1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Эта гилерловерхность определяется с точностью до движений в 77„. Характер самого 77 определяется тем, что в его ортонормированном репере по сравнению с ортонормированным репером в У„ , будет на единицу больше единичнык векторов, если в (117.2) имеет место знак +, и мнимо- единичных векторов, если имеет место знак — .
Переходя к доказательству, предположим сначала, что искомап гиперповерхность существует. Отнесем евклидова пространство 77 к аффинным координатам х' В таком случае во всех точках [гл. ~х тензоР кРиаизны Перепишем уравнения (116..10), (116.11): и г Унт = '+ Ьняа Ф Ч.М = Ь.вт' (И7.7) Вследствие Г"„= О в составе абсолютных производных выпадают члены, отвечающие индексу й дт! г д$а дин ' дик на а' (117.8) Будем рассматривать в уравнениях (117.7) т', яр как неизвестные функции от и', ..., й '. Тогда, записывая абсолютные производные в развернутом виде (117.8), мы убеждаемся, что все остальные функции, входящие в уравнения, т. е. Ь а, Ьк, Г~а, нам известны, так как выражаются через заданные нам по условию теоремытензоры Оаа, Ь,я. Условия интегрируемости системы (117.7) мы первоначально излучили в виде (116,16),(116.! 6), но учитывая, что сейчас у нас Г~;=О, а следовательно, и Йаь р1= О, мы получаем упрощенные условия интегрируемости (117,2), (117.3).
По условию теоремы нам дано, что они удовлетворяются, и притом, очевидно, тождественно относительно неизвестных функций т', $я (поскольку зти функции вовсе в них не входят). В результате система (117.7) является вполне интегрируемой, т. е. допускает решение с произвольно заданными начальными значениями неизвестных функций $а = — ($а)а, т г = (тг)а при и'= и~а, (117.9) где йа †произволь выбранная точка области изменения переменных и".
В силу общей теории можно утверждать существование решения лишь в некоторой окрестности начальных значений аргументов иса. Но учитывая, что система (117.7) является сверх всего прочего линейной (относительно неизвестных функций и их производных), можно показать, что решение, определяемое начальными значениями (117.9), существует во всей области изменения переменных и', ..., и" '. При этом игРает важную роль односвязность пРостРанства Р'„ т(а следовательно, и области изменениЯ и',..., и" '), оговоренная в условии теоремы. Действнтельио, в противном случае решение могло бы оказаться многозначным, т. е. зависеть в некоторых случаях от пути перехода из начальной точки йа в произвольную точку и".
В случае односвязности )г„ х два любых таких 587 теОРЙЯ Гипегповеехиостей 1' х В Й» 117) пути можно непрерывным образом перевести один в другой, а при этом для вполне интегрируемой системы значения искомых функпий в конечной точке пути не меняются. Начальные значения (11 7.9) необходимо подчинить †силу (116.3), (116.5), (116.6) — соотношениям Ау Йа)ойз)о = (ыаз)о Кот (з )о (лаа)о = 0~ Кы (т')о (т~)о = +.1, (117.10) где вг — постоянные координаты метрического тензора во вмещающем евклидовом пространстве И„(в аффянных координатах х'). Для простоты возьмем в качестве аффинного репера в Й„сопровождающий репер с(, ..., Ц „т' в начальной точке М (ио) искомой гиперповерхности )г„ ,. Это означает, что координаты векторов (Я )о, ..., Я„',)„ (т')о булут равны единипе или нулю в зависимости от того, совпадает или нет номер координаты с номером вектора: (яа)о = ба (о )о = бл.
Тогда соотношения (117.10) принимают вид ьаав= (абаз)о в"'ал= О, вал= ~1, (11 7,11) т. е. мы получаем в нашем репере определенные значения координат метрического тензора и; во вмещающем евклидовом пространстве 17„, Начальные условия (117.9) можно теперь перепнсатон на=ба, т =бй прн и =ио. (117.12) Так как, кроме того, начало координат помещено в точке Лто(иоо), то текущие координаты х (и', ..., и" ') удовлетворяют начальным условиям иа = ио. а хо=О при (117,13) Мы рассуждали до сих пор предположительно, считая, что искомая гиперповерхность существует. Мы убедились, что для такой гнперповерхности функпни тг(и', ..., и" '), $В(и', ..., ил ') необходимо удовлетворяют вполне интегрируемой системе (117,7).
Кроме того, за счет выбора аффинного репера во вмещающем пространстве )с„всегда можно добиться, чтобы имели место начальные условия (117,12), (117.13); при этом метрический тензор в тс„принимает вид (117 11). Теперь мы отбрасываем предположение о существовании искомой гиперповерхности )т„т и фактически ее строим. Прежде всего зададимся евклидовым пространством Й„и в нем таким аффинным репером, чтобы координаты метрического тензора имели вид (117.11).
[гл. ~х тензог кгнвнзны Для этого достаточно выбрать в аффинном пространстве А„ произвольный аффннный репер, а затем превратить А„ в евклндово пространство )с„, вводя метрический тензор с координатами (117.11) относительно этого репера. В этом пространстве мы и будем строить гиперповерхность У„ Ищем зв, ч' как функции от и', ..., и" ', удовлетворяющие системе (117.7) и начальным условиям (117.12). Ввиду полной интегрнруемости системы эти функции существуют и определяются единственным образом.
Кроме того, в силу линейности системы и односвязности Ун , они будут однозначно определены во всей области изменения и', ..., и" '. Итак, в Я„ построены векторы 4(, ...Ц „тг как функции от и', ..., и" '. Ищем теперь параметрические уравнения гиперповерхности х' = х'(и', ..., и" '). В случае существования искомой гиперповерхности функции х'(и', ..., и" ') необходимо должны уловлетворять дифференпиальным уравнениям — „= $'„(и'.....
и" ') (117.14) по самому определению величии 4,'„. Чтобы система (117.14) была совместной, необходимо и достаточно соблюдение условий ннтегрируемости, которые в данном случае имеют тривиальный вид: (117.16) диа див ' ! Очевнлно, эти условия соблюдаютсж функции $д удовлетворяют уравнениям (117.7), а так как дня=дан, то н Р.вв = РЗ$и Записывая абсолютные производные в развернутом виде (117.8) и принимая во внимание симметрию Г~В по нижним индексам, легко убеждаемся в справедливости соотношений (117.15). Следовательно, функпнн х'(и', ..., и" '), удовлетворяющие (117.14), существуют (и тоже, как легко показать, во всей области изменения и', ..., и" '). При этом они опрелеляются с точностью до аддитивных констант, которые, однако, мы найдем из начальных условий (117.13).
Остается проверить, что уравнения хю «г (и\ и» 1) (117,16) действительно определяют искомую гиперповерхность. Покажем прежде всего, что функции $„'(и', ..., и" '), т'(и', ..., и" ~) 589 ТЕОРИЯ ГИПЕРПОВЕРХИОСТЕй )~х 1 В сс» удовлетворяют соотношениям сг'с = $„'$0'В +чстс. (11707) Действительно, в начальной точке йе зги соотношения имеют место, так как (после подстановки $„= Ь'„, тс=Ь'„) они принимают вил дьх=(0хх)ю д"х=О, уха=~!, (Х, 9=1, 2, ..., и — 1), а зти равенства имеют место как следствие (117.11). Теперь достаточно показать, что правые части (117.17) представляют собой константы: так как равенства (!17.17) имеют место в начальной точке ие и их левые части тоже константы, то равенства будут верны в ятом случае в любой точке.
Вычислим абсолютную производную от правой части (117.17) 1(сх(ха хр0ае~:т тс ) = (саха'$е0ае+ ха~схсп~ ~:~ахи 'и ~т т хтс =дхатехя0 В+дхятс еь«0ав дхеьач дхьевт =()- с еп=АРе; контравариантные координаты метрического тензора асс связаны. соотношениями Кс =Ас,А!хк с, (117.181 Истолкуем соотношения (117.17) как частный случай (117,18), положив с с Аа'= еьа Ах'=тс с ~ в 0Е, д"=О, ~"=~1. (117.19) Мы воспользовались здесь уравнениями (117.7), которым удовлет- ВОРЯЮТ фУНК!1ИИ 5а, Тс .
Так как правая часть (117.17) представляет собой дважды контравариантный тензор в сс„(индексы 1, /), вычисленный в аффин- % хых координатах кс, то ее абсолютные производные 17„совпадают д с частными производными — (индексам 1, у отвечают дополнительдих ные члены с Гесс, которые в данном случае исчезают вследствие Г"„=0). В результате все ее частные производные оказываются равными нулю и мы имеем константу. Это мы и. хотели показать.
Итак, соотношения (117.!7) имеют место. Мы хотим теперь привести их к виду (117,11). Для Етого заметим, что при переходе от одного аффинного репера к другому 590 [гл. ~х тензог ктивизны Тогла соотношения (117,18) совпадут с соотношениями (1 17.17). Так как Ре
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
