1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Дело в том, что зтн геодезические, исходящие из разных точек У„ ы могут пересекаться между собой, так что различным пзраметрам и', э может отвечать одна и та же точка Т.. Чтобы обеспечить взаимную однозначность соответствия между параметрами и', з и точками рассматриваемой области, ее, возможно, придется ограничить не слишком обширной окрестностью гиперповерхности У„ ы В общем случае можно утверждать лишь, что в некоторой окрестности яюбой точки гиперповерхности У„т переменные и", з способны служить координатадх' дх' ми в У .
В самом деле вычислим частные производные— ч' дй' дз функций (102.3) в точке М на У„т (т. е. при з 0). В силу дх' дх' дх' общих предположений (102.2) векторы —,, —,, ..., — „,— направляющие векторы касательной гиперплоскости — линейно независимы между собой. Кроме того, направленный по нормали и, следовательно, ортогональный к ним единичный вектор 1 дх' дз также от них линейно не зависит. Следовательно, определитель, дх' дх' дх' образованный координатами векторов — ..., =, — будет ди'' '' ' дич т' дз ю 498 ю!плтлт Аьсолютного дичаееенцитоалнин [Гл.
чп! отличен от нуля дх' дх» дхь ди' ди' ' ' ' ди' дх' дх» диь -! ди« =! дх! дх» д« дэ дх» ди»=! дхь дэ Это показывает, что зависимость (102.3) обратима, по крайней мере, в некоторой окрестности рассматриваемой точки Л, так что и', ..., и" ', г можно выразить однозначными непрерывно дифференцируемыми функциями старых координат х!. В результате переменные иг, ..., и" ', г, по крайней мере, в этой окрестности можно принять за новые координаты. В дальнейшем мы перейдем к координатам иг, ..., и" г, г; будем обозначать их просто х', ..., х" ', х".
Очевидно, эти координаты обладают следующими свойствами: координатные линии х" суть геодезические, вдоль которык хк служит длиной дуги (или, е случае мнимого г, параметром о), причем эти геодезические ортогонально секут координатные гиперпоееркности х" = сопз1.
Дейст. вительно, гнперповерхности г= сопз! геодезически параллельны между собой, а координатные линии х" служат нормальными к ним геодезическими. Координатную систему х! с указанными свойствами мы будем нззывать полугеодезической. Полугеодезическую систему координат мы получим, в частности, следующим образом.
Выберем какую-нибудь точку Уь и рассмотрим выходящие из нее геодезические вещественной длины. Эти геодезические ортогоиально пересекзют геодезические гиперсферы вещественного радиуса с центром в Уь. Рассмотрим на одной из этих гиперсфер какую-нибудь область, отнесенную к параметрам и', ..., и" ', и к этим же параметрам будем относить геодезические, соединяющие центр гиперсферы с точками рассматриваемой области. При этом мы берем геодезическую каждый раз лишь по одну сторону точки 1', т. е. рассматриваем геодезические лучи, исходящие из точки У . Положение произвольной точки В на геодезическом луче мы будем характеризовать длиной дуги г = У«Е. Очевидно, что тогда переменные и', ..., и" т, г образуют полугеодези«ескую систему координат е области, заполненной рассматриваемыми геодезическими лучами, т.
е, ео внутренности некоторого «геодезического гиперконуса» (точка У, исключается), Впрочем, нужно еще оговорить, что все построение происходит в достаточной близости точки У, чтобы исходящие из У геодезические лучи не могли иметь общих точек кроме Уы Разумеется, аналогичное построение можно произвести и с геодезическими мнимой длины. 6 103) полугеодезические коотдиилтные системы 499 Выясним строение метрического тензора еь в произвольной полуггодезической координатной системе.
Пусть йх' и 6х' †векто бесконечно малых смещений из какой-либо точки А соответственно по координатной линии х" и по гиперповерхности х"= сопя(. Тогда йхт=... =йх" '=0; бх"=О. (103.2) В силу ортогональностн координатных линий х" и гиперповерхностей х" = сопз( скалярное произведение векторов йхг, бхг должно давать нуль; йг йх'бхй= О, т. е (А„тбхт+К„тбхт+... +й„, „,6х" ') йх" = о. Так как ах" ~0, 6х', бхз, ..., 6х' ' произвольны, то получаем: й„т=й„я= ..
=Р„,„,=О (103.3) Очевидно, зто условие, обратно, достаточно для ортогональности координатных линий х" гиперповерхностям хь= сопз1. Далее, записывая общее выражение линейного элемента йз = й'гг йх йх и применяя его для бесконечно малого смещения вдоль координат- ной линии х", получаем: йэь = й„„(йх")з, а так как вдоль линии х", в случае вещественной длины, йэ=йх", то окончательно (103. 5) Итак, в полугеодезической координатной системе координаты метрического тензора подчинены условиям (103.3), (103.5), так что линейнсчй элемент принимает вид йэт=й,вйх"йха+дх"* (а, ()=1, 2, ..., и — 1). (103,6) В случае, когда координатные липин х" †геодезическ мнимой длины и х" играет роль параметра о вдоль них, мы приходии к тем же результатам с той лишь разницей, что условие (103,5) имеет вид е„ч = — 1 и соответственно в (103.6) вместо йх" стоит — йх"'.
Обратно, указанное строение линейного элемента, т. е. соблнэ дение условий (103.3), (103.5), достаточно для того, чтобы данная координатная система хг была полугеодезической. В самом деле, условие (103.3) означает, что координатные линии х" ортогональны к координатным гнперповерхностям х'=сопя), 500 АппАРАт лвсолютного диаевгвнциговяния [гл, шп з из условия (103.5) следует, что вдоль линий х» йэз я» (йх»)э йх»* т.
е. йх" совпадает с дифференциалом дуги, и х" служит длиной дуги. Остается показать, что линии х' — геодезические. Для этого выпишем дифференциальные уравнения геодезических (101.1): йзхь ь йх' йхт — = — Г,— —. йэз йэ йэ (103.7) Подсчитаем коэффициенты связности вида Г»„. Пользуясь соотношением (94.8), пишем: 1 7дйы дй»» ду»» ~ Г, = — ~ ~— + — — — )=о, 2 ( дх" дх" дхг ) так как 3",ю е„„ суть константы (О или 1). Далее, согласно (94.6) (103.8) Теперь нетрудно проверить, что линии х" будут геодезическими, т. е. для этих линий удовлетворяются дифференциальные уравнения (103.7). Действительно, вдоль линий х" мы имеем э= х" и следовательно, йхь (О (й=1, 2...,, и — 1), (103.9) дэ )(1 (Й=п), йэхь так что —,=О.
Правая же часть уравнения (103.7) в силу (103.9) принимает вид Г"„„, а значит, тоже равна нулю. Уравнения (103.7) удовлетворяются, и наше предложение к» доказано. Аналогично обстоит дело и в том случае, когда линии х" мнимой В длины и условие (103.5) имеет вид б »» Мы установили ($101), что нензотропл ные геодезические — линии стационарной длины. Естественно поотавить вопрос, ж» не будут ли они линиями экстремаль- ной длины наподобие прямых в обычном Рис. Ю.
пространстве, которые дают кратчай- шее расстояние между двумя точками, Рассмотрим сначала собственно риманово пространство, отнесенное к полугеодеэической координатной системе, так что линейный элемент имеет вид (103.6). Так как линейный элемент йэз в нашем случае положительно определенный, то, в частности, он будет положительно определенным и на гиперповерхности х"=сопз1.
При этом йх"=О, н мы % 103) полугеодезические кООРдинАтные системы 501 получаем: дз'=У„адх" йха> 0 (а, у=1, 2, ..., и — 1), (!03.10) если только дх" не обращаются в нуль одновременно. Покажем, что всякий отрезок АВ геодезической линии х" короче любой другой кривой АВ, соединяющей его концы (и лежащей в той области, где определена наша полугеодезическая координатная система; рис. 20).
Длина отрезка АВ геодезической х" равна, очевидно, х"„— хл, где хл (хв — значения координаты х" в точках А и В. Проведем теперь произвольную другую гладкую кривую АВ, соединяющую те же точки А, В. Вычислим ее длину — )/д дх" д ха+ дхы лв Интеграл берется по кривой АВ, причем предполагается, что она отнесена к какому-то параметру 1, который нет надобности явно выписывать. В силу (103.10) у' у йх' дхт+ йх"* > ) йх" ), (103.11) причем хотя бы на отдельных участках имеет место знак > (иначе дх"= — О, и кривая АВ совпадает с отрезком АВ геодезической х"). В результате 3) 3)дх )~)() дх лв Последнее неравенство написано в силу известного свойства опре- деленных интегралов.
Так как йх" =ха — хл > О, то окончательно получаем: (103.12) З) Хн — Хл что мы и хотели показать. Таким образом, отрезок геодезической АВ действительно дает кратчайшее расстояние между точками А, В по сравнеииго с кривыми АВ, лежащими в некоторой окружающей его области, если только его можно включить в координатную линию х" полугеодезической координатной системы, А между тем это не всегда можно 502 лпплеьт авсолютного диаэвгэнциговкнии [гл.
юп сделать. Действительно, пусть геодезический отрезок АВ нам задан. Чтобы построить полугеодезнческую координатную систему, в которой данный отрезок принадлежал бы координатной линии х", естественно поступить так. Проводим какую-нибудь гиперповерхность )т„ , через точку А ортогонально к геодезической АВ. Разумеетси, условие ортогональности определяет лишь касательную гнперплоскость к У„ , в точке А; в остальном )т„ , проводитсв произвольно. Примем гиперповерхиость )т„ , за исходную дли построения полугеодезической координатной системы х', ..., х" ',х" = ит, ..., и" ', э; нормальная к )т„ , геодезическая АВ включится в число координатных линий х", Однако, как мы знаем, переменные ит, ..., и" т, э наверняка дают полугеодеэичегкую координатную систему лишь в некоторой окрестности точки А; пРн дальнейшем пРодолжении ноРмальных к (т„т геодезических оии, возможно, начинают пересекаться и тем самым становятся неспособными служить координатными линиями х".
Поэтому мы не можем утверждать, что обязательно весь отрезок АВ включается в координатную линию х" нашей полугеодезической системы; это можно утверждать лишь дли некоторого отрезка АВ', составляющего часть отрезка АВ. Тем самым, нг вгркий вообще отрезок геодезической дает кратчайшее расстояние между своими концами хотя бы в некоторой окружающей его области; но всякий отрезок геодезической, отложенньги от произвольно взятой ге точки А и не слишком большой по длине, этим свойством обладает. Дли более точной оценки тех пределов, в которых можно менять длину это~о отрезка, необходимо было бы прибегнуть к более тонким методам вариационного исчисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
