1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 107
Текст из файла (страница 107)
(109.21) Заметим, что при этом тензор Р; необходимо выражается через тензор кривизны формулой (109.14): (109.22) н» Мы уже отмечали, что при и = 2 условие (109.20) выполняется для любого тензора кривизны, так что необходим»ям и достаточным признаком остается лишь условие (109,21). Наоборот, нри п)2 достаточно ограничиться условием (109.20), так как условие (!09.21) является его следствием. Чтобы показать это, используем тождество Бианки †Папа: Чмй)». т ~~ЙЫЗ). + у»»СЕ,'С = О.
(109.23) Три слагаемых получаются последовательно одно из другого круговой подстановкой индексов пт, 1, к. Подставляя сюда вместо тензора кривизны его выражение (109.20), мы получаем (если еще ум! ! нажить левую часть на — ): 6)' б:,» чмР~!»+ б 7ььР~»! = О. (109.24) В этом нетрудно убедиться, если фактически выполнить указанные здесь альтернации по вндексам т, й, 1. Свернем левую часть э 110] тензог кгизизны В Рим»новом пгостглнстне 1' 54! (109.24) по индексам д, (, Получим: Б(»ц,»Р(1(+ 6';т(ргР(»( =- О.
Первый член лает т]н»Р(»п второй пт(( Ры( (так как 6, и), такчто ( з результате 7(т (ю Теперь (109.24) принимает упрощенный вид 6»„т(„РО, = О. Возьмем индексы (г, и(, 1 различными. Это возможно, так как п>2. Положим ()=и. Тогда 6»= 1, 6» = 6(»=0, и в результате альтер- ! 1, нации получаем (опуская коэффициент — ): 6)' Ч ы 7( Мы действительно вывели условие (109.2!) из условия (109.20). В произвольном Е» можно составить тензор который называется твнзором проективной кривизны.
Его обращение в нуль, равносильное условию (109.20), необходимо и достаточно, слеловательно, для того, чтобы 6„ '(при п)2) было проектнвно евклидовым. Отметим, что при геодезическом преобразовании связности в любом 1.»' Г»; — Г»(;+ Р(6( + Р,Б» с любым тензорным полем Р( тенэор проективной кривизны остается инвариантным. й 11О. Теизор кривизны в римаиовом пространстве )т„ Начиная с этого параграфа и до конца книги, мы будем рассматривать только римановы пространства (исключенне составляет лишь часть 2 113).
Как мы знаем, каждое риманово пространство снабжено определенной связностью без кручения (риманова связность). Под ГН = Гр мы будем понимать коэффициенты этой связ»» ности. Все сказанное выше о тензоре кривизны в пространствах аффинной связности 6„и, в частности, в пространствах 6„' (2 108) применимо, таким образом, и к риманозой связности. Соответствующий тензор кривизны (с(»;» мы будем называть тензором кривиэнь( риманвва пространства. При этом тензор кривизны риманова 542 (гл. Рх ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ пространнее обладает рядом важных свойств, которые не имею~ места в Ц (и тем более в Е„общего вида).
Чтобы обнаружить зти свойства, мы рассмотрим ковариантный тензор кривизн»0 опустив верхний индекс при помощи метрического тензора: Йи, гт = Йи, ~.д»т. (11О.1) Этот тензор отличается высокой симметрией своего строения. Чтобы раскрыть ее, мы вычислим его координаты. Вставляя вместо й)х,,'» выражение (!05.8), получаем: (110.2) где символ Р», 11 означает требование произвести альтернацию по индексам х, 1 без деления на 2. Выражение в скобках, если фиксировать индексы 1, 1 и обозначить Г»,=Г», формально имеет вид абсолютной производной р Г»; наружный множитель е вызывает опускание верхнего индекса ~у, которое можно выполнйть и под знаком абсолютного дифференцирования (см.
(98.8)), так что получится т)Г= — — Г.Г. аг, дхх После возвращения на место индексов 1, ( получаем: lдру и дхь где, согласно (94.5), (94.8), 1 тдяд д»д дяпт Г.„, =д .Г;, = — ~ —. + — — — ). (110.3) 2 ~ дх' дхг дхт) Конечно, фактически Г» не является тензором, однако проведенная выкладка законна, так как в каждой данной координатной системе можно рассмотреть и тензор с координатами Г» в атой системе.
Вставляя (110.3) в предыдущую формулу и выполняя альтернацию, получаем окончательно: 1 т д'яы д'яп д»льт д'яы ~ 2 ~ дххдхг дхьдхт дх~дхг дх'дхт/ +а (Г ГГ» — ГЫГВ. (110 4) Обратим внимание на закон составлении первой скобки. Дифференцируем координату метрического тензора а",~, взятую с индексами, крайними у Йы г по х, х', где А, 1 — средние индексы Яг ф 110] тензог ктивизны в гимлновом пгостглнствв рн 543 Получаем: отуы дхьдх' ' альтеРниРУем по пеРвой паРе индексов У Я,ь,р т. е. по 1, 7г; полученный результат альтернируем по второй паре индексов у 77. т. е.
по 1, 7', и получаем первую скобку в (110.4). Можно было бы альтернировать сначала по второй паре индексов, а потом по первой; результат от этого не меняется. Вторая скобка в (1 10.4) получается после альтернирования по индексам первой пары 1, и или по индексам второй пары 1, / выражения йге Гпигеы, в котором на один множитель Г перешли индексы, крайние у 77. а на другой — средние. Отсюда ясно, что первая и вторая пары индексов у 77пп г играют совершенно симметричную роль, так что (110. 5) )знп гт=%гм ы.
Ковариантный тензор кривизны не меняется при перестановке между собой первой и второй пар индексов (при сохранении порядка индексов внутри каждой пары). Разумеется, это правило легко проверить и непосредственным подсчетом, пользуясь формулой (110.4). Далее, отсгода следует, что тензор кривизны кососимметричен по индексам второй пары так же, как и по индексам первой пары.
В самом деле, еще при первом своем появлении в произвольном Е„ тензор кривизны обладал косой симметрией по индексам первой пары 77)ь', с =- — )ть], ]'.. При опускании индекса о зто свойство, очевидно, сохраняется: (110.6) )тнм гу= )ты, гр Переставляя теперь между собой индексы )г и 7 в равенстве (110.5), мы замечаем, что левая часть равенства меняет знак, а следовательно, меняет знак и правая часть. Но лля правой части равенства перестановка происходит во второй паре индексов, так что мы получаем: РИ, ы= 77гзч ьс. (110,7) Итак, ковариантный тензор кривизны кососимметринен как по индексам первой пары, так и по индексам второй пары. 544 [гл.
~х ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ В произвольном Е„ь и, в частности, в )т„ тензор кривизны удовлетворяет тождеству Риччи (ф 108) ИЙ, 1".+ К~с !', + йй, «.'= 0 Опустив индекс о, мы получаем тождество Риччи для ковориантного тензора кривизны [т'„, г +Я„,, +Яи,, =0. (110.8) Здесь циклирование происходит по первым трем индексам. Однако тождество остается верным, если производить Чиклирование ао любым трем индексам коеариантного тензора кривизны.
В самом деле, какие бы три индекса в тсг«,г ни выбрать, всегда можно добиться, пользуясь (110.5) — (110.7) и производя соответствующую подстановку индексов, чтобы избранные индексы заняли три первых места и при этом численное значение координаты гсг«,, не изменилось, Применяя затем тождество Риччи с цнклнрованием по первым трем индексам, мы убеждаемся, что тождество будет верным и для первоначального (произвольного) положения этих индексов. Ряд тождественных (имеющих место в любом Рь) линейных зависимостей, связывающих между собой координаты тензора кривизны, естественно, наводит на мысль подсчитать, сколько суи1еотвенных координат имеет тензор кривизны. Тензор кривизны й,у,«г как тензор четвертой вален~ности имеет, собственно говоря, пь координат, так как ках<дый из четырех индексов может принимать и значений.
Мы ставим вопрос: сколько координат тензора тс можно задавать произвольно в), с тем чтобы остальные координаты тождественно выражались через них. Подсчитаем число этих существенных координат. 1. Рассмотрим те координаты, в которых только два различных индекса, например, 1 я 2. Независимая координата только одна, так как гс , „, тс.я. . тс , , тс д, „ либо равны, либо отличаются знаками. Остальные же координаты равны нулю. Таких пар индексов будет С„' и каждая пара дает одну существенную координату (С„'" †чис сочетаний из и по вг).
Следовательно, существенных координат, имеющих только два рззлнчных индекса, будет С„' !. 2. Пусть координата имеет три различных индекса, например, 1, 2, 3. Существенные координаты суть [тта,,а, Я „ „, остальные либо нули, либо равны этим, либо отличаются только знаками, что нетрудно проверить. Так как выбрать три индекса "! Рассматривая, разумеется, тензор й для произвольной рнманоьой метрики данного числа намерений и. э 110] тьнзОР кРнвнзны В РимАнОВОм НРОстРАнстВВ И 545 из л можно Са способами, то число существенных координат с тремя различными индексами будет: С„'. 3. 3.
Пусть все четыре индекса различны, например, 1, 2, 3, 4. ВОЗЬМЕМ КОМПОНЕНтм: )С „44, РС44,,4, Ргаы 44 На ОСНОВаНИИ аЛГЕбРанческих свойств тензора Я,~, 44 все остальные координаты с индексами 1, 2, 3, 4 можно выразить через эти. Но и вти координаты не все существенны, ибо их сумма равна нулю на основании тождества Риччи. Среди этих трех координат независимых, слеловательно, только две. Число существенных координат с четырьмя различными индексами будет: С'„2. Всего существенных координат 1+Са +Са (л — ) 1+ (л — ) (и — 2) + а' а' 1 2 123 а (л — 1) (и — 2) (и — 3) + 1234 2 Итак: л' (л' — 1) Ф— (1 10.9) 12 Отметим, что отношение числа существенных координат М к нх общему числу л при неограниченном возрастании л стремится к — : 4 1 12' 1'пп (110. 1О) а ал 12 До сих пор мы выяснили только то, что все л4 координат тензора гс могут быть тождественно выражены через Ж нз них.
Собственно, нужно еще показать, что эти И координат уже все существенны, т. е. что межлу ними нет никаких тождественных зависимостей. Другими словами, пусть заданы эти М координат совершенно произвольно, а остальные выражены через них. Тогда всегда можно построить риманову метрику так, что в данной точке этот наперед заданный тензор )г будет служить тензором кривизны. На доказательстве этого останавливаться не будем. Применим формулу (110.9) для частных случаев: 1) л=2, Ог=1; 2] л=3, гт'=6. Заметим, что для трехмерного пространства тензор кривизны имеет столько же существенных координат, сколько и основной метрический тензор 4', .
Рассмотрим, наконец, тензор Риччи Йаг= Иаа, ). .4 (110. 11) 1В Г!. К. Рашаааааа 34Е (гл. ~х тензое кгизизны в случае риманова пространства. Как видно из (110,1), поднимая последний индекс У 77гы,у, мы полУчнм Я~к,е. 77~~,'с~ = б~'77, Подставляя это значение в (110.11), получим: (11О.!2) Легко заметить, что тензор Риччи в римановом пространстве будет симметричным: усы = ага (110.13) В самом деле, по свойствам ковариантного тензора кривизны "Ф. 0="'М, кт (мы сделали перестановку индексов внутри каждой пары и, кроме того, перестановку пар между собой]. Теперь (110.12) можно переписать в виде тсы=в )7м,* ='с . l В римановом пространстве с тензором кривизны связан еще скалярный инвариант †скалярн кривизна Й, которая получается в результате свертывания тензора Риччи с метрическим тензором )с=у'~77; .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
