1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 108
Текст из файла (страница 108)
(1! 0.14) й 111. Кривизна рнманова пространства в данной точке и данном двумерном направлении !ч!ы вернемся к построению э 107, выполненному в произвольном Е,. Полученный результат, а именно формула (107.30), верен, в частности, и в римановом пространстве: Лу' )7„',к Д'х ~о. (111.1) Однако теперь эта формула может оыть уточнена: в то время как «площальа о в Е„не имела инвариантного смысла и вводилась условно, в (г„можйо будет понимать под о настоящую площадь, охваченную рассматриваемым контуром на поверхности 9))х Одновременно уточнится и выбор направляющего бивектора х ~: он станет единичным бивектором.
Чтобы избежать оговорок о неизотропном характере поверхности 'я))я, мы лредположим сначала, что «'„— собственно риманово пространство. Тогдз поверхность И,— всегда неизотропная и несет на себе тоже собственно рнманову геометрию. В й 107 мы согласовали нумерапию координат и', и' на 'я)), с направлением обхода контура. Слециализируем эти координаты еи(е 8 111) кгивизнл тимлновл пгостелнствл в длиной точке 547 и в том отношении, чтобы ллои(ади на % выражались интегралами о = ~ ~ ди'диа, о (11 !.2) т. е. по внешности так же, как на обычной плоскости в прямоугольных координатах.
Это нетрудно сделать. В самом деле, площади на 8)1, можно вычислять по формуле (88.9): о = ~ ') TО г!игг!и', о причем 0= Ре!)О„а)= О„Оз,— О,', ) О. где 0„1 †метрическ тензор на поверхности % , Чтобы зта формула приняла вид (1!1.2) достаточно добиться тождественного обращения р' 0 в единицу, что можно сделать за счет преобразования координат и', ит на поверхности. Обозначим через и', и' искомые координаты на поверхности. Тогда согласно (88,7) ) О. Пусть и', и' связаны с и', иа уравнениями и'=<р(и', и'), из=и', где гр(и', и') †по неопределенная функция.
Тогда р'О= ди' д' " Π— "'!',р'О, (111.3) Теперь выберем функцию гр(и', и') гр (и', и') = ~ ф' 0(и', и') г)и', дгр В тзком случае †, = р'0 и, следовательно, из (111.3) получаем: В дальнейшем переходим к координатам и', и', причем обозначаем их просто и', и'. Итак, теперь )'0 =1 (! 11,4) !з* ди' ди' ди' диа даа ди' дйа ди' твнзое ктивизны (гл. ~х и площади выражаются формулой (111.2).
Далее, в координатах и', их бивектор (111. 5) будет единичным. Это значит, что отвечающая ему площадь, а имендх' дх' но площадь параллелограмма, построенного на векторах— ! ди1 1 диь ' будет равна единице (напомним, что касательное пространство в данной точке д(, в котором расположены эти векторы, будет теперь евклидовым пространством 77„). В самом деле, согласно (85,12) 0„ дх' дх' представляют собой скалярные произведения векторов — „, — (сейди" ' дит час у нас а, р = 1, 2), а следовательно, площадь нашего параллелограмма выразится формулой Ж'= Р' Ре() О„е ! = )' й. Эта формула относится в сущности к обычной геометрии (и даже планиметрии) и легко может быть получена из обычной векторной алгебры. Нроме того, она получается как частный случай при от=2 из (54.30).
Сравнивая с (111,4), убеждаемся, что %'= 1. Вернемся к формуле (111.1), Так как величина о в ней определялась по формуле (111.2), а бивектор х"ь — по формуле (111.5), то теперь о выражает площадь, охваченную контуром на поверхности Вйь, а бивектор х, определяющий двумерное касательное направление к 9Их и направление обхода контура, является единичным. Заметим, что двумерным направлением, определенным выбором ориентации и величиной площади (в данном случае равной единице), простой бивектор х " вполне определяется (см. $37, геометрическая характеристика простого поливектора). Позтому в окончательном итоге мы можем забыть о специальном выборе координат иг, их на % и рассматривать уклонение Лй' параллельно обнесенного вектора просто в зависимости от первоначального вектора $', от единичного бивектоРа хм~, отвечающего двУмеРномУ касательномУ к Ит напРавлению и ориентированного по направлению обхода контура, и ог охваченной контуром площади о на поверхности.
Прв этом вектор Ьяг (в своей главной части) меняется пропорционально площади о. В римановом пространстве мы всегда будем понимать формулу (111.1) в этом смысле. Опираясь на формулу (111.1), можно ввести понятие кривизны риманова пространства в данной точке и данном двумерном направлении. $ 1!1) кгиаизна гимановл пгостглнства в данной точке 549 Рассмотрим прежнее построение с той лишь разницей, что исходный вектор $ возьмем единичным и лежащим в касательной плоскости к поверхности %2 в точке М (рис. 21). В результате обхода мы вернемся в точку М с вектором $ + Л$, который, вообще говоря, уже не будет лежать в касательной плоскости. Спроектируем $'+Л$' на касательную плоскость; пусть проекция будет $'+ Лтй'1 зто — вектор, лежащий в касательной плоскости и отличающийся от вектора $'+яг на перпендикулярную к касательной плоскости составляющую Лайг.
Итак: 5~ -~- Л$'= 5~+ ЛД~+ Л2$'. (111.6) Обозначим через гр угол поворота от к $~+ Лтя~. Углу мы припишем знак плюс, если поворот идет в том же направлении (принятом за положительное), что и обход по контуру, и знзк минус, †ес в обратном направлении. Построим единичный вектор 11', Рнс. 2!. лежащий в касательной плоскости и повернутый на прямой угол в положительном направлении .по отношению к вектору $' (рис. 21). 'Построим на единичных векторах йг, т)г бивектор, который по общему правилу будет иметь вид '~/ 57 х 2 Бивектор этот характеризует нам единицу площади (так как $', т) 1 единичные и взаимно перпендикулярные), лежащую в касательной плоскости, и направление вращения от $' к т)', т. е.
совпадающее с направлением обхода контура. Другими словами, х" совпадает с бивектором хг1, фигурирующим в формуле (11!.1): "'= -' 6'ч' — $'ч') 2 (11! 7) Приступим к вычислению угла ~. Выкладку ведем, пренебрегая в Л$' и ЛДг.бесконечно малыми высшего порядка относительно и.
Покажем прежде всего, что Лтйг ! Сг. Из (111,6) мы получаем: Ль Л1ь +Л2ь ' (1 11.8) Очевидно, Лай', будучи ортогонален к касательной плоскости, ортогонален по самому определению и к любому лежащему в ней вектору, в частности, к $'. Остается показать, что Л$1 тоже ортогонален к 550 тензог кгивнзны [гл. ~х Составим скалярное произведение Лцг и в', пользуясь формулой (111.1): 1;гДтЛ$'жд,;5'[(' 1,,' х"'й'а= И ю, х '~'$'о=0, Действительно, координаты гс „- антисимметричны по индексам ! и у и, следовательно, нри свертйвании с й'С, симметричными по тем же индексам, дают нуль.
Чтобы убедиться в этом, поменяем обозначение индексов суммирования ! и /. С одной стороны, сумма от этого не меняется, с другой стороны, она изменит знак, так как не изменится, а Ямы, изменит знак. Это возможно лишь в случае равенства нулю. Итак, ЛД' и Яг[ $', значит, ЛД' тоже перпендикулярен к В'. Но так как ЛД~ лежит в касательной плоскости, то он будет коллинеарен с единичным вектором т)', именно, равен т)г1~ гр, как легко видеть из прямоугольного треугольника с катетом †вектор $' и гнпотенузой †вектор йг + ЛД'. Отсюда скалярное произведение единичного вектора т)г на коллинеарный с ним ЛД' будет равно !игр (учитывая и знак): 1~Ч к' Л ьт)~. Равенство не нарушится, если мы заменим здесь ЛД' через Л$', т.
е. добавим к ЛД' вектор ЛД', ортогональный к касательной плоскости и дающий потому нуль в скалярном произведении с цг. Итак, 1К р = а,ЛГ )'. Мы видим, что (игр вместе с Л$' является бесконечно малым порядка и; пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, можно заменить !игр через гр, а вместо Л$' подставить его выражение из (111.! ). Получаем: гр ж к,гл)!й '„', г' $'хм"и или, суммируя по 1: гр=!т „,,ух '$гт)гп.
(1 1 !.9) Перепишем то же самое, изменив обозначения индексов суммирования: ! на у и у на Л <р я ю,,хмьсут)гп )[ х™0тт!и Складывая с (111.9) и деля на 2, получим: гр-гг х ' с"' с~" и гр ж „,ых 2 и, принимая во внимание (1 11 г), пишем окончательно: (111.10) $ 111) ктивизнл тимлновл птосттлнствл в длиной точка 551 Можно заменить здесь приближенное равенство точным, явно записав ошибку, которая аналогично (107.31) будет вида еоц гР )т',г х лх'~о+еа, где в О при стягивании контура в точку М. Отсюда следует ~Р ма о — =77„»,сух х +в, а значит (1 !1.12) Уясним смысл этой формулы.
Со стороны алгебраической в правой части мы имеем инвариант как результат свертывания двух тождественных бивекторов х"", х'«, одного с первой парой индексов тензора кривизны, другого — со второй парой. При этом геометрически х " зависит лишь от направления двумерной касательной плоскости к поверхности »Я» и направлении обхода в ней, а гс л, †ли от точки тИ. Этими данными вполне определяется, как показывает левая часть (111.12), значение угла поворота ~р, приходвцееся на единицу охваченной обходом 'площади, взятое в пределе для бесконечно малого обхода. При этом «угол поворота» ~р есть угол между исходным вектором $', взятым в касательной плоскости, и проекцией с' + ЬД' обнесенного вектора 5' + Ья' на эту плоскость, Величина К= Иш ~ = й ю,ух лх'т о (11!.13) называетсл кривизной риманова пространства )т„ в данной точке М и в данном двумерном направлении (характеризуемом единичным бивектором х л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
