1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 111
Текст из файла (страница 111)
о, (113.15) Итак, е риманоеык координатак у' фунг ции Гь (ут, ..., у") удовлетворяют и соотношениям (113.15). Соотношения (113.15) являются и достаточными для того, чтобы координаты у' были риманоеыми, Действительно, пусть эти соотношения имеют место. Рассмотрим кривые, определяемые параметрическими уравнениями ! $ь, (113.16) где т †некотор параметр, а $' †произвольн постоянные (не равные нулю одновременно). Мы утверждаем, что зги кривые будут геодезическими.
В самом деле, подставляя у' = $'т в дифференпиальиые уравнения геодезических, получаем: Перепишем это равенство, пользуясь (113.16) (и исключив точку М„, так что т ~ О): О= — —, Г„уу. 1 564 (гл. юх тензог кгивизны Так как геодезические у'=$'т проходят через М, по любому направлению, то $' можно брать в этом случае произвольно, и мы получаем тождество относительно 1'. учитывая, что в ьь Г, =Гго и мы должны аннулировать коэффициенты, т.
е. положить: (гьи), = о. Это и значит, что координаты у — геолезические в точке М,. Обра~ное, конечно, неверно: рнмановы координаты гораздо более специализированы и выбираются с гораздо меньшим произволом, чем геодезические координаты. Все сказанное выше будет справедливо, в чзстностн, для рима- нова пространства )l„. Но при этом можно сделать ряд добавлений. Для геодезических вещественной длины, проходящих через начало М , в качестве канонического параметра т можно брать длину дуги г, отсчитываемую от Мь.
Тогда формульз (113.5), оаределяюи(ие романовы координаты у', примут вид „с ььг (113. 17) (113.18) где — единичный касательный вектор к геодезической в начале М . Для геодезических мнимой длины, проходящих через Мь, можно положить; т=о(= —,. ), и наши формулы примут вил у' = $'о, (113. 19) )ч(ы получили тождество, так как соотношения (113,15) у нас соблюдзются. Итак, кривые у' = $'т — геолезические, отнесенные к каноническому параметру т. Так как й' †произвольн константы, то это будут геодезические, проходящие через начало Мр во всевозможных направлениях.
Но мы уже знаем, что когда уравнения таких геолезических имеют вид у' =$'т, то у' — римановы координаты. Тем самым наше утверждение доказано. Римановы координаты всегда являются в то же время геодезическими координатами относительно своего начала Мь. Для доказательства достаточно рассмотреть соотношение (1 13.14) в точке М,: й 113) 563 гимановы коогдинзты где (1 13.20) — мнимовдиничный касательный вектор к геодезической в точке М,.
Лишь для изотропных геодезических канонический параметр т остается по-прежнему неспециализированным. Дли простоты ограничимся собственным римановым пространством, когда все геодезические вещественной длины; формулы (1!3 17) можно считать уравнениями исходящих из М геодезических в рима- новых координатах. Так как з' в (113.17) — елиничный вектор в точке Ма, то 1 = уггй'. (113.21) Здесь амтв метрический тензор в точке М .
Заметим кстати, что координаты всех тензоров в точке Ма не меняются при перекопе от первоначальных координат х' к соответствующим римановым координатам у'. Это легко слелует из (113.9). Умножая (113,21) на з', получаем: зз за Гуу (113.22) р,,ду'буу= О, где уу вычислены в точке М. Так как согласно (113.17) дуг= ~'дз, то отсюда следует: у,.обут= О.
(113.23) Таким образом, квадрат геодезического расстояния з=М М выражается квадратичной формой от римановых координат у точки М с козффинигнтами Щ. Полагая здесь з= сопят, мы получаем уравнение геодезической гиперсферы в римановых координатах. В самом деле, геодезическая гиперсфера с центром в Ма строится следующим образом: по всем геодезическим, исходящим из Ма, мы откладываем отрезки М М постоянной длины з~ 0 и рассматриваем геометрическое место их концов М.
При этом геодезические, исходящие из Ма, ортогонально пробивают гиперсферу ($ 102). Используем этот результат, чтобы охарактеризовать метрический тензор дг в римановых координатах. Пусть бу' обозначают дифференциалы координат у' прн произвольном бесконечно малом смещении из данной точки М по гиперсфере, а дуг †геодезической М М.
В силу ортогональности геодезической к гиперсфере векторы бу н дуг всегда ортогональны, так что (гл. Нк тензоР кРизизны (: другой стороны, дифференцируя почленно (1 13.22) при бесконечно малом смещении по гиперсфере (э= в сола!], мы получаем: О = 2уоу~бут откуда после деления на 2е следует; кяМ= о. (113.24) Так как бут связаны лишь втой линейной зависимостью, вытекающей из уравнения гиперсферы, то линейная зависимость (1!3.23) должна быть ее следствием. Это означает пропорциональность коэффициентов К175 = "чт)гя (!13.25) где 7 †коэффицие пропорциональности, Нетрудно обнаружить, что й = 1.
Для этого достаточно свернуть полученное равенство с й) почленно. Получим: к;,Й'= М;Й'. Так как вдоль геодезической (113.17) касательный вектор д ! дэ Ну является в каждой точке Л4 единичным, то (113.26) Учитывая, кроме того, (113.21), получаем, что 1= 1. Теперь (113,25) принимает вид (113.27) т. е. вдоль геодезической (113.17) остаются постоянными не только В', но и $7=вг $. Умйожая почленно на э, получаем окончательно: КПУ = А~У ° (1 13.28) Итак, функции р,, (ут, ..., у"), вычисленные в римановых координатах, тождественно удовлетворяют и соотношениям (113 28) (где альт = дг (О, ..., 0)). Покажем, что эти соотношения являются и достатодчными для того, чтобы координаты у' были римановыми.
В самом деле, пусть в некоторой координатной системе соотношения (113.28) имеют место, Покажем, что в этом случае имеют место и соотношения (113.15), откуда и будет следовать, что координаты уг римановы. 8 113) 567 Рнмановы ИООРдинАты дифференцируя (113.28) по д" почленно, получим~ ддд дд" д ааl Свернем полученное равенство поочередно с дд и да. Полу<им соответственно; дд;, — д'д~= О, дд ддп — дд =О. дд" (113.29) При этом мы отбросили в правой и левой частях члены, равные в силу (113.28). Последнее равенство перепишем два раза с другими обозначениями индексов: дд„, г, —. дгд '= О. дд' д д'" д'ду= о, ддз Складывая полученные равенства почленно и вычитая из них первое из (113.29), мы приходим (в силу (94.8)) к соотношению Раыуд'д =О.
/ Поднимая индекс Й при помощи метрического тензора, мы возвращаемся к (113.18), Требуемое доказано. Мы упоминали о связи рнмзновых координат с полугеодезическими. Эту связь легко обнаружить, если ввести новые переменные г д1 д д а а-т а а > 1 а прелполагая, что мы ограничиваемся областью, где д" > О. Очевидно, вдоль геодезических, исходящих из начала М , значения и', ..., иа ' остаются постоянными, и обратно, эти геодезические вполне определяются значениями и', ..., и" '. Присоединим к параметрам г~ и', ..., и" ' еще путь г=М М) О, пройденный по геодезической из М в произвольную точку М (в области д" 0). Тогда и',..., и"-1, з в совокупности определяют положение точки М и являются частным случаем полугеодезических координат (8 103).
Разумеется, все сделанное в этом параграфе может быть повторено (с соответствующими оговорками и уточнениями) и для псевдориманова пространства. тензоР кРивизны 568 (гл, ~х й 1!4. Кривизна риманова пространства в данной точке и данном двумерном направлении как кривизна геодезической поверхности Мы дздим еще одно геометрическое истолкование кривизны многомерного пространства 1г„. Для простоты ограничимся собственно римановым случаем, Берем какую-нибудь точку М, и двумерную плоскость А, через нее проходящую, т.
е. множество векторов, линейно зависящих от двух, неколлинеарных векторов, заданных в точке М . По направлению каждого такого вектора проведем через Ма геодезическую. Геометрическое место этих геодезических дает двумерную поверхность % , которая называется геодезической поверхностью с центром Ма (рис.
30). Рнс. зо, Очевидно, что Й)я имеет А, каса- тельной плоскостью в точке Ма. Вычислим в точке М кривизну л)(з как двумерного риманова пространства. Мы утверждаем, что эта кривизна совпадает с кривизной пространства 1"„ в той же точке в направлении плоскости А,. Воспользуемся рймановыми координатами х' с началом в точке М (9 113). В них, как известно, уравнения геодезических имеют вид х'= $'а, где $' — единичный касательный вектор в точке М,. Так как рима- новы координаты в точке Ма будут и геодезическими, то имеем: (Гьп), =- О, и значит (согласно (94.5) и (94.7)): (114.
1) Возьмем теперь в качестве Аа плоскость векторов с координатами (4г, $а, О, ..., 0), где $', $' произвольны, Все эти векторы линейно ззвисят от двух из ких, например, от (1, О, О, ..., 0) и (О, 1, О, ..., 0). Такой выбор А, не нарушает общности выводов. В самом деле, линейным преобразованием с постоянными коэффициентами х" а",х Р мы переводим римановы координаты снова в римановы. В то же время этим преобразованием всегда можно добиться, что любые два вектора 569 КРИВИЗНА 1'„ 1<АК КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ $114) получат координаты (1, О, О, ..., 0) и (О, 1, О, ..., 0), и следовательно, построенная на них плоскость А, превратится в плоскость векторов с координатами Я1, $4, О, ..., 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
