора х" . для греческих индексов вти члены составляются так же, как при абсолютном дифференпнрованни в )'„ д, а для латинских †к при абсолютном дифференпировании в )т„, причем в последнем случае индекс дифференпирования й свертывается с йн.
ь Из тензорного характера .ОЕВш легко следует, что абсолютная производная рнЛа" тоже представляет собой тензор, причем по сравнению с исходным тензором она обладает лишним коварнантным греческим индексом. Чтобы убедиться в атом, достаточно записать: слЕаР = дик~„ЕВш (115,7) и применить при преобразовании координат и" то же рассуждение, что и прн выводе (96.22). При преобразовании же координат хт тензорный характер тхаг позволяет нам записать; 7лгв = —.7)ла, . е. туйр,Ха =с(и" —,. т)„Лв, еа дхп ~а , ' са н дхь ' га дх' дх' а так как с7ин совершенно произвольны, то отсюда вытекает: та дх" ' а р~лв = — гр га дх' т, е. при преобразовании х' р„Лр~ тоже ведет себя как тензор (по отношению к латинским индексам).
Разумеется, все сказанное без труда переноситсн на тензор х"' любого строения. Займемся теперь альтернированным вторым абсолютным днффеРенпиалом Я 105). г)а гипеРповеРхности (т„ь зададимсв (по 91!5) смашлнныа тепзоты нл гипатповетаностт( (т„, в )г„575 образцу (105.2)) произвольной двумерной поверхностью Ы и"=-и" (сс, р), причем, как и в %105, бесконечно малым смещениям по координатной линии а отвечают символы дифференциалов д и О, а по координатной линии () †симво д и О.
Пусть на !l„ , заданы «чистые» тензорные поля У; и (Рч. Индексы у ник латинские, т. е. реагируют на преобразование координат х' в )ты Применяя формулы (105.9) и (105,14), можно записать: 000,— РРиг= В;,, и,дх'дх', (1 1 5.8) РРМ вЂ” РРМ= — )714 Еч(Р«дх'дха. (115.9) ПУсть, далее, на !т„, заданы «чистые» тензоРные поли Ре, о«. Индексы у них греческие, т. е. реагируют на преобразование координат и» на Ь'„т. Тзк как в этом случае абсолютные дифференциалы Р и Р имеют смысл абсолютных дифференциалов в рима- новом пространстве Ь'„ы то мы можем снова применить формулы (105.9), (105.!4) уже в )тн,: ,е 00р — РРо = Кй „' ар«дик дин РРу«РР «(7 «ут дил дин (1 15.
10) (115.11) Здесь через )с! „ 'в обозначен тензор кривизны пространства (т„ Если теперь на )т„ , задать поле произвольного смешанного тензора, например, х.';, то для него мы получаем: 002~ — РРХ'; "= — Я)й ''Х~~~ дх'дх + + й(»,;"Е» дх'дх' — )7»,, ',Л ди" аи .
(115.12) Эту формулу нужно понииать в смысле общего прзвила: альтернированный в~арой абсолютный дифференииая смешанного тензора выражается суммой членов, составленных по одному длл каждого из его индексов: для латинских — по схеме (115.8) или (115.9) (в зависимости от ко- или контравариантного характера индекса), для греческих — ло схеме (115.10) или (! !5.11). Остальные индексы переписываются каждый раз без изменения. Вывод этой формулы совершается по образцу 9 !05, а именно, заданный смешанный тензор, например, Ла, превращаем (аналогично (105.15)) в инвариант У путем свертывания с произвольными одновалентными тензорными полямн: 7=- Уа о,р„г!г.
576 тензоР кРиВизны (гл. ~х Здесь оо р,, дз — произвольные тензорные поля на (тк ,. Повторяя дальнейший вывод 8 105 и пользуясь формулами (1!5.8)— (115.11), приходим к (115.12). Наконец, нам нужно получить еще формулы для ояьтернироввнной второй абсолютной производной смешанного тензора. Здесь мы будем поступать по образцу 2 108 †выв формулы (108.14) (разумеется, Гьц и Гатд как коэффициенты связности в рнмановых пространствах удовлетворяют условию (108.!) †симметр по нижним индексам). Прежде всего запксываем (115.7) для произвольного смешанного тензора Х .
гтХ ' — йпк11 Действуем почлеино посредством О: йПХ",. = Оии~р. Х' ,'. +йвкдих 7„рхХ-;. (115.13) Во втором члене 7ттк Х заменено на основании той же формулы (11 5.7). Так как 77йпк — ййпх ). 1 х дппйпт рйпх =даик -)- Гхх„г)икди' то совершенно аналогично (108.11) получаем: 7)дик = ОЙих.
(115.14) Теперь в (115.13) меняем местами символы 1) и с) (и соответственно д и Й) н результат почленно вычитаем. Учитывая 1115.14), получаем: МЮХ вЂ” гзттХ =дик «в рг ЧхХ.. дик йи~!7трхХ ' = =дпк й 1Я.ЧНХ... — ах!) Х...) (1!5.15) Последнее выражение получено за счет перестановки обозначений н и Л в вычитаемом. Применим полученный результат к тензору Х)". Подставим в (115.12) йх = — „йп =$ьйи, дл = —,, йих =$хйих. дх'-т ~-т а дха х ь дй дих Приравнивая затем правые части (115.15) и (115.12) и учитывая, что равенство имеет место при любых йи', йпх, получим: га ' ' ~а Ртр Х вЂ” ЧКРД гС)а,рХ! Ь$х+77и,'1.Хр Ь$х — Ййх,к Хг, (!15.!6) твогия гипагповегхностяй Ув в У„ $ 116) т.
е. соответствующие коэффициенты при с(и", ь(и" тоже должны быть равны. Полученную формулу нужно понимать как правило составления альгернированной второй абсолютной производной от произвольного смешанного гензора. А именно, каждому латинскому индексу тензора в правой части отвечает член, составленный но схеме (!08,14) в случае нижнего и по схеме (108.16) в случае верхнего индекса, причем индексы дифференцирования подвергал ются еще свертывзнию с Ся$Ы 7т7нЛ~ — 7ч 7.,2 = — ))!!.р 2~Ь.йн, ) (115,17) 7~7~У~ — 7~ 7~Я~ = Йй,~~ЯД~ ~~. Каждому греческому индексу отвечает член, составленный тоже но схеме (108.14) или (!08,16), но уже в применении к риманову пространству У„ ,. Это отражается в записи заменой латинских индексов греческими, а также тем, что тензор кривизны, взятый в У„ х, отмечается звездочкой: 7х 7 2" — 7 7хЕ" = — !сяй, а~У", 1 (115.18) 7,7.лз — 7.7,гз= а,„,,"г„.
Мы выписали формулы для одновалентных тензоров. Правило (115.16) означает, что для каждого индекса смешанного тензора нужно составить в правой части член по одной из схем (115.!7), (115.18), причем остальные индексы тензора переписываются каждый раз без изменения. Все сделанное нами в этом параграфе для гиперповерхностей У„ , без изменений переносится на поверхности У любого числа измерений. Мы ограничились гиперповерхностямн, так как намерены заниматься именно их дифференциальной геометрией. й 116. Теория гиперповерхностей У„ , в Ув Сохранна предположения н обозначения $ 115, применим развитый там аппарат смешанных тензоров к дифференциальной геометрии гиперповерхностей У„ В каждой точке А4 гиперповерхности У„ , построим репер, состоящий из п векторов: (1! 6.
1) где Ц, ..., $'„, — линейно независимые касательные векторы (115,3), а вектор ч' — единичный (или мнимоединичный) нормальный вектор. Этот вектор линейно независим от векторов й(, !9 п. к, н шьвсяна (гл. ~х твнзог кгивизны так как в противном случае нормаль т' лежала бы в касательной гиперплоскости А„ „ что исключено (см. начало й 1 15).
Таким образом, векторы (116.1) действительно образуют репер, который мы будем называть солроаолсдаюп(им репером гиперповерхностн. Сопровождающий репер зависит, конечно, от выбора координат и" на )г„ Для изучения гиперповерхности У„т важно проследить, как меняется сопровождающий репер от точки к точке. Мы сделаем это при бесконечно малом смещении данной точки тИ по 1/„ „ т.
е. будем дифференцировать величины $а, тг и притом в следуюс щей инвариантной форме. Вычислим прежде всего абсолютную производную от смешанного тензора ф„' (по схеме (115.6)): °, д$,'„ 7а$а= +ЬГьр $а (вам диа д5'„дал' Г 'н Так как — = —, а Гаю Га„симметричны по нижним индеклла лик ляа сам, то, очевидно, 7зйа= 7айа. (116.2) При фиксированных а, () 7 $„ представляет собой одноконтравариантный тензор, т. е. вектор в Ь'„. Мы утверждаем, что этот вектор ортогонален ко всем векторам ~а, т. е. направлен по нормали к )г„ д. В самом деле, согласно (115.2) Р а=$ч$~8гу.
(116. 3) Вычисляя почленно абсолютный дифференциал, получим: Рв.а = (РК ) фд;, + й'(Рйр) й + ~'ЯаРд, Так как Рб,а совпадает с абсолютным дифференциалом в а Рд, — с абсолютным дифференциалом в г'„, то оба они равны нулю (как абсолютные дифференциалы от метрических тензоров). Заменяя Яа через ЧДа с(и" и учитывая, что ди" произвольны, получаем: (7ч $а ) Мйгу+ (7н Я) йады= О. Присоединим сюда еще два соотношения, полученных из этого круговой подстановкой индексов: (7а 1а) 1йКгт + (7а 1й) ИВй~ = 6 (7в $~ ) йч~гг( + (7а Ыд $~ ~ы =(). 579 ТЕОРИЯ ГЯПЕРПОВЕРХНОСТЕй 1'„ 1 В 1'ь й 116) Учитывая (116.2), мы замечаем, что здесь приравниваются нулю три попарные суммы трех величин, а следовательно, каждая из этих величин равна нулю: ( 7в Ьа) ануй = О.
) Итак, вектоР 7, $в оРтогонален ко всем вектоРам $и и напРавлен по нормали к 1'„ ,. Мы можем записать, таким образом, 7.ф=д.з '. (116.4) Коэффициенты Ь а образуют дважды ковариантный тензор на Р„ы так как при преобразовании координат и" индексы а, () в левой части равенства ведут себя как ковариантные тензорные индексы. Кроме того, в силу (116.2) д„а = д, Тензор Ььа мы будем называть вторсчм основным тензором гиперповеркности (т„, (считая первым метрический тензор ст в), а отвечающую ему инвариантную квадратичную форму дьз йи'йиа— второй основной квадратичной формой на (т Итак, мы выразили при помощи тензора Ьпе абсолютные производные 7,Ц; выразим теперь 7кч'. Для этой цели запишем ортогональность т' к любому касательному вектору й,', еыэ $„= О, ! (1 16.5) Беря почленно абсолютную производную 7„и учитывая, что 7 лб — — 0 (так как сту; = 7„у1,.йи" =О), получим: И,(7 ю') К+аымт7 А'=О Заменяя 7„$вт согласно (116.4) и учитывая, что вектор ч' единичный илн мннмоединичный, т.
е. (116.6) получаем: Уст(7 т') Е = -Р Ьи / (116.7) (во всех дальнейших выкладках верхний знак будет соответствовать единичному, а нижний — мнимоединичному вектору те). Дифференцируя аналогичным образом (116.6), получаем: Р„7к 9' Н+ У,ут'7ктт=О, 1эь 580 [гл. (х ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ а так как оба члена левой части равны между собой, то окончательно: (116.8) Это показывает, что вектор 7хч( (где н фиксировано) ортогонален к вектору т', расположен в касательной гиперплоскостн и может быть разложен по векторам Д, ..., Ц,,: ч 7~я =сняв.
(116.9) Здесь сх — некоторые козффициенты, которые нетрудно подсчитать, Вставляя зто разложение в (116.7) н пользуясь (116.8), получаем: ч Оачсх = ~ Ьха, или, что то же, е ч сх = -(-Ьх, где Ь„получается из Ьхч поднятием индекса а при помощи метрие ческого тензора Оча на Р„(. Теперь (116.9) принимает окончательный вид (116.10) 7хч = ~Ьх еха. Присоединим сюда и формулы (116.4): 7хза = Ьхвчт. (116.11) формулы (116.10), (116.11) называются деривационными формулами теории гиперповерхностей; они выражают абсолютные про( г изводные от тензоров сч, т через сами зти тензоры, или, говоря геометрически, характеризуют в бесконечно малом изменение векторов сопровождающего репера, отнесенное к самому этому реперу, Мы можем вывести теперь весьма важные соотношения, свявывающие первую и вторую квадратичные формы на гиперповерхности, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
