1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Так как касательная Ит неизотропная, то скалярный квадрат йх' касательного вектора — не равен нулю: Н йхг й т (1 00.3) 100] кРНВые В РимАнОВОН пРОстРАнстВе (ОкончАнне) 477 Следовательно можно принять — за вектор то: йхт н йэ йхт о — йг (100. 5) й т Обратно, если для некоторого параметра г вдоль кривой вектор— йэ оказывается единичным, то имеет место (100А) и, следовательно, дго=г, дх'с(х', так что параметр г оказывается длиной дуги, г'/ Пусть теперь подкоренное выражение остается все время отрицательньом, так что радикал чисто мнимый, и мы имеем кривую чисто мнимой длины.
Мы запишем: г=аЕ и за новый лираметр вдоль кривой будем принимать вещественный коэффициент а. За вектор т мы примем вектор — , причем он буйхт о йа ' дет уже мнимоединичным, В самом деле, его скалярный квадрат имеет вид йх' йхт йх' йхт т, — — = — е;. — „— = — 1, так как дго= — йа', Итак, йхо ,г о '100.6) Ясно, что при дифференцировании этого разложения порядок входящих в него производных повышается не более чем на единицу, йх' Обратно, если для некоторого параметра а вдоль кривой вектор— йо йх' йхт оказывается мнимоединичным то е . — — — 1, откуда аао =- †а 'у йе Йт 1 так что длина дуги кривой оказываетсн чисто мнимой и имеет внд г=а). Мы хотим тепеРь Установить дла оРтов тр сопРовождающего репера формулы Френе. Другими словами, мы хотим выяснить, каь Вор / в~р') разлагаются производные этих ортов — ~или — ) по самим зтим йг (, йа) ортам.
Для определенности будем говорить о параметре г, имея в виду, что все сказанное будет справедливо и в случае параметра а. ! Заметим прежде всего, что — „всегда принадлежит плоскости тс „, Дтр йо т. е. вполне разлагается по ортам т'„т'„..., Тро,. В самом деле, т' принадлежит плоскости й~~т, т. е. разлагается по векторам (99.11): 05 (0 б Р'<0 Г'(Р), —, ".,— —. йг ' ' йтр АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ (гл. Юп так что 7:)»р будет разлагаться по векторам ПМ (!) 77Р+ ~'(1) В1 1 ПГРР1 У определяющим плоскость 77 . Итак — принадлежит плоскости Р»р 5(5 77р~а и разлагается по »'„ »'„ ..., »р! „ а следовательно, ортогонален к »еьь, ° ° ° » -1: р в.. »1»5=0 при у>р+1.
(! 00.7) Используем теперь ортогональность векторов »р, »'. в'7»5»р 0 / КГ ' (В»5 )»Р + ~гт»р0»р 0 Деля почленно на 5(5 и пользуясь (100.7), получаем окончательно: о»' .в11 —,5»р! =: 0 при 17 > р + 1. Нам будет удобнее поменять в этой формуле обозначения р н 171 в; — »51=-0 при о > а+1 77»р (100,8) (т. е. при 17 <р — 1), Сопоставляя формулы (100.7) и (100.8), можно 77»р ! сказать что вектор — ортогонален ко всем ортам»5 кроме, мо5(5 5 жет быть, ортов С 1 1 »Р — 1~ »Р~ »Р51. Однако оказывается, что вектор — ортогонален н к орту В»р а5 р В самом деле, скалярный квадрат вектора »р' равен 1- 1: а'! '»Р»р Беря почленно абсолютный дифференциал и учитывая, что .0д;7=-0, получаем; $100) кривые в римлновом прострлнствв (окончлник) 479 Дифференцируя это соотношение, получим: т, е. юг," ч',ЕЬр — — О, (100.
9) а это означает ортогональность 1:1чр1 к т'. В итоге разложение вектора — „по ортам чс„ч11, ..., ч1 1 моЕ~чр й5 жет содержать лишь тр 1 и яр~1. Запишем: ,1 !зтр й Хр, р-1 ~р-1'Т Хр. реттр+1 (100.10) где через х,, х, обозначены соответствующие коэффициенты. Разумеется, в случае р = 0 в правой части имеется лишь второй член (т'1 нс существует), а в случае р=л — 1 — лишь первый член (ч1 не существует). Покажем, наконец, что существенно различных коэффициентов х в действительности вдвое меньше, чем кажется с первого взгляда.
Умножая (100.10) скалярно на орт тр1 „мы получаем: р , — рт4 =х ~11 йэ Р 1 Р Р 1 Р (100. 11) ~~'о А1/ й5 Р+1= р, р+1 рж1. (100.12) С другой стороны, записав ортогональность ортов тр1, ч,' .1 д.бер1т'„,=0 (р=О, 1, 2, ..., л — 2) и дифференцируя это соотношение, получаем: Оче 1 1 ВчР,1 д;у — чр.1+ лты ер „— — О. Заменяя в (100.11) р на р+1 и используя, кроме того, (100.12), мы видим, что наше равенство можно переписать в виде х е,+хр„, ь' =О, (100.
10) еде е, равно скалярному квадрату орта чр „т. е. 1, если этот орт единичный, и — 1, если он мнимоединичный. Аналогичным образом, умножая (100.10) на яре, скалярно, получаем: 480 аппарат ьасолютного диььаганцнроньния (гл. тш Это значит, что х рь и хр з равны, если орты тр, тр з разноименные (один единичный, другой мнимоединичный), и отличаются лишь знаком, если эти орты одноименные (оба вдиничныв или оба мнимо- единичные).
Обозначим: хр р„— — хр+„тогда х „= ц- х „(100.14) где знак плюс отвечает случаю разноименных, а минус — случаю одноименных ортов т,',, ч~р„. Формулы (100.10) принимают теперь окончательный ннд Рчз — „" =~ хртр,+хр,тт „, (100.15) гдг знак плюс отвечает случаю разноименны», а минус — случаю одноименных ортов ч,', „чр. В собсаеенно римановом пространстве, где все ортьь одноименные (гдиничные), в первом члене правой части всегда стоит знак минус.
Выпишем формулы (100,15) подробнее — при р= О, 1, ..., п — 1: + хамы +хата, Рчз ! Из —,=-кх ч' Рч( — з ь Р~з — = ~ хзтз йз (100. 16) Рчз-з ь = ~ х,-зтл-з+ хз-тть-з йз ь Рчз з = л- Х„-з~л-з. Это и есть формулы Френе для кривой в римановом пространстве. Коэффициентсч х, хз, ..., х„з называются первой, второй, и — 1-й кривизной кривой в данной точке. При наших предположениях они отличны от нуля. Действительно, если бы, напРимеР, хз РавнЯлось нУлю, то т',, — „, й,з . —, Разлагалнсь бы по ч'„т,', тз' н были бы, следовательно, линейно зависимы, а зто противоречит предположению, что кривая основного типа.
Кривизны хз, ..., х„всегда можно сделать положительными за счет окончательного выбора сопровождаюгцего репера. В самом леле, будем считать, что кривая задана вместе с положительным направлением отсчета дуги з (или о). Будем определять тогда орт тз' согласно (100.5) нли (100.6); остальные же орты остаются определен- 5 100) кривые В РНИАИОВОИ простРАнстве (ОИОНЧАние) 48! ными с точностью до умножения на — 1. Теперь, если в первой формуле Френе х, ) О, то оставляем орт т', без изменения; если же х, ( О, то меняем направление т', на обратное; тогда кривизна х, становится положительной.
Далее, если во второй формуле Френе х, О, то оставляем орт т', без изменения; если же х «. О, то меняем направление тв' на обратное, и кривизна ха становится положительной, и т. д. В результате мы окончательно выбираем сопровождающий репер и в то же время добиваемся того, что все кривизны х станут положительными. Заметим, что если изменить направление отсчета дуги иа обратное, то, как легко убедиться из (100.5) и формул Френе, орты т>1, тв', т>11, ... остаются прежними, а т>„А>11, чв>, ...
меняют направление на обратное. При этом подразумеваетси, что по установленному соглашению кривизны х остаются положительными (и тем самым не меняются). В качестве важного частного случая нашей теории рассмотрим кривые в евклидовом пространстве )1>ы Пространство )с, является само к себе касательным в любой своей точке (5 86), и векторы сопровождающего репера тр принадлежат самому А>„. Мы будем обозначать их и . Абсолютные дифференциалы в формулах Френе означают дифференцирование векторов т> в геометрическом смысле ($96), так что формулы Френе примут вид "1'е дв йт> — =~хи В«=то хтт„ + Хв»>е, (100.17) дте-в й * Хв-Втв-а+Хе-1~в-1 д>в-1 — -ч- х„тт„в. В частности, в трехмерном евклидовом пространстве й, = хттт д = ~хтч>е +меч>е ~ — †-~ х,тт, (100,18) дтв 1а П.
К. Решевсква В обычном прострзнстве, т. е. в собственно евклидовом >са, в последних двух формулах, как мы знаем, нужно выбрать из знаков >- знак — . Мы получаем формулы Френе в их обычной записи, где ть, т„ и †ор, направленные соответственно по касательной, главной нормали и бинормали к кривой, а х„ х, †соответствен кривизна и кручение. Обращает на себя внимание то обстоятельство, что в нашей теории х„ х» всегда положительны, в то время как обычно принято приписывать кручению ха знак -~ в зависимости от «правой» или «левой» закрученности кривой. Это связано с тем, 482 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДНФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [ГЛ.
УЩ что в нашей теории сопровождающий репер будет правым для «право-закрученной» кривой и левым для «лево-закрученной»; обыч- НО же сопровождающий репер выбирается во всех случаях правым; зто и вызывает появление отрицательного кручения х» в случае «лево-закрученной» кривой. Имеет место следующая теорема: пусть произвольным образом заданы непрерывные, положительные функции некоторого аргумента з х,(з), х,(з), ..., х„т(з), з, » з» е . (100.19) Кроме того, в какам-нибудь 77« задан ортонормированный репер (Мь, еь, ею ..., е„т), где еь, е,, ..., е„т — единичные и мнимоединичные векторы, чередующиеся произвольным образом. Тогда в этом 77» всегда существует кривая, и притом единственная, вдоль которой кривизны х, хь, ..., хч т выражаются наперед заданными функциями через длину дуги з (в случае еь= 1) или через параметр о= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
