1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Что касается параллельного перенесения тензорои, то оно легко определяется на основе параллельного перенесения векторов, как будет показано в ближайшем параграфе. Тензорная алгебра, дополненная аппаратом абсолютного дифференцирования, образует тензорный анализ, 9 95. Пврвллельное перенесение тевзоров в т.„ Пусть пространство аффинной связности ь„ отнесено к коорлннатной системе х', и пу=ть в некоторой точке М задан тензор, например, Ц', Мы знаем, что координаты этого тензора относительно координатной системы х' можно Рассматривать в то же время и как его координаты относительно локального репера (М, еы ..., е„ ) в касательном пространстве А„ в точке М (8 82). 9 95) пАРАллвльнов пеРвнесеиив тензоРОВ В с и 449 Зададимся в А„аффинным репером ( М, $„..., $„), где й„„., в суть и произвольных линейно независимых векторов.
Если координаты вектора йй обозначить Ц, то, очевидно, йй = ЯАЕ/, (95.1) так как координаты вектора фй в координатной системе х' суть в то же время его координаты относительно соответствующего локального репера (9 82). Вообще при переходе от одного аффинного репера к другому тензор Ц~ преобразуется по закону Я~1; = А('А//'А//,Аш~,(/(/, (95. 2) причем ег =А',еп а' /' / (95.3) Мы хотим в записи закона преобразования ограничиться лишь матрицей А,', и не прибегать к обратной матрице А",. Для этого умножаем соотношение (95.2) почленно на АРА/и и производим суммирование по /', у'.
В правой части получим: АР,АР=5», А',А'=5,'/, /'/ /а так что АРРАе/.и//', = 5Р54А(АД//;/ - А(А,иР; /' /'ш' / / Р си' Ои Р т' р и окончательно, меняя для симметрии обозначения индексов суммирования /', /' на р', д', получим: АР,АР. Щ: = А(.А~ (/ре. р' р' г ' (95.4) В результате закон преобразования (95.2) записан с участием лишь одной матрицы А( зато в виде, не разрешенном ни относительно старых, ни относительно новых координат тензора. Ясно, что, обратно, соотношения (95.4) влекут за собой (95.2); чтобы убедиться в этом, достаточно умножить (95.4) почленно на Ар'А/' и произвести в левой части свертывание по р, с/. Для примера мы взяли тензор, два раза ковариантный и два раза контравариантный; но запись (9о.4) применяется очевидным образом и для тензора произвольного строения/ в левой части пишется по одному множителю вида А,'' для каждого верхнего, а в правой †д каждого нижнего индекса.
Возвращаясь к нашей задаче, обозначим через (/рр координаты тензора //(' относительно репера (М, й„ ..., 5„), Когда мы переходим к этому реперу от локального репера (М, еы ..., е„) 15 П. К. Рашевский 450 лпплглт лвсолютного диеьаганпигования (гл. тш согласно (95А), роль матрицы А,', играет матрица я(. Повтому закон преобразования (95.4) принимает вид р'ц щ . —5г~, и,".. (95.5) Так связаны координаты тгнэора Ц' в координатной системе х' с его координатами Щ относительно произвольного репера ( М, яы ..., $, ) в касательном пространстве А„.
Допустим теперь, что векторы этого репера параллельно переносятся, в то время как точка М описывает некоторый путь в ь„. Мы будем говорить, что тенэор Щ~ параллельно переносится вдоль данного пути, если оя задается а каждой точке этого пути и притом так, что его координаты О" ,относительно параллельно переносимого репера сохраняют постоянные значения: уэч = сопзц (95.6) Это определение параллельного перенесения тензора не зависит от выбора параллельно переносимого репера (М, Ц, ..., я„ ).
В самом деле, пусть (М, йп., , $„,] †друг репер, параллельно переносимый вдоль того же пути в Е„. Разлагая векторы йп по векторам Ц, $г = АДп й~ ~~~(уэч+~~~ йЦУх — йЯ,'Ч/)~ + ЦЩЦ~ + Щ, Щ' . (95.7) мы замечаем, что А,'. остаются постоянными, так как в процессе параллельного перенесения линейные зависимости между векторами сохраняются (9 89). Повтому, записывая ззкон преобразования (95.2), убеждаемся, что бээ' остаются постоянными вместе с Огч и А,'ч т.
е. наш теизор имеет постоянные (хотя и различные) координаты относительно любого параллельно переносимого вдоль данного пути репера. Таким образом, определенное нами параллельное перенесение тензора совершается вдоль данного пути строго единственным образом. В частности, если в данной точке тензор был равен нулю, то в результате параллельного перенесения ои, очевидно, остается равным нулю. Теперь выясним, как записать закон параллельного перенесения тензора, заданного своими координатами Ц'.
относительно координатной системы х'. Для втой цели дифференцируем почленно соотношение (95,5) вдоль рассматриваемого пути, учитывая пой;;. и 451 плрхлляльиое перенесение твнзоров В 7- $95) Так как все векторы репера переносятся параллельно, то (95.8) Прежде чем вставлять это выражение для акр в предылущую формулу, можно сделать предположение, сильно упрощающее выкладку. Предположим, что параллельно переносимый репер ( М, Ц, ..., 5„) выбран так, что в той точке пути, в которой в данный момент производится дифференцирование, он совпадает с локальным репером (М, е,, ..., е„ ).
Мы знаем, что на параллельном перенесении тензора это не отразится. То~да в данной точке в силу совпадения реперов мы имеем »7Н = Уг(; кроме того, как видно из (95.1), с» = б», и (95.8) принимает вид ~$ Г~„йх . (95.9) Аналогичные упрощения за счет Ц = б'„произойдут и в (95.7), так что (учитывая (уа = (/Д) получим: Заменяем здесь сфр и т. д. согласно (95.9). Это лает нам — т), йх'иЯ вЂ” рГ, йх»и;» = — р(, йх»и,",— рд йх»(7г) + й(7гт. Выражая отсюда Н/с»Г, вынося йх за скобку и обозначая все индексы суммирования (кроме )г) через р, получим окончательно: й(7Я = ( — Г(,(7Р,' — Г1,Ц;+ РР,(7,'г, + Г„ин, ) йх". (95.
)О) Мы получили дифференциалы координат параллельно переносимого вдоль данного пути тензора Ц,', выраженные через сами координаты этого тензора и, конечно, через дифференциалы координат точки и объект связности. Координаты тензора берутся теперь относительно лишь координатной системы хс (т.
е. локального репера); параллельно переносимый репер сыграл свою роль и больше ни в чем не участвует. Запутанность полученной формулы лишь кажущаяся; в действительности она составлена строго законолгерно и по простой схеме. А именно, каждому верхнему индексу тензора (например, 1) в правой части формулы отвечает определенный член (в данном случае первый), составленный следующим образом: данный индекс переходит на обьект связности, причем на освободившееся место ставится индекс суммирования (в данном случае р), который свертывается со вторым индексом внизу у объекта связности.
Ос~альные индексы у тензора переписываются без изменения. Первый индекс у объекта связности (в нашем случае 7») всегда свертывается с дифферен- 15в 452 АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО Ш!ФФЕРЕНЦИРОВАННЯ [ГЛ. ЧН! пиалами координат точки. Все выражение берется с обратным знаком. В нашем примере тензор имеет два верхних индекса, и в правой части формулы мы получаем два отвечающих нм по этому правилу члена.
Но весь проделанный нами вывод дословно повторяется н для тензора с любым числом индексов наверху, причем в правой части формулы появляются составленные по указанному правилу члены по одному для каждого индекса. Для каждого нижнего индекса (например, г) в правой части формулы также нл!еется соответствующий член (в данном случае третий), составленный по несколько иному правилу.
Данный индекс переходит на объект связности на второе место внизу; на освоболившееся место ставится индекс суммирования (в нашем случае р), который свертывается с верхним индексом объекта связности. Остальные индексы у тензора переписываются без изменения. Первый индекс у объекта связности по-прежнему свертывается с дифференциалами координат точки. Все выражение берется со своим знаком. В нашем случае мы имеем в правой части два члена такого типа соответственно двум нижним индексам. Но весь вывод повторяется и при любом числе нижних индексов. Поэтому на (95.10) нужно смотреть как на схему записи дифференциалов координат любого параллельно переносимого тензора. Эта схема станет более отчетливой, если выделить два основных случая: когда параллельно переносимый тензор один раз контраварнантный ((У') и когда он один раз ковариантный (У,). В первом случае в правой части формулы (95.10) мы помещаем лишь один член, отвечающий индексу с: й(Р = — Г(,ие йхь.
(95.11) Мы, как и следовало ожидать, вернулись к формуле параллельного перенесения вектора У!. Во втором случае в правой части формулы (95,10) нужно поместить лишь один член, отвечающий нижнему индексу йи, = тэыи, йхь. (95.12) Такова формула параллельного перенесения один раз ковариантного тензора (ковектора). Если теперь вернуться к общей схеме (95.10), то можно сказать, что для каждого верхнего индекса параллельно переносимого тензора в правой части формулы составляется член согласно (95.11), а для каждого нижнего индекса — согласно (95.12), в обоих случаях так, как если бы данный индекс был единственным; при этом нужно лигиь приписывать каждый раз остальные индексы без каких-либо изменений по сравнению с левой частью.
453 авсолютный диевегенциал Таким образом, в общем случае формула (95ПО) будет иметь вид + Г,'„У,",,*;;.,'",+... + Г,'„,У';,',*;; ',") (х». (96лз) В частности, когда теизор лишен индексов, т. е. представляет собой просто инвариант У, в правой части не будет ии одного члена, и формула принимает вид г(У= 0, т.
е. У сола(. Параллельное перенесение иннарианта, как и следовало ожидать, сохраняет его численное значение. 9 96. Абсолютный дифференциал н абсолютная производная Пусть точка М в пространстве аффинной связности Е„ пробегает некоторый путь х' = х'(1), (96.1) причем в каждой точке этого пути задан тензор определенного строения, например Щ: уп=ул,р), (96.2) Другимн словами, нам задано тензорное поле, по крайней мере, вдоль данного пути. Как обычно, функциональные зависимости предполагаются непрерывно дифференцируемыми.
Переходя из данной точки пути г в его бесконечно близкую точку 1 +И, мы находим в ней тензор поля с координатами уп(~+и) = уд(~)+ уил,(~). (96.3) Здесь мы пренебрегли бесконечно малыми высшего порядка относительно лг, заменив приращения функций Уг((1) их дифференциалами. С той же степенью точности мы будем вести выкладку и далее. Однако, желая оценить, насколько изменился тензор поля Ц,'(1) при переходе нз точки 1 в точку 1 +Н, мы не должны ориентироваться на дифференциалы его координат НУЯ (1), В самом деле, Щ и Угг+Ж/Я вЂ э тензоры, заданные а разных точках, именно 454 АННАРАт АЙООлютного диФФеРенциРОВАния [Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
