1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Простым примером может служить двумерная собственно рима- нова геометрия на обычной сфере. Геодезическими являются окружности больших кругов, причем дуга АВ, меньшая полуокружности, дает кратчайшее расстояние между точками А, В на сфере; дуга же АВ, ббльшав полуокружности, не дает кратчайшего расстояния даже в сколь угодно узкой окружающей ее области на сфере.
Положение вещей сильно меняется в олучае пгевдориманова пространства. Будем длв определенности рассматривать геодезические вещественной длины и сравнивать их с линиями тоже только вещественной длины. Прежде всего в псевдоримановом пространстве будет неверным соотношение (103.10), а следовательно, падает и весь вывод, пРиводищий к (!0).12). Так как тепеРь У„гдх" дхэ может быть, вообще говоря, и отрицательным и положительным, то длина э кривой АВ может быть и больше и меньше длины геодезического отрезка АВ.
Геодезические линии даже в малых кусках теряют свои экстремальные свойства и остаются лишь линиями стационарной длины. Исключением является случай, когда линейный элемент на гиперповерхностих х" = сонэ) будет отрица- э 1ОЗ) полтгеодезичвскнв коотдинхтные системы 503 тельно определенным: йзе= а., й х йхз < О, (1озА з) Рассмотрим этот случай подробнее. Так как геодезические линии х" по нашему предположению имеют вещественную длину и вдоль них йза > О, то речь идет, очевидно, о псевдоримановом пространстве индекса и†1. В этом случае, сравнивая отрезок АВ геодезической линии х" с гладкой кривой АВ тоже вещественной длины, получаем вместо (103.11) р'а йх" йхэ+йх" () йХ), (103.14) При движении по АВ от точки А к точке В все время йх" > О.
действительно, так как хьв > хл, то йх' не может все время оставаться отрицательным; если допустить для дх" отрицательные значения, то, переходя от них к положительным значениям, йх" принимал бы значение нуль в силу гладкости кривой АВ. В этих точках мы имели бы согласно (103,6) йзь= ттюйх" йхз < 0 вопреки предположению о вещественной длине кривой АВ"). Итак, йх" > О, и (103.13) можно переписать в виде утд. йх'йху+йхь* -. йх".
Интегрируя это неравенство по кривой АВ и учитывая, что, по крайней мере, на некоторых участках неравенство является строгим, мы получаем: з < хв — хл. (103.13) Следовательно, в псевдоримановом пространстве индекса и — 1 отрезок АВ геодезической вещественной длины дает длиннейшее расстояние между точками А, В, предполагая, что этот отрезок можно включить в координатную линию х" полугеодезической координатной системы и что для сравнения берутся гладкие кривые АВ вещественной длины из области, где определена эта координатная система.
Как н раньше, включение АВ в координатную линию х" можно гарантировать лишь для не слишком больших АВ. ') Строго говоря, этн рассуждения следовало бы вести не с йх, а с нро. йхь ньводной —, где г — параметр, монотонно растущий вдоль кривой Ад, со ' йх' причем — одновременно в нуль не обращаются. й( 504 АННАРАт Авсолютного диФФеРенциРОВАния (гл. Рш В случае псевдоевклидова пространства В„индекса п — 1 эта оговорка отпадает: всякую прямую вещественной длины можно принять за ось х" ортонормированной координатной системы х', х', ..., х" 1, х", в которой скалярный квадрат вектора имеет вид Х'= — Х1' —...
— Х"-1*+Х"'. Поэтому любой прямолинейный отрезок АВ вещественной длины будет служить длиннейшим расстоянием между точками А и В, если для сравнения брать гладкие кривые АВ тоже вещественной длины. Совершенно аналогичным образом в В„индекса 1 прямолинейный отрезок АВ мнимой длины будет служить длиннейшим расстоянием между точками А и В по сравнению со всевозможными гладкими кривыми АВ тоже мнимой длины. й 104*.
Динамика системы в обычном пространстве квк динамика точки в римановом пространстве В этом параграфе мы рассмотрим сначала динамику точки в собственно римановви пространстве У„, а затем покажем, как истолковать в этом смысле обычную динамику системы. Мы будем рассматривать в Ь'„ подвижную точку М, обладающую массой единица и находящуюся под действием силового поля УА=УА(хт, ..., х"; 1).
(104. 1) здесь уа — вектор, заданный в каждой точке и в каждый момент времени 1 и выражающий силу, действующую на М, если М попадает в эту точку в этот момент времени. Все понятия механики в римановом пространстве мы будем трактовать по аналогии с механикой в обычном пространстве. Пусть закон движения точки М задается уравнениями х' = х1(г), где 1 †вре.
Естественно принять вектор дх' х'=— й1 Рх' ва вектор скорости, а вектор — — за вектор ускорения точки М. й Тогда дифференциальные уравнения движения точки М будут: РАА — =У (104.2) или в развернутом виде йх' игу 2 104) динлмикл систимы в )с„клк динлмикл точки в )с„505 Если ух=:О„т. е. движение совершается по инерции, мы получаем дифференциальные уравнения геодезических линий, которые и служат в этом случае траекториями движения; при этом время ! играет роль канонического параметра. Для дальнейшего будет полезно перейти к другой форме этих дифференциальных уравнений, а именно, опуская индекс сс (как обычно, при помощи метрического тензора асс) в уравнении (104,2), получаем: Рх; Л где хс=Асухс, ус=дсгус — ковариантные координаты векторов скорости и силы.
В развернутом виде дхс — ' — Г„х — = у'с. дг г дг Заменяя здесь — через х и х через ягсх, получаем: дхл дхс 'с' л — Г, „,хх с!с (104.4) где, как обычно, Гны = дюГ"ы. Вспоминая выражение для Г,, хс 1 с'дасл двсс длсхс1 2 ~дхс дх дхс/ свертывая его с х х, получаем ††.х х, так как второй и трес'ь 1 дусь 'с 'ь 2 дхс тий члены взаимно уничтожаются. Теперь (104.4) можно переписать в виде дхс 1 дйсь 'с 'л — — х х =Ус. сц 2 дхС (104.5) дТ л —..=а х = хс. дхс дТ 1 дясл — = — — х х, дхс 2 дхс В последнем случае дифференцируем по х сначала множитель хс, За кинетическую энергию Т точки М естественно принять произведение массы (которая равна единице) на половину квадрата скорости; при этом квадрат скорости можно подсчитать как скалярный квадрат вектора х'.
Получаем: Т вЂ” — пс (хс, ..., х)х х. (! 04.6) Рассматривая Т как функцию 2п переменных, именно, х, хс, с вычислим частные производные: хпплглт авсолютного диеввтенциговхния (гл. шп затеи х, причем оба раза получается одно и то же выражение. В результате (104.5) принимает внд (104. 7] Рассмотрим теперь механическую систему в обычном пространстве со склерономными и голономнылщ связями. Это значит, что связи, вопервых, не зависят от времени и, во-вторых, носят конечный (не дифференциальный) характер, В таком случае кинетическая энергия системы Т, записанная в обобщенных координатах (7((1= 1, 2, ..., и), имеет вид положительно определенной квадратичной формы относительно д( с коэффициентами, зависящими от (7(: (104.8) Т 2 а Н» (7 )(7 (7 Запишем дифференциальные уравнения движения системы (уравнения Лагранжа 2-го рода): (Е=1, 2, ..., и).
(104.9) Здесь (',(( (у(, ..., д"; г) — обобщенные силы соответственно по координатам (7(, Рассмотрим и-мерное многообразие положений механической системы, отнесенное к координатам у(. Превратим это многообразие в собственно риманово пространство (т„, вводя в нем линейный элемент дев=а ((7(, ..., д")ду~с(у( (104.10) с коэффициентами, заимствованными из выражения кинетической энергии. Из механического смысла этой квадратичной формы, ниенна, (ге' = 21(((в, вытекает ее инвариантный характер (относительно преобразования обобщенных координат (7(), Метрический тензор имеет вид д(т — — аЫ.
Движение системы можно теперь истолковать как движение точки М единичной массы в римановом пространстве Рю Уравнения движения системы (104.9) мы истолкуем тогда как уравнения движения точки (104.7), причем обобщенные силы с( будут играть роль ковариантных координат ~; той силы, которая действует на точку М.
Допустим теперь, что на нашу систему наложены кроме голономных и неголономные свези вида (ю (ю б,ду(+... +д„ду"-0 (й-1, 2, ..., р), (104,11) (а( где о( — функции от 4(, ..., о". Эти р уравнений предполагаются линейно независимыми. ф 104] динамика системы в )д„клк динлмикл точки в 1; 507 С точки зрения риманова пространства !т уравнения (104.11) л означают следующее. В каждой точке д задается проходящая через нее и — р-мерная плоскость касательного пространства, векторы которой $т удовлетворяют уравнениям (4) Ь,|'=О (Ь=1, 2, ..., р), (104.12) (д) (Р) где Ьо ..., Ь, †ковар)(тные тензоры.
Как видно из (104.11), допустимыми являются лишь те двийчт жения точки М, при которых вектор скорости д(= — в каждой й( точке траектории принадлежит плоскости (104.12). Эту плоскость мы будем называть допустимой, а ее векторы я( — допустимыми. Однако лишь кинематическая формулировка не исчерпывает значения неголономных связей (как, впрочем, и голономных). Точ- ньш" механичеокий смысл связей (104.11) заключается в появлении при каждом движении точки М силы реакции, ортогональной к допустимой плоскости и подобранной так, чтобы обеспечить допустимый характер движения, Обозначим ковариантные координаты силы реакции через (р( Для того чтобы она была ортогональна ко всем векторам $( допу- стимой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы тензор (р( пред- (Ц ставлял собой линейную комбинацию тензоров Ь(( (д) цо р,=-).,Ь,.+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
