1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 94
Текст из файла (страница 94)
В частности, первая соприкасающаяся плоскость )7, совладав~ просто с касательной. Соприкасающиеся плоскости имеет смысл рзссматривать, кончая Я„ Итсйас... с)7 с)7я,,с... с)7„,. (99.6) Действительно, Я„совпадает уже со всем касательным пространством. На данной кривой параметр т' можно выбирать по-разному, в зависимости от чего будут меняться векторы последовательности (99.5). Однако плоскости П последовательности (99.6) от етого меняться не будут, так что понятия соприкасающейся плоскости Я носит инвириинтный характер.
В самом деле, можно утверждать, Пг$' (т) что при переходе к новому параметру т каждый вектор разлагается по первым р + 1 векторам последовательности (99.5). Начнем с р=О: лхг г лх! Г (т) = — „,, Г'(() = — „,, откуда $'(ч) =$г(() 9— , ° (99.7) Заметим, что при наших предположениях относительно кривой и 472 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [гл. Тш выбора параметра на ней т будет и раз непрерывно дифференцируемой функцией от 1, равно как и обратно. Берем почленно абсолютный дифференциал: ГК'(т) =Ж(() „— д+~' я0~ —,, ° а) <(г ж Та к как — — величина скалярная, то АР— = г( — . Делим почленно дт ат Йт' на дт; Р7(т) 05'(г) lнгха ~ йхг — ) +$ (О) —.
(т лг (,лт~ атх ' (99. 8) Таким образом, $' (т) разлагается по $ (~) согласно (99.7);— ! . Ж'(т) лт И (г) разлагается по $' (1), согласно (99.8); продолжая дифференЙг цировать почленно, мы докажем наше утверждение для любого ум 1ЗРБГ (т) РМ (1) ВР %' (Г) где ОРР, а „„..., ОР а — некоторые скалярные ковффициенты, строеЙйем которых мы не интересуемся. Чтобы сделать рассуждение совершенно строгим и в то же время не затруднять себя фактическим дифференцированием до произвольного порядка р, достаточно доказывать формулу (99.9) от р к р + 1.
Тогда, беря от (99.9) абсолютный дифференциал О почленно и деля результат на г(т, ,ОР+г5Г (;) легко убеждаемся, что „, разлагается по первым р+2 векторам (99.5). Это значит, что формула (99.9) верна для номера р-)-1, если она верна для номера р, а так как для р=О (а также р =-1) она уже проверена, то в результате она установлена при любом р. Разумеется, совершенно аналогичная формула имеет место и при обратном переходе от параметра т к параметру 1. Итак, векторы 1РК (т) йРС' (т) (99.10) разлагаются по векторам АГь' (1) ВФ (Г) ЙГ ' ''' ' Л1Р (99.! 1) равно как и обратно.
Следовательно, плоскость )хр~, будет в Обоих случаях одна и та же, что мы и хотели показать. Б частности, при р =л — 1 отсюда следует, что векторы (99.5), подсчитанные для нового параметра т, Остаются линейно независи- к»иные В Риманозом пгостглистае 1'и э 99! мыми, так что наше определение кривой основного типа инвариантно относительно выбора параметра г. Рассмотрим теперь различные случаи упяощенной кривой *); так мы будем называть кривую, в каждой точке которой векторы (99,5) линейно зависимы. Нарушение линейной независимости в отдельных точках мы рассматривать не будем. Пусть при этом первые гл среди них 1»»г (г) рм-ь5«(т) 4 ()~ йг (99. 12) щ 0»сг О"$г — йг — Ж ... — Ж дт ' дт» ' ''' ' дГи и, следовательно, линейно зависят от самих этих векторов.
Обозначая для краткости векторы (99.12) через Ц, Д, ..., 3'и, мы можем записатгн Й5р —— (а»гЙгг+цЩ+... +г»~~' ) И (р=1, 2...,, гл), (99.13) тле ар« — коэффициенты соответствующих разложений; ар« —— с««(1), Составим косое произведение: (99. 14) ") Конец»того параграфа можно опустить без ущерба для поннмзаня дальнейшего. рт»»г (г) еще линейно независимы, а следующий за ними вектор — уже линейно зависит от предыдущих (в каждой точке кривой). Дифференцируя эту линейную зависимость, мы легко убеждаемся, что не гтм»»Г (Г) только „, но и последующие производные линейно зависят от (99.12), т. е.
лежат в соприкасающейся плоскости )с . Поэтому соприкасающиеся. плоскости имеет смысл рассматривать лишь от )с ло Й„: тт»сй»с... с)с . Число гл может принимать различные значения от 1 ло и — 1. Чем меньше ш, тем сильнее «уплощение» кривой. При и»=-1 «уплощение» наибольшее, и кривая, как мы вскоре увидим, является геодезической. При ш=в «уплощение» исчезает, так как тогда векторы (99.5) линейно независимы, и мы возвращаемся к основному случаю. Покажем, что максимально-мерная соприкасающаяся плоскость )т параллельно переносится вдоль кривой, т.
е. что ее векторы при параллельном перенесении вдоль кривой продолжают оставаться в э.той плоскости (разумеется, в кажлой точке кривой в своя пло» скость )с ). Абсолютные дифференциалы векторов (99.12) имеют вид 474 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ [гл. юн и вычислим его абсолютный дифференциал В первом слагаемом правой части заменяем Еф,' его разложением согласно (99.13) (при р=-1). Учитывая, что при наличии одинаковых множителей косое произведение векторов обращается в нуль, мы можем сохранить в разложении Щ лишь член с Ц, т.
е. а(э(йг. В результате первое слагаемое принимает вид а,'ь~п$,*... $™1. Поступая аналогичным образом с остальными слагаемыми в правой части (99.15), мы приводим это равенство к виду й$ГИ1 'а=(ат+аьь+... + а"') йг$'' ..' =ас(г$'г ° гм, (99.16) где мы обозначили для краткости а=а',+сс',+...
+а„, (99.17) Соотношение (99.16) означает, что лг-мерная плоскость )7~, построенная на векторах Ц, ..., Ц„, параллельно переносится вдоль нашей кривой. В самом деле, ш-вектор $'' . 'а всегда можно пронормировать так, что его абсолютный дифференциал будет равен нулю. Для этого ушюжим (99.16) почленно на скалярную функцию <р(1)=е+~~ ~0. Так как слр(г) =йьр(1)= — е ° сс(1) д(, то получаем: - Гам>лс р(1) Г)~''" -= — Ир (() 8 "'- откуда Г) «р «) ~г .' (~)) = О, (99. 18) так что и-вектор Гр(Г) Э' .' (Г) параллельно переносится вдоль нашей кривой. Г!усть теперь Ч' †вект, также параллельно переносимый вдоль нашей кривой. Тогда альтернированное произведение Чь '"'= р С1' А йи (99.19) будет также параллельно переносимым т+ 1-вектором.
Отсюда еле. дует, что если т)' . 'а' равно нулю в одной точке кривой, то это же имеет место и в любой ее точке. Но обращение ц' 'а' в нуль означает согласно (35.13) линейную зависимость вектора т)' от век- $ 100] кРивые В РимАнОВОМ пРОстРАнстВе (окончание) 47О ~оров Д, ..., $', т. е. принадлежность Ч' нашей плоскости ]т' . Таким образом, если параллельно переносимый вдоль кривой вектор т(г принадлежит ]т в одной гочка кривой, то это жг имеет место и а любой ге точке. Это свойство мы и имеем в виду, когда говорим, что плоскость ]с параллельно переносится вдоль кривой.
Наше утверждение доказано. В частности, когда и=1, параллельно переносится касательная»с'„т. е. всякий вектор т(, касательный в данной точке кривой, остается касательным и в процессе параллельного перенесения вдоль кривой. Но зто есть определение геодезической линии, которая, таким образом, является наиболее «уплощенной» из всех кривых в У„.
В случае, когда в качестве Р'„ берется евклидова пространство Йю уплощенная кривая просто лежит в своей соприкасающейся плоскости тс , общей лля всех точек кривой. й 100. Кривые в рнмановом пространстве (окончание) В атом параграфе мы ограничимся кривой основного типа, причем будем предполагать, кроме того, что в каждой ее точке М все соприкасающиеся плоскости А',с]сяс... с]сяс]ср,с...
с]сп х (100.1) являются нгизотропными плоскостями е касательном евклидоеом пространстве й„. В случае собственно риманова пространства зто условие соблюдается автоматически. При этих предположениях с каждой точкой кривой можно естественным образом связать ортонормированный репер, А именно, выбираем единичные или мнимоединичные векторы (100. 2) т«~ т» ° ° > ТР-ы ТР~ 1 тл-» следующим образом: напРавлен по касательной Йт и совпадает, следовательно, ил~ с пронормированным касательным вектором — ; йг ' т', построен в двумерной плоскости Я ортогонально к тс,: тр построен в Я , ортогонально к тср, т„' , ортогонален к Я„ д.
В каждом случае идет речь о построении в евклидовом прострзнстве ]с , направления, орта~онального к его гиперплоскости Я , Р' что выйолняется единственным образом. Вследствие неизотропно- 476 АППАРАТ АВСОЛЮТНОГО ДНФФВРВНЦИРОВАНИЯ [гл. Тш Вычислим длину дуги нашей кривой от некоторой начальной точки 1е до переменной точки 1 по формуле (85.10): йх' дхт Пусть сначала подкоренное выражение остается все время положительным. Тогда кривая имеет вещественную длину, и при 1~1 мы получаем положительные значения з, прн 1 С 1 — отрицательные.
йз Так как производная — все время положительная то зависимость йг в=5(1) допускает обращение, и з можно принять за новый параметр вдоль кривой. Тзк мы и поступим, Положительное направление отсчета дуги з такое же, как и первоначального параметра 1, т, е. выбирается по существу произй г вольно. Касательный вектор - — будет единичным, так как его ска- 45 парный квадрат имеет внд йх' Ихт е — — — 1. гй йз йг (100.4) сти Й„это направление будет также неизотропным и гиперплоскости тт не принадлежит (2 41). Вектор т', идущий в этом напрзвлении, может быть, следовательно, пронормирован, т. е, умножением на подходящее число сведен к единичному или мнимоединичному вектору. После этого он будет вполне определен с точностью до умножения на — 1. Поскольку тр ортогонален к Я , то он ортогонален ко всем предшествующим векторам т'„..., тр' „а значит, векторы (100.2) вообще попарно ортогональны, а так как, кроме того, они пронормироваиы (единичные или мнимоединичные), то мы получаем вполне определенный (с точностью возможных замен тр на — тр) ортонор55арованный репер, связанный с каждой точкой нашей кривой.
Его мы будем называть сопровождающим репером нашей кривой. Очевидно, векторы т'„т'„..., тр при любом р=0, 1, 2, ..., л — 1 определяют соприкасающуюся плоскость лс т. Прямые, проходящие в касательном пространстве гт„ через данную точку кривой в направлениях ортов т'„тч', ..., Р„' „мы будем называть 1-й,2-й, ..., п — 1-й нормалями к нашей кривой. Орт тгг направлен по касательной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
