1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 102
Текст из файла (страница 102)
дх' ' дх" дх~ дх» Мы можем рассматривать любое тензорное поле иг и произвольные бесконечно малые смещения йх', йх' из данной точки лт. Полученная формула остается верной и, значит, представляет собой тождество относительно иеи Зх', йх», Сравнивая коэффициенты Формулы (105.8), (105.9) являются окончательными, и мы должны в них разобраться. Левую часть (105.9) можно назвать альтернированным вторым абсолютным дифференциалом тензора и; для бесконечно малых смецений йх', йх'.
Йействительно, прн рассматриваемом нами бесконечно малом смещении йа по координатной линии а (или й() по координатной линии ()) дифференциалы координат точки равны йхг(нли соответственно йх ). Мы видим из (105.9), что этот альтернированный второй абсолютный дифференциал тензора и, линейно зависит от ио йх' и йх . Коэффициенты этой трилинейной функции обозначены нами Щ ;е и, как видно из (105,8), зависят лишь от точки, в которой вычисляется альтернированный дифференпиал (так как Г~1= Г».(х', ....
х")). Эти коэффициенты образуют четырехвалентный тензор, трижды ковариантный и один раз контравариантнь»й в соответствии о расстаковкой его индексов. В самом деле, левая часть (105.9) представляет собой одноковариантный тензор по основному свойству абсолютного дифференцирования. Следовательно, правая часть по отношению к индексу 1 также преобразуется по ковариантному закону: 5)З ТСНЗСР КРИВИЗНЫ В Еа 8 105) при этих величинах в левой и правой частях, мы получаем: е дхл дхй дх' д.се' г дхл дх" дх' дхе (105.
10) Это показывает нам, что 7(сй,;." действительно образуют тензор трижды ковариантный и один раз контравариантный. Тензор Й)й ')е, составленный из объекта связности Ггй7 согласно (105.8), назьсвается тензором кривизнвл (или тензором Ри ллана— Христоффгля) пространства аффинной связности Ьк. Очевидно, тензор кривизны определен вместе с Гйи(х', ..., х") в каждой точке пространства 7.„ и образует в нем тензорное поле: )7..
м 77...а(,л Тензор кривизны кососимметричен по первым двум индексам: 7>...а 77.. сй (105.11) Это легко усмотреть из формулы (105.8), которую можно переписать в виде 77;л,;~=Ай и — Ал,ы, (105. 12) где мы для краткости обозначили 17 и. к. Рашевский Легко заметить, что в аффинном (или хотя бы локалы<о аффинном) пространстве А„ тензор кривизны тождественно равен нулю. Действительно, в этом случае можно перейти в аффинную каор. динатную систему (хотя бы в окрестности каждой точки), в которой, как мы знаем, Гй;=: О, а следовательно, 77йй 1а= О.
Естественно поставить теперь вопрос об альтернированном втором абоолюгном дифференциале одноконтравариантного тензорного ноля о~(х', ..., х"). Другими словами, мы хотим вычислить лЮо' — И:Ь', где символы Е) и О имеют прежний смысл. Конечно, эту выкладку можно провести прямым путем подобно предыдущей выкладке для одноковариантного поля ин Но для краткости мы предпочтем искусственный прием с использованием уже полученной формулы (105.9), а именно, составим инвариант о'иг путем свертывании данного тензора о'(х', ..., х") с произвольным тензором и;(хл, ..., х").
По известному нан правилу (ср. (97.8)) вычислим абсолютный дифференциал Й от это~о инварианта: О (влил) = ЕЬс и, + о' х)ие 514 тензоР ИРияизны [гл. ~х От полученного результата вычислим абсолютный дифференциал В: ВВ(оги,.)=ВВо' и;+В~ Ви, +М Ви;+о' ВВир (105.13) В этой формуле мы поменяем местами символы В и В. Левая часть при этом не изменится, так как абсолютные дифференциалы В и В, взятые от инварнанта, совпадают с обыкновенными дифференциалами й и Й, т. е. с перестановочными между собой частными дифференпиаламн по параметрам а и р. В правой части поменяются местами второй и третий члены, так что сумма нх не изменится. Вычитая почленно нз (105,13) формулу, полученную из (105.13) взаимной перестановкой В и В, мы приходим, следовательно, к такому результату: 0 = (ВВо' — ВВоч) и;+ о' (ВВи< — ВВи;). Обозначая в первом члене индекс суммирования д вместо 1 и делая во втором члене замену согласно (105.9), получим: (ВВо» вЂ” ВВо») и -1- очгсис ~'и йх' йх" = О.
Учитывая, что и — произвольное тензорное поле, мы должны рас» сматрнвать полученное равенство как тождество относительно и . Поэтому коэффициенты при и» должны быть по отдельности равны нулю. Отсюда получаем: ВВо» вЂ” ВВИ» = — й)1, »о' йх' йхь. (105.14) Мы получили, таким образом, формулу, аналогичную (105.9), но для поля одноконтравариантного тензора. Вычислим, наконец, альтернированный второй абсолютный дифференциал для произвольного тензорного поля, например, Еяи(х', ..., х").
Для этой цели мы прибегнем к сходному приему, а именно, свернем каждый ковариантный индекс данного тензора с произвольным одноковариантным тензором, а каждый контравариантный индекс — с произвольным одноковариантным тензором. В нашем примере мы получаем этим путем инвариант 1= Ллии оетеУ, (105.15) где и, о', те' — произвольные тензорные поля. Вычислим затем Р' ВВ1 — ВВЛ Дифференцируя дважды правую часть (105.15), мы можем не выписывать все получаюшиеся при этом члены: достаточно сохранить лишь те, в которых оба дифференцирования падают на один и тот же множитель. В самом деле, те члены, в которых В действует на один множитель, а В на другой, будут одинаковы как в ВВ1, так и в ВШ и при вычитании уничтожатся 6 100) геометрический смысл тензоРА кривизны 515 (как второй и третий члены в (105.13)).
В результате получаем: хр1)у — ЕЮI = (1ЮЕрй — гЮЕри) и огтет+ Лей((р1)и — 1115и ) о'тот -(- -(- арии (с хрог — 1Юог) тот+ крик ъ' (О Г)тех — Ог)теу). Левая часть равна нулю, так как по отношению к инварианту т хр и б превращаются в обыкновенные частные дифференциалы по а и (). В правой части заменяем круглые скобки (кроме первой) согласно (105.9) и (105.14). Получаем: 0 = (002»и — ПГ)г»б) и,о'шт+ + Хри ( го»,рчи отчет — Р,;„', „','и и тот — к;;, ,'„)и ъ'те'") йх' йх».
Так как и, о', шт — произвольные тензорные поля, то мы имеем здесь тождество относительно и, ог, тв, а поэтому коэффициенты р у прн произведениях и огшт должны быть после приведения подобр ных членов равны нулю. Собереь~ коэффициенты при произведении и,охте', считая индексы г, е, 1 как-нибудь фиксированными. Тогда в первом члене нужно положить р, т', /=г, е, 1, во втором члене д, 1, У= г, г, 1, в третьем р, и, /=г а, 1 и в четвертом р, 1, т = = г, г, д Перенося все члены кроме иервого в другую часть равенства, получим: иы;,— ~юл;, = = ( — Яй,р Я~г + Р(п,. Х(г + К(», ЕХ,';) ах' йх~.
(105.16) Итак, проальтернироеанный второй абсолютнььй дифференциал от произвольного тензора представляет собой сумму членов, составленных поочередно для каждого из его индексов, причем для каждого верхнего индекса соответствующий член составляется по схеме (105,!4), а для каждого нижнего — по схеме (105.9). При составлении члена, отвечающего данному индексу, остальные индексы переписываются без изменения. В нашем случае первый член составлен для верхнего индекса г, второй — для нижнего индекса е, третий— для нижнего индекса й Хотя мы имели дело с тензором частного вида, но совершенно аналогичный вывод можно повторить и для любогр тензора, так что формулированное выше правило справедливо в общем случае.
й 106. Геометрический смысл тензора кривизны Мы хотим показать, что тензор кривизны в каждой данной точке пространства Ь„ позволяет определить, насколько уклонится от своего первоначального значения вектор, произвольно выбранный в этой точке и параллельно обнесенный по какому-нибуль бесконечно 17* [гл. ~х 5!6 танзоР кРиВизны малому замкнутому контуру (мы учитываем, конечно, лишь главную часть этого уклонения), Покажем прежде всего, что, длл того чтобы пространство А„ обладало абсолютным параллелизмом, необходимо и, в случае одно- связного Е„, достаточно тождественное обращение в нуль тензора кривизн»и Необходимость.
Пусть дано, что А„ обладает абсолютным параллелизмом ($ 93). Тогда произвольный вектор $»(М ), заданный в какой-нибуль точке М», в результате его параллельного перенесения в кажлую точку М пространства Е„ порождает однородное векторное поле яг(М). Вектор этого поля йг(М) при параллельном перенесении по любому пути в любую точку М' переходит в вектор того же поля я~(М ). Отсюда следует, что прн любом бесконе шо малом смещении из точки М вектор поля 5'(М) имеет абсолютный дифференпиал, равный нулю: (106.1) Знак тождества подчеркивает, что равенство имеет место в любой точке М и для любого бесконечно малого смещения. Придадим символам г) и сл тот же смысл, как и в й 105. Тегда согласно (106.1) имеют место равенства Е$' = О, Щ = О.
Действуя на первое из них посредством Т), на второе †посредств 5» и вычитая из первого второе почленно, получим: )9 Е)я' — с)Е$' = О. Согласно (105.14) отсюда следует: й')„'Ус(х' Ь-г= О. Так как однородное векторное поле можно получить, задавшись произвольным вектором яг(М») в произвольной точке Ма, то мы имеем здесь тождество относительно 5Р, Кроме того, это тождество и относительно дх» н дх', которые можно брать совершенно произвольными. Следовательно, П»), '= О в каждой точке пространства Е„. Необходимость нашего признака двказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
