1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Наша конструкция обладает одним важным свойством. Отметим на каждой нормальной к Уп х геодезической точку Е так, чтобы длина дуги будет, вообще говоря, гиперповерхностью, для которой однако возможны особенности и даже случаи вырождения ее в поверхность низшего числа измерений (даже в точку). Действительно, мы не можем гарантировать, что при любом значении а у нас будет соблюдаться условие (102.2); возможно, следовательно, что не все параметры и' будут существенными, т. е.
х' смогут быть выражены через меньшее число пзраметров, тзк что поверхность (!02.4) будет иметь фактически число измерений г, меньшее и†1 (мы будем предполагать при этом выполнение условия (83.2), где ю = г). Однако при достаточно малых а условие (102.2) соблюдается по соображениям непрерывности (действительно, при а = О, т. е. на Уь д, оно имеет место), и мы получаем гиперповерхность. МГн утверждаем, что геодезические, нормальные к Уь , будут нормальными и к любой геодезически параллельной к Ун поверхности У, (как при г =. и†1, так и при г с. п — 1). Для доказательства рассмотрим отрезок МЕ нормальной к Ь'ь геодезической, конец которого М скользит по Уь „, а конец Š— по геодезически параллельной ей поверхности У,. Длина з отрезка МЕ остается постоянной по построению, з= а.
Вычислим теперь вариацию длины отрезка МЕ при его бесконечно малом смещении, причем мы моесем пользоваться формулой (101.12), поскольку МŠ†отрез геодезической: бз= ~у," х бхай~ — ~угт —,бхт~ (102. 3) была во всех случаях одной и той же. Геометрическое место точек Е образует, вообще говорц поверхность, которую мы будем называть геодезически параллельнои к У„ д поверхностью.
Параметрические уравнения этой поверхности мы, очевидно, получим, закрепив в уравнениях (102.3) переменное з на каком- либо постоянном значении з = а. Это и будет значить, что каждая точка М гиперповерхности Уь т сдвинута по нормальной геодезической на постоянное расстояние а (разумеется, а может иметь любой знак). Полученное геометрическое место хг=хг(и', ..., а" х а) АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДНФФЕРЕНЦНРОНАНИЯ (гл. шп [у1 — „бхт] = О, (102.6) йхт т.
е. равно нулю скалярное произведение вектора — , касайз тельного к МЕ в точке Е, на вектор бхт бесконечно малого смещения точки Е по поверхности У,. Так как, варьируя отрезок МЕ мы можем произвольно двигать его конец Е по поверхности У„ то бху †произвольн касательный к этой поверхности вектор в йхг точке Е. Отсюда следует, что вектор —, касательнь1й к геодезийз ' «вской МЕ в точке Е, направлен по нормали к поверхности У,.
Этим наше утверждение доказано. Чтобы не загромождать доказательства, мы не вводили явно параметра а, по которому берется вариация, и не строили явно семейства кривых, включающих отрезок МЕ., или, вернее, выполнилн это построение в виде наглядной картины «движения» о~резка. Ясно, что наше доказательство без всяких затруднений можно повторить в формально безупречных терминах. Полученный результат лишает исходную гиперповерхность Уь ее особой роли.
В самом деле, рассмотрим геодезически параллельную ей гиперповерхность У„ 1 (г= и†!). Нормальные к У„ 1 геодезические будут те же самые, что и для У„ 1. При этом, так как они неизотропные, ортогональная к ним гиперповерхность У„ будет тоже неизотропной. В результате геодезический параллелизм (неизотропных) гиперповерхностей У„ , У„ 1 означает, что между ными сохраняется постоянное расстояние по общим нормальным геодезическим. Отсюда ясно, что всякая поверхность, геодезически параллельная Уь будет геодезически параллельна и У, „ н обратно.
Поэтому Уь и У„ , порождают одно и то же семейство геодезически параллель. ных поверхностей, так что за исходную поверхность можно принять У„ , вместо У„ . Более детальное рассмотрение показало бы, что Очевидно, 6з= О, тзк как з остается постоянной. Далее, йх1 р — бхт] выражает скалярное произведение вектора Ойз )м йз касательного к МЕ в начальной точке М, на вектор дх~ бескойх1 вечно малого смещения точки М по У . Тзк как — =- т)г ч — 1' йз вектор, нормальный к У„1, а бхт — вектор„касательный к Уь то это скалярное произведение равно нулю. Теперь равенство (102.5) принимает вид ф 102] геодезически пАРАллельные ГипеРповеРхности 495 за исходную поверхность можно принять неизотропную поверхность геодезически параллельную У„ ,, и в том случае, когда ее число измерений г «.
п — 1. Дело в том, что хотя положение точки на У," зависит лишь от г параметров, но нормальная плоскость к У; будет зато не одномерной, а и — г-мерной, так что в каждой точке нормальное направление зависит от и — г — 1 параметра. В результате, проводя геодезическую линию через каждую точку М* Е У," по каждому нормальному направлению (по крайней мере, внутри некоторого конуса в нормальной плоскости), мы снова получаем семейство геодезических от и†1 параметров; откладывая на них отрезки одинаковой длины з= а, мы получаем геодезически парзллельные гиперповерхности, те же самые, что и порожденные гиперповерхностью У„ Итак, мы пришли к следующему результату: Всякая неизотролная гиперповеркность У„т включается и притом единственным образом в однопараметрическое семейство геодезически параллельных гиперповерхностей.
Эти гиперповеркности (тоже неизотропные) обладают общими нормальными геодезическими и взятые попарно всчсекают на этик геодезических отрезки постоянной длины. При отдельных значениях пзраметра гиперповерхность семейства может вырождаться в поверхность меньшего числа измерений (более трудные случаи появления особенностей мы исключаем).
В частности, в обычном пространстве всякая поверхность включается в однопараметрическое семейство «параллельных» ей поверхностей, обладающих общими с ней нормалями и попарно отстоящих друг от друга на постоянном расстоянии, если измерять зто расстояние по общим нормалям.
В качестве примера рассмотрим в обычном пространстве семейство круглых цилиндров с общей осью. Эти поверхности («гиперповерхности» с точки зрения обычного пространства) образуют семейство от одного параметра и обладают общими нормальными геодезическими. Действительно, всевозможные перпендикуляры, восстановленные к оси во всевозможных ее точках, служат общими нормалями ко всем цилиндрам семейства.
Отрезки общих нормалей между двумя цилиндрами остаются по длине постоянными. Строя поверхности, геодезически параллельные данному цилиндру семейства, мы всегда будем получать другие цилиндры семейства, с одним лишь исключением: -если по внутренним нормзлям к цилиндру откладывать постоянный отрезок, равный радиусу его основания, то геодезически параллельная поверхность вырождается в линию †ось цилиндра. Аналогичные явления возможны, конечно, и в многомерном случае (поверхность У;). 496 хпплахт хвсолютного диьеегянцнговлния 1гл.
чш Мы уже указывали коротко, как восстановить семейство геодезически парзллельных гиперповерхностей не только по любой его гиперповерхности У„" „но и в случае ее вырождения в поверхность У; меньшего числа измерений. Совершенно таким же образом можно и заново построить семейство геодезически параллельных гиперповерхностей, задавшись некоторой неизотропной поверхностью У„ которая должна будет войти в это семейство в качестве вырожденной гиперповерхности. Мы рассмотрим эту задачу в важном частном случае, когда заданная поверхность будет нулевого измерения и представляет собой просто точку Уч.
В этом случае любое направление, исходящее из точки У, будет нормзльным по отношению к <поверхности» Уь. Поэтому геодезические мы будем проводить через У по всевозможным направлениям за исключением, однако, изотропных направлений.
При этом нужно рассматривать отдельно геодезические вещественной и мнимой длины. Откладываем от У по геодезическим вещественной длины отрезки постоянной длины з= а; концы этих отрезков образуют гиперповерхность, которую мы будем называть геодезической гиперсферой радиуса а с центром в Уь. Аналогичным образом, откладывая от 1' по геодезическим мнимой длины отрезки постоянной длины з = аг', мы получаем гиперповерхность, которую будем называть геодезической гиперсферой радиуса а! с центром У . В случае собственного риманова пространства существуют геодезические гиперсферы лишь вещественного радиуса, которые полностью охватывают точку У, так что в них упираются геодезические, исходящие из Уь по всем направлениям.
В случае псевдориманова пространства геодезические гиперсферы вещественного и мнимого рздиусов строятся в основных чертах сходно с гиперсферами 5„ , в соответствующем псевдоевклидовом пространстве тс„. Для определенности мы ограничимся в дальнейшем геодезическими гиперсферами вещественного радиуса. Мы утверждаем, что геодезические вещественной длины, исходящие из точки У, служат нормальными геодезическими для геодезичеоких гиперсфер У„" вещественного радиуса с центром Уь.
Нам требуется доказать, тзким образом, что геодезическая, соединяющая центр Уь гиперсферы У„', с произвольной ее точкой Ь, направлена по нормали к У„", в точке т'.. Для этого мы повторяем прежние рассуждения, а именно, вычисляем вариацию длины геодезического отрезка т)4т'., где точка т)4 закреплена в центре гиперсферы У, а Е скользит по гиперсфере У„",. На прежних основаниях пользуемся формулой (102,5), причем бе=О, й 103) ПОЛУГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ 402 тгк как з = Му. остается постоянным, а ~у,, ~ бхт~ =О, так как (блом 0 в силу неподвижности точки М. Снова приходим к (102.6), что и означает ортогональность геодезической МТ.
к гиперсфере в точке й. Таким образом, геодезические гиперсферы вещвственного радиуса с данным центром Уь образуют однопараметрическое семейство геодезически параллельных гиперповерхностей с общими нормальными геодезическими, сходящимися в общем центре У . При этом центр 1' можно рассматривать как гиперповерхность семейства, выродившуюся.в точку, Совершенно аналогичный результат справедлив, разумеется, и для семейства концентрических геодезических гнперсфер мнимого радиуса. $ 103. Полугеодезические координатные сястемы Зависимость (102.3), установленная нами в $ 102, наталкивает нг мысль принять переменные и', ..., и" ', з за новые координаты хотя бы в той области нашего пространства, которую заполняют нормальные к У„ , геодезические. Однако для этого необходимы еще некоторые оговорки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
