1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Итак: дГ (101.28) где (101.29) Простой бивектор х"а представляет собой косое произведение векторов дх' г дх' а(П д г, аы) = дну Эти векторы заданы в касательном пространстве А„в точке М и определяют касательную к 8ИЗ плоскость А, (играя роль векторов (83.11) для поверхности %,). Поэтому их косое произведение х"а характеризует двумерное направление касательной плоскости Ая и, обратно, определяется этим двумерным направлением с точностью до численного множителя (направляющий бивектор двумерной плоскости; 9 34).
Кроме того, бивектор л'"а определяет в плоскости Аа ориентацию репера, образованного векторами а'~,н а<ю. Ориентацию в двумерной плоскости Я 36) можно наглядно представлять себе как направление вращения по кратчайшему пути от первого ко второму вектору репера в данном случае от а<п к а<,п Поскольку векторы а~,п а~ю направлены по координатным линиям и', ив в положительных направлениях, то в силу нашего соглашения это будет направление обхода контура.
107! геомвтгичвский смысл тензоек кеивизны (окончание) 629 Таким образом, бивектор х характеризует и двумерное направмь ление касательной плоскости А в А„, и направление обхода контура. В скобке в (107.28) стоит как бы «кусок тензора кривизны», Однако на самом деле в полученном результате тензор кривизны присутствует полностью, что легко обнаружить, если учесть косо- симметрический характер бивектора х ь.
А именно, перепишем наше равенство, поменяв между собой обозначения индексов суммирования ши ум Ь$' = ( — — '"'+Г',Г'~ 5«2хь"и. дхь Сложим полученные равенства и разделим их почленно на 2. Кроме того, во втором из них заменяем х на — х . Мы приходим к слега ть дующему результату: дГ Сравнивая с (105.8), мы замечаем, что в скобке стоит тензор кри- визны тс' ь, 1'. Окончательно получаем: Ь|' = й; ь, щ'х"ьп.
(107.30) Итак, вектор ~', параллельяо обнесенный по бесконечно малому контуру, лежащему на какой-либо двумерной поверхности и стягивающемися в точку М, уклоняется от своего первоначального значения $~ на вектор Л$~. Этот вектор в своей главной части билинейно зависит от первоначального вектора $' и от простого бивектора х"ь, характеризующего двумерное направление поверхности в точке М, а также направление обхода кон~ура и убывает пропорционально «площади» о, охваченной контуром на поверхности. Коэффициентами этой билинейной зависимости (от я' и х ) служат координаты тенвора кривизны в точке М. Главная часть вектора Ь$г берется в том смысле, что мы пренебрегаем слагаемыми, бесконечно малыми высшего порядка сравнительно с о, и сохраняем лишь члены, пропорциональные а.
В связи с этим приближенное равенство (107.30) всегда можно записать и в форме точного равенства Тз$'=77, 1;х"ьй'о+еЪ, (107.31) где е' стремится к нулю вместе с и. В случае пространства Е„с абсояютным параллелизмом параллельноо обнесенный вектор не испытывает отклонения, и Л$' = О, Это 530 (гл. ~х тензог к| нвизны соответствует обращению в нуль тензора кривизны в правой части равенства. Чем больше отличаются координаты тензора кривизны от нулевых значений, тем резче отклоняется параллельно обнесенный вектор $' + Л$' от первоначального вектора йг при прочих равных условиях.
В этом смысле тензор кривизны характеризует в геометрии данного Е степень нарушения абсолютного параллелизма. ь мь Необходимо заметить еще, что разделение множителей х и о в полученной формуле является условным и зависит от выбора координат и', иэ на поверхности. При переходе к другим координатам и', и' на той же поверхности бивектор приобретает некоторый численный множитель, причем еплощадь» на этот множитель делится (если пренебречь изменениями, бесконечно малыми высшего порядка относительно о). Инвариантным образованием является по существу лишь бесконечно малый простой бивектор пх ". Впоследствии в случае риманова пространства Рп мы сможем употребить в качестве множителя и настоящую площадь, охватываемую контуром, а в качестве х"ь единичный простой бивектор.
Тогда разделение множителей х ь и и приобретает инвариантный смысл. й 108. Тензор кривизны в Е„ 8 этом параграфе и далее до конца книги мы будем рассматривать исключительно пространства аффинной связности без кручения Е'„, т. е. будем считать Г'и = Г;г (108. 1) Разумеется, все сделанное выше в пространстве Е„остается верным, в частности, и а Еь„, Но тензор кривизны приобретает в этом случае и новые свойства, которыми мы и займемси.
Напомним прежде всего результат, полученный в копне й 106, ко~орый можно формулировать так: Для того чтобы пространство Еь„бегло (локально) аффинным, необходимо и достаточно тождественное обращение в нуль его тензора кривизны, Действительно, в Е'„' тензор кручения Юьб равен нулю, и если, кроме того, )чьй р' — — О, то согласно э 106 мы ймеем (локально) аффинное пространство. Обратно, аффинное (или хотя бы локально аффинное) пространство представляет собой частный случай Ц, причем его тензор кривизны тождественно равен нулю. тензоР кРиВизны В ь» а з 108] Далее выведем некоторые формальные свойства тензора кривизны в Ц, отсутствующие в общем случае.
1', Тождество Риччи. Перепишем формулу (105,12): (108,2) тсй, г». = А» „.— А»»н где А»»г = + ] гр] » дГ»»» р (108.3) По теперь в силу (108.1) А', »; симметрично по индексам к, ю' А»»»» —— А»~ ы. (108. 4] Подвергнем 1»;» ;'» ииклироеанию по нижни»1 индексам, т. е. произведем над этими индексами круговую подстановку, потом еще раз круговую подстановку, и полученные тензоры сложим с )с]»,,:». Мы утвер»кдаем, что в итоге получится нуль: Й»», ~» +)ч»1,)»+ Й)1,»» = 0 (108, 5) В самом деле, в результате круговых подстановок индексов равенство (108.2) принимает вид: гс»; 1» = А»» — А' Тс;.(»» = А»б;» — А», .
Складывая (108.2) с двумя последними равенствами почленно и принимая во внимание (108.4), мы замечаем, что в правой части каждое вычитаемое взаимно уничтожится с уменьшаемым из следующего по порядку равенства (порядок считаем круговым, так что за последним равенством следует (108.2)). Этим и доказывается соотношение (108.5) — тождество Риччи. 2', Тождество Бианки — Падоеа.
Для абсолютных производных тензора кривизны Т~„Я»),)» имеет место следующее тождество: )у.д1),, +)ур;., +др,,; =0. (108.6) Другими словами, ииклироеакие по индексу дифференцирования «г и первым двум индексам тензора кривизны в, 1 всегда дает нуль. Для упрощения доказательства перейдем к координатам кг, геодезическим в рассматриваемой точке, т. е. к таким, что в рассматриваемой точке Г»и=0. (108. 7) В случае Е» это всегда можно сделать (з 91).
Тогда в рассматриваемой точке абсолютные производные от любого тензора совпадают тензоР кРиВизны 532 [гл. <х с обыкновенными частными производными, так как дополнительные члены, содержащие Г»0 обращаются в нуль. В частности, д,, д, д 1т )с»[ <У = — Гс»[ <У = — А< „,— — А», о (!08.8) где последнее выражение получено с помощью (108.2). При этом, как легко получить, дифференцируя (108.3) почленно, Ае д п д»Г»< дх'дх<х Мы отбросили здесь результат дифференцирования членов с произведениями Г, так как он равен нулю.
В самом деле, после дифференцирования в каждом члене остается непродифференцированный множитель Г, который обращает произведение в нуль. Теперь (108.8) можно переписать в аиде д»Г»» д»Гт»< 7н)С»[, <Р = —— дх' дхх< дх" дхм Циклируя по индексам лт, я, <, легко убеждаемся в справедливости соотношения (108.6) — тождества Бианки — )<адова.
Правда, оно выведено нами в специальной координатной системе †геодезическ в рассматриваемой точке. Но в силу своего тензорного характера оно будет справелливо и в любой координатной системе (если тензор равен нулю в одной координатной системе, то из тензорного закона преобразования следует его равенство нулю и в любой координатной системе). 3'. Аяьтернированная вторая абсолютная производная. Вернемся к формуле (105,9), в которой впервые появился у нас тензор кривизны: Ьсти, — Г»Юи»= Гс<»;~и дх' дх».
(108. 9) Мы хотим детальнее расшифровать эту формулу, выразив абсолютные днфференщ<алы через абсолютные производные. При этом мы сохраняем предположения з 105, а именно, т) и Гт оста<отея символами абсолютных дифференпиалов, а д и д — символамн частных дифференциалов по параметрам а и [) на произвольной поверхности Э)[т В частностн, дх' < дхтдх = — д~, дх = — др. (108,10) твнзог кгияизны В Ед 533 8 1081 дх' дх' Очевидно, —, — представляют собой одноконтравариантные тенда' др верные поля, заданные на нашей поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
