1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Лемма доказана. Установим теперь связь между тензорими кривизны двух рима- новых пространств, находящихся в конформном соответствии. Согласно (121А) в соответствующих точках мы имеем: = е»ау Отсюда ле~ко получить и д'т, т, е. элементы матрицы, обратной у,,; уа = е»ела. (121.13) Действительно, поскольку все элементы матрицы уг умножились на е', то, очевидно, элементы обратной матрицы разделятся на то же выражение. ВыЯсним тепеРь, как пРи пеРеходе от метРики У; к метРике дг изменяются коэффициенты параллельного перенесения. Имеем: /дуг» дум дуу» 1 2 Х дхт дх«дх' / /дуг«дда дуг» 'т = — е'в!а — + — — —.1+ — е'в (у 2а +д 2а — у 2а ), 2 х дхт д„» дхг,/ 2 г«у или или Г» = Г)»+ 6~»а.-(- б໠— о Ат». (121.14) формула (121.14) дает преобразование коэффициентов параллель- ноге перенесения при конформном преобразовании метрики.
Вычислим тепеРь тензоР кРивизны Я1»;У дла пРеобРазованной мстРиин Уг Перепишем (121.14) в виде Г';»= Г',, -1- 7)». где Т';»=б»а +б!ૠ— у»а~. Г; „= е"Г, +е'в(а.4г«+а Уг — агу «). Для нас более важна аналогичная формула для Г» с поднятым индексом. Вычислим: Г«»=у'"Г„у«=е»ьу'"(Г„+а у„»+а«и — аду ) е', (гл. ~х тензог кгиаизны Тензор кривизны )с1ь,1У будет выражаться в таком случае согласно (109.7): й(а,~У вЂ” И(а, !У = ЧаТп+ ТыТп (И3 (121 1Ь) Мы знаем, что в случае Т)ь = Ььа + Ьсо„мы получаем формулу (109.9) (в которой нужно заменить, конечно, Р,. на о;).
г)о сейчас у нас Т1ь содержит дополнительный член — а'гучг Этот член поРождает в 7ьТп дополнительное слагаемое — Ч„очр„н в ТыТ'„дополнительные слагаемые: — (Ььо, + Ь~о„) о'ды — очдю (Ь,'о, -1- Ь,'о',) + очуько'ро = = — Лгаб,'дц — о'ньен — ото,.йы — аводы+ ало,лп Второй и пятый члены взаимно уничтожаются, третий пропадет при альтернапии.
Переписываем (121.16), пользуясь формулой (109.9) н присоединяя в правой части дополнительные слагаемые: Д(д ы =- )711;ч + ЬчР— Ь~Р + Ьа (Р— Р ) — 7 Фй + + Ч,оаКы — ЛтобаКп+ гзтоЬЦы — о~о~Да~+о~оьД0 (121.16) Прн этом Ры — — 7 о; — аьо;; дко очевидно, Ры — — Р ь 1 так как Чьо; = .— Гыа„) . Свертываем ы и дк" дк' (121.16) почленно с равенством = екнЧ Получим: Рьы « — — - е*' ()Чы, «+ й)Ры — Г,ТРы — йп (Чьо~ — овод) + ) д;(ЧР~ — аР~)+ЛгоЫ«ды йь ен)) ° Отсюда окончательно %ы, « = е*' Йи, «+ЙРы+ ГаЛ« — ЙЛьу — ПРИ (121.1Т) где ! 8~ — — 7,о — а аз+ — ЮЯо.
(121.18) Так преобразуется тензор кривизны при конформном преобразовании римановой метрики. Заметим, что члены фигурной скобки, содержащие тензор 8ьн составляются следующим образом: сначала беретсв 2 1221 конФОРмно ввклидовы пРОстРАнствл 609 член у,.Я„О в котором при е стоят крайние, а при 8 †средн индексы тензора кривизны, а затем этот член подвергается двойной альтернации (без деления) по индексам 1, у' и 1, и, т.
е. по индексам каждой пары. Порядок этих альтернаций безразличен. 2 122. Конформпо евклидовы пространства й(а займемся изучением особого класса римановых пространств, а именно, допускающих конформное отображение на локально евклидово пространство. Такие римановы пространства называются конформно евклидовыми.
Пусть два= в! дх'дхА определяет метрику конформно евклидова пространства. Согласно определению мы можем конформно отобразить это пространство на локально евклидово, т. е. каждой его точке М(х', ..., х") поставить в соответствие точку М в локально евклндовом пространстве так, что соответствующие дифференциалы дуг будут в каждой точке отличаться лишь множителем е', о = О (х', ..., х"). Пусть два = д,. 4х 4х~ — квадрат соответствующего дифференциала дуги в локально евклидовом пространстве, тогда дев егв г(вх (122Л) Итак, для того чтобы метрика Фея была конформно евклидовой, необходимо и достаточно существование такой функции точки о= о(х', ..., х"), что Бя=- е'едва определяет локально евклидову метрику. При изучении конформно евклидовой метрики возникают следующие два вопроса: !) по каким признакам можно узнать, является ли данное рима- ново пространство конформно евклндовым, и, если является, 2) найти его отображение на евклндово, т.
е. найти множитель е'в, превращающий метрику дев в локально эвклидову мегри ку дев. Оба эти вопроса мы будем решать совместно. Итак, нам дана метрика е(ее= яг Фх'дх~. Возьмем функцию точки о, пока произ!у вольную, и составим новую квадратичную форму дев= еьаг(еа. Для того чтобы метрика гЫ' определяла (хотя бы локально) евклидову метрику, необходимо и достаточно, как мы знаем, обращение в нуль ее тензора кривизны Й,у Рм Другими словами, левая часть (121,17) должна обращаться в нуль, следовательно, скобка в правой части — тоже, что равносильно тому, что Я, ы имеет 610 [гл.
ьх тензог кгивизны вид )[гр ы=йьср+кп3гь КрРп Уи~ть, (122 2) где Я) выражается через а согласно (121. 18). Следовательно, если пространство конформно евклидова, его тензор кривизны имеет строение (122.2) при условии (121.18). Обратно: если существует такое а, что выполняется (122.2) при условии (121.18), то, вычислив для метрики дйт = етедзь тензор кривизны, получим нуль, а значит, данная метрика дзт конформно ееклидоеа. Итак, если пространство конформно евклидова, то существует скаляр а, удовлетворяющий дифференциальному уравнению (121,18) при условии (122.2), следовательно, условна интегрируемости уравнений (121,18) должны удовлетворяться. Но согласно лемме й 121 они имеют вид (122.
3) р,.я„— (уРгг = О. Итак, необходимым признаком конформно евклидова пространства является у нас существование симметрического тензора Я;, удовлетворяющего уравнениям (122.2) и (122.3). В этой формулировке а не играет никзкой роли и, как мы видим, даже не упоминается. Докажем, что этот признак и достаточен, правда, лишь в локальном смысле. Итак, пусть дано, что тензор кривизны имеет вид (122, 2), где Яьь †некотор симметрический тензор, удовлетворяющий уравнению (122.3), Прежде всего выпишем дифференциальные уравнения (121.18) относительно а, рассматривая а как неизвестную функцию точки.
Так как условия интегрируемости (122.3) выполняются тождественно, то при любых начальных значениях в фиксироаанной точке тИь а=а, и а;=(а ), решение уравнений (121.18) существует, а так как (!22.2) также имеет место, то по предыдущему пространство конформно евклидова, Конечно, существование решения а (кт, ..., х") мы можем гарантировать лишь а некоторой окрестности произвольно выбранной начальной точки Мь, а значит, конформно евклидозым наше пространство будет лишь локально; и лишь в этом смысле признак (122.2), (122.3) является и достаточным. Найденный необходимый и достаточный признак еще не является вполне эффективным.
Позже мы покажем, как фактически установить, существует ли симметрический тензор Я,.ь, удовлетворяющий (122.2) н (122.3), Но и э этой форме из нашего признака можно извлечь некоторые следствия. 2 122) коноогмно ввклидовы пгостглнствл 511 Пуу, =КМ Куг — ауудуь), К= сопас. где Перепишем несколько иначе: ККхчь Аад Кви Ккуь гсуу,ьу = Куг 2 +й'ь 2 ~уь 2 Ки 2 ' (122.4) Положим: Кйуь Уь 2 (122.5) Тогда, как видно из (122.4), условие (122.2) выполняется, и условие (!22.3) тоже, так как из (122.5) следует: рВ =О.
Итак, для пространства постоянной кривизны существует тензор, удовлетворяющий (122.2) и (122.3). Впрочем, это видно и из того, что метрика постоянной кривизны реализуется на гиперсфере Я„~Ж„~,, а конформно евклидов характер метрики на Я„ показан в 2 87. Выведем окончательный вид необходимого и достаточного признака конформно евклидова пространства. Выделим случай и = 2. Здесь о нашем признаке не приходится говорить, так как все двумерные римановы пространства конформно евклидовы. Действительно, в теории поверхностей доказывается, что на поверхности (локально) всегда можно выбрать изотермические координаты, в которых линейный элемент имеет вид й~ = Л (йиь + до'), Л Л(и, и), где а это и доказывает, что любая метрика И, будет (локально) конформно евклидовой; достаточно положить е ь = —, йвь=йиа+йпь.
Анало- гичное предложение можно доказать и в псевдорммановом случае, В дальнейшем будем предполагать, что п ) 2, Поставим задачу: допустив, что(122,2)удовлетворяется, вычис- лить отсюда тензор Яуу. Пространство постоянной кривизны обязательно конформно евклидова (по крайней мере, локально).
Для пространства постоянной кривизны, как мы знаем: 612 (гл. ~х твнзоР кРиВизны Прежде всего найдем 77 я, свертывая(122,2) с Р~' почленно (см. (110.12)).' Е Е 777а = алый' = бь37г+673ы И~я3 л~)ь так как у"йы= б~ы д"дп — — бг= и;.прн этом мы обозначили Я =-дыЮ,Р Окончательно (! 22.6) 777ь = — Яу — (л — 2) 8 ., Отсюда мы еиге не в состоЯнии опРеделить Ям, так как нам пенз/а вестно 8. Произведем почленно свертывание с 3'ь; получим слева так называемую скалярную кривизну )7 (см.(110. 14)): Я = — Ял — (и — 2) Я = — 2 (и — 1) Ю, откуда 2 (л — 1) Теперь из (122.6) вычислим 87,: )с)а )сзгь Я = — — + л — 2 21л — !)(л — 2) ' Итак, если тензор 8)ы удовлетворяющих (122.2), существует, то он обязательно имеет вид (!22.7).
Теперь уже легко проверить, существует ли действительно тензор, удовлетворяющий условиям (122.2) и (122.3). Для этого нужно подставить выражение 8 „из (122.7) в (122.2) и (122,3), Если эти уравнения обратятся в тождества(чего в обптем случае не будет), то данное пространство конформно свклидово (по крайней мере, локально), и обратно. Теперь искомый признак получен в достаточно эффективной форме. Остается только внести сюда некоторые уточнения. Рассмотрим два случая.
1. и = 3, В этом слУчае тензоРы )7;ды и о7ь имеют по шесть существенно различных координат, и, рассматривая (122,2) как шесть линейных уравнений с шестью неизвестными Я „, естественно ожидать, что такие 8 а всегда можно найти. Как показало бы более детальное исследование, дело обстоит действительно так. Следова. тельно, Я я, удовлетворяющие (122.2), существуют при л =- 3 в любом пространстве, а так как они обязательно имеют вид (122,7), то остается проверить, удовлетворятся ли(122.3) при подстановке 87„ из (122.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
