1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 104
Текст из файла (страница 104)
1п о -1ппм+2л С э, ! — "".'- ' 522 (гл, ~х тензог кгивизны где им †начальн значение и в точке М при а = О. Учитывая (107.2), получаем окончательно: и С„ где С = пие *с~э 1— Константа С, не зависит от выбора кривой, Из полученного неравенства следует и подавно ! й' (а) ) ( ~гС, (1 = 1, 2, ..., л) (107.11) вдоль всех рассматриваемых кривых. Это мы и хотели получить. Интегрируем (107.7) почленно: г Я дГ г,, дх' — сЬ = — ~ Г'ьД' — дг. ла аз О Левую часть можно записать в конечном виде л ь Ь|'=~'(.) — 1' = — ~ Г,Д" —,' 0 (107.12) В силу (!07,5), (107.9), (107.11) подынтегральная функция в правой части ограничена, так что ) Л~') ~саа, (107.13) ЬГ„=(Г„),— (Га,)„=-( —.) Лх .
(107.14) Последнее выражение написано на основании теоремы о конечном приращении в применении к функции Гы(х', ..., х ); точка лг' †промежуточн между начальной точкой Л и рассматриваемой точкой О на кривой (вообще говоря, М' на кривой не лежит). Под Лх мы понимаем соответствующие приращения аргументов; гак = х (и) — хм = ') — па. о где Ся — одинаковая для всех кривых константа. Подсчитаем Я' из (107.12) сначала с точностью 1-го порядка относительно а. Для этого мы заменим Г», его начальным значением (Гы)м, а $' — его начальным значением $м. При этом мы допускаем в подынтегральном выражении ошибку, по модулю меньшую Са, где С вЂ некотор константа, одинаковая для всех кривых.
В самом деле, в множителе Г~ы мы делаем ошибку й 107) гхометгичиский смысл танзогх кгнвизны (окончание) 523 Учитывая (107.5), получаем отсюда ) Лх'") ( ю Далее функции ара, «107,3): ограничены в рассматриваеьюй области где Са — некоторая константа. В результате (107,14) дает ) Ь Г(! ) ( Саа. (107.15) 6$' — ~(Га~)мозг — „гЬ=- — (Га,)лДмбхь.
(107.16) а Ошибка здесь возникает из ошибки в подынтегральной функции, по модулю меньшей Сг, в результате умножения подынтегральной функции на г(г и интегрирования в пределах от 0 до ю Следовательно, в полученном выражении для Лй' мы будем иметь 1 ошибку, по модулю меньшую — Саа. В связи с этим мы гово- 2 рим, что формула (107.16) верна с точностью 1-го порядка относительно а. Мы хотим сделать второй и последний шаг нашей вынладки: подсчитать Ьй' с точностью 2-го порядка, т.
е. так, чтобы ошибка была уже бесконечно малой 3-го порядка при з О. Для этого мы снова вставим под знак интегралов (107.12) приближенные значения множителей Гаь $', однако не столь грубые, как ранее, когда мы просто брали их начальные значения; теперь, учитывая, что $'(г) = сн + Я', и пользуясь формулой (107.!6), чы полагаем: ьь~ (а) ~ $м (Г~ р)мха'дх /дГ~ Гы (Гы)м+(, лхт )зг йх (107. 17) (107, 18) Таким образом, заменяя константами (Га!)и и йм первые два множителя в подынтегральном выражении (107.12), мы делаем в них ошибки, допускающие оценки (107.13) и (107.15).
Если принять во внимание еще (107.5), то легко получаем, что ошибка во всей подынтегральной функции также допускает по модулю оценку вида Са, где константа С от выбора кривой не зависит. После указанной замены формулы (107.12) дают приближенно; 924 (ГЛ. 5Х тензоР кРнанзны В первом из этих равенств лопущена ошибка, меньшая по модулю 1 2 — Сзь. Аналогичным образом во втором равенстве откинуты члены ряда Тейлора, начиная со второй степени относительно Лх'. Учитывая, что (Лх ! <з, легко получаем, что отброшенные члены по модулю я- Сььь, где константа С с выбором кривой не связана.
Очевидно, в полынтегральном выражении мы получим ошибку того же поРЯлка, а именно, не пРевосходЯщУю по молУлю Сьзь, гле Сь-- некоторая константа, не зависящая от выбора кривой. * Кроме того, перемножая (107.17) и (107.18), мы можем откинуть члены 2-й степени относительно Лх'", так как возникающая при этом ошибка также допускает оценку вида Сь' и может быть включена в ранее допущенную ошибку. Теперь (!07.12) принимает вид 5 гтрк' ж — ~ ~(Гьд')м — (ГьюГ,'„,д")м Ьх'" + д!"' Ег) Ахи~ ~~ дв 5 В среднем члене фигурной скобки обозначения индексов суммирования р и 1 переставляем между собой, а интеграл от первого члена вычислнем фактически. Получаем: Лйь ж — (Г~ьД')~Ьхь+ ~ — ь' + Гь ГЯ, ~ $~~ ') Лх" — дз. ь (107. ! 9) Так как в подынтегральной функции была допущена ошибка, по модулю меньшая С зь, то после умножения на дз и интегрировании 1 от 0 ло в мы получаем ошибку, по модулю меньшую — С зь.
В связи с зтим мы говорим, что форь5уяа (107.!9) верна с точностью 2-го порядка относительно з. Эта формула представляла собой нашу первую цель. Теперь нужно применить ее к случаю, когда рассматриваемая кривая при некотором значении з= з, возвращается в точку М и образует замкнутый контур (остальная часть этой кривой интересовать нас не будет). Тогла при з = зд (107.19) принимает вид 55 дГ' дхь М ~ д 55 + 1 ьрГт1~ ььн ~ Ах д дз, (107.20) ь так как при возвращении в прежнюю точку М приращение Ьх =О. ,5 При этом ошибка по модулю меньше —,С,з,.
Специализируем не- 107) геоматгический смысл твнзога кгивизны (окончание) 525 сколько наше построение, а именно, предположим, что рассматриваемый контур расположен на двумерной поверхности % х =ха(и', и'), (107.21) произвольным образом проведенной через точку М при обычных наших предположениях; в частности, матрица дх' дхь диа ''' ди' дх' ~хп ди' диа имеет ранг 2. Будем считать для определенности дх' дха ди' ди' (107.22) дх' дха диа диа Контур предполагаем несамопересекающимся. В таком случае параметрические уравнения контура на поверхности можно писать в виде и'=и'(г), иа иа (а) так что вдоль контура дха дхх ди' дха диа да ди' да +диа да (107. 23) Вставляя это выражение под знак интеграла в (107.20) и записывая этот интеграл как криволинейный интеграл по контуру, получим: М= ~ —, ".' +Г,',Ги,1 $а $Лх" ( д,г(и + д,йи').
(107.24) Пзраметры и', и- мы занумеруем таким образом, чтобы направление вращения от координатной линии и' к координатной линии и'(если брать положительные направления на этих линиях) совпадало бы с направлением обхода. Строго говоря, это значит, что нумерация и', и' выбирается так, чтобы интеграл (~1и'г(иа при обходе контура в данном направлении имел положительное значение, Этого всегда (гл.
дх 526 тензоР кРивизны можно достичь, так как $ и«д(ид= — $ и'идив. По формуле Грина, которая в этом случае имеет вид: ф (Р (и', и») д(ид+ Р (и', и») д(ид) =Д(,д — —,' ) дуид д(ид преобразуем в правой части (107.24) интеграл по контуру к двойному интегралу по области Е), охваченной этим контуром. При этом подынтегральная функция будет иметь вид дрд дрд д / д»дх»1 д ' мдххд дх«д дхь дхь дхм — *- — — '-= — ( Ьх" — ) — — (ддх" — ) = — — — — —. дид дид ди' 1, дид,) дид 1 дид) ди' дид ди' дид Теперь (107.24) принимает вид; М=~ — . — ~Л,1 ЬД(д.
д —,— д — „,—,,) "". о (107.25) Заставим теперь хд стремиться к нулю, так что контур стягивается в точку М, скользя по неизменной поверхности 3)д . Выясним, как будет вести себя при этом «площадь» а = — Д д(ид иди», о (107.26) ,=Яд. д. =Д~,',,'~д д(ид, ид) Так как непРеРывнаЯ фУнкциЯ (д д' д ! остаетсн огРаниченной в д (хд, хд) некоторой окрестности точки М, т.
е. С, то а ( С Д с(хд д(х». о (107.27) охваченная на поверхности Я» стягивающимся контуром. Мы берем слово «площадь» в кавычки, так как введенная этим путем она не имеет инвариантного характера и зависит от выбора параметров и'„ и» на поверхности. Почти очевидно, что и 0 как бесконечно малая второго или высшего порядка относительно хд. Для интересующихся приводим детальный вывод. В силу (107.22) в некоторой окрестности точки М на поверхности д()д, можно принять за параметры х', ха вместо и', и'.
Преобразуя двойной интеграл к новым переменным, получаем: $107] гвометеичхскнй смысл твнзоех кеивизны (окончхннв) 527 Поскольку при обходе всего контура параметр г получает приращение г„а )дх<) ~(дг, ) «х») (дв, то х' и х' в любой точке контура и»<еют приращения (сравнительно с хм, хм) тоже не превосходящие в,.
Тем самым и внутренность контура в плоскости переменных х', х' подчинена тем же условиям, т. е. располагается внутри «квадрата» хм — г, ~ (х ( хм + в,, 1 1 хм — в ( х» ( х<»ч -1- г, а так как ) ') а<х< дх», распространенный но внутренности этого «квадрата», равен 4г'„то Цдх<ах» (4в', и (107.27) окончательно пере- пишется в виде о ( 4Св";. Итак, «плон)адь» о области )х' стремится к нулю вместе с в как бесконечно малая 2-го или вь<с<иего порядка относительно в .
Мь< будем предполагать, кроме того, что о будет бесконечно малой точно 2-го порядка (не вв«ие) относительно г . Более летальное исследование показало бы нам, что, как правило, это предположение оправдывается. Исключение представляют лишь искусственные случаи, когда, например, при стягивании контура в точку М он одновременно неограниченно сплющивается, так что размеры области О «в ширину» являются бесконечно малыми выс<иего порядка сравнителыю с ее размерами «в длину».
Тогда «площадь» о будет бесконечно малой не 2-го, а более высокого порядка относительно в . Возвращаемся к формуле (107.25). Допущенная в ней ошибка, как мы знаем, по модулю меньше — С»г, и, следовательно, представляет собой бесконечно малую высшего порвдка сравнительно с «площадью» о (ради этого мы и должны были предположить, что о точно 2-го порядка малости относительно г,), В дальнейшем мы так же будем учитывать в (107.25) лишь члены одного порядка малости сравнительно с о и пренебрегать малыми высшего порядка. В связи с этим мы можем заменить подынтегральную функцию дхв дх<' дх» дх~ — — — — — ее начальным значением в точке М. Действительно, ди' ди' ди' ди' ввиду непрерывности этой функции ее значения внутри данного контура уклоняются в ту иля другую сторону от значения в точке М меньше чем на некоторое положительное число е, где в - О, когда 528 [гл.
~х ТРНЗОР КРИВИЗНЫ контур стягивается в точку. Поэтому ошибка в интеграле будет по модулю меньше чем ) в Фи' див = еп. Эта ошибка будет, таким образом, бесконечно малой высшего порядка сравнительно с и, и ею мы пренебрегаем. Итак, заменив подынтегральную функцию ее значением в точке М и вынося эту постоянную за знак интеграла получим: и Все выражения, стоящие за знаком интеграла, вычислены в точке М, В дальнейшем мы будем это подразумевать, не выписывая значки М явно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
