1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Р» — — КК», мы убеждаемся, что условия (120.2), (120.6) (а тем самым и (120.1)) имеют место, а это обеспечивает проективно евклидов характер пространства постоянной кривизны. Впрочем, тот же результат можно получить наглядным геометрическим путем. Пространство )т„ , постоянной кривизны (по крайней мере, локально) реализуется на гиперсфере Я„ т~=й„. 1'еодезическне линии будут совпадать при этом с сечениями гиперсферы Я„ т двумерными плоскостями А,, проходящими через ее пентр. (Очевидно, в случае неизотропной Аи такое сечение представляет собой окружность на собственно евклидовой или псевдоевклидовой плоскости А,,) В самом деле, построим в какой-нибудь точке сечения касательный к нему вектор й и будем параллельно переносить его вдоль этого 20 и. д. Римиииииа Мы пришли к соотношению (118.12), из которого следует, как мы видели, К= сопз(.
Мы снова получаем пространство постоянной кривизны, Итак, проективно евклидова риманово пространство необходимо является пространством постоянной кривизны. Верно и обратное: всякое пространство постолнной кривизны будет проективно евклидовым. В самом деле, поскольку тензор кривизны имеет строение (120.8), где К= сопе1, то, положив 602 (гл, юх тензоР кРиВизны сечения с точки зрения римановой метрики на Я„ , Мы хотим показать, что $ остается касательным вектором (рис.
31). Покажем прежде всего, что й остается в плоскости сечения. Согласно 2 94 прн пвраллельном перенесении й его дифференциал Ий во Вмещающем пространстве )т„ направлен ортогонально к гиперплоскости, касатель- ной к Я„ „ т. е. коллнне8а арно радиусу-вектору каждой данной точки. Так как радиусы-векторы всех точек сечения лежат в его плосй / кости А,, то ~(ф также леl и жит все время в плоскости Аз, а следовательно, дг остается в этой плоскости (в начальный момент $ как вектор, касательный к плосРис. 31. кому сечению, лежит, конеч- но, в его плоскости А,).
Оставаясь в плоскости А, и в то же время принадлежа Я„ (т. е, касаясь этой гиперповерхности), вектор й остается касательным к сечению 5„ т плоскостью А,. Этим показано, что такие сечения являются геодезическими линиями на 5„ ,. (Заметим, что нашим наглядным геометрическим соображениям нетрудно придать и строгую аналитическую форму.) Так как сечение Я„ , плоскостью А, можно провести через любую точку на 5„ , и в любом направлении на ней, то эти сечения исчерпывают все геодезические липин на Я„ Проектируем теперь гиперсферу 8„ , из ее центра О на произвольную гнперплоскость А„ т в 1с„ (не проходящу1о через 0).
Тогда геодезические на 8„ , проектируются проходящими через ннх плоскостями Аз в прямые линии на А„ ,. Тем самым метрика на 8„ будет првективно евклидовой. 2 121. Ноиформное соответствие римановых пространств Сначала рассмотрим вопрос более общего характера. Пусть независимо друг от друга даны два каких-либо римановых пространства, оба с одним и тем же числои измерений л. В каждом из этих пространств имеется своя система координат и своя метрика: паа =- д„а~к' ~(ха аз в первом и во втором. 2 121) конно»ннов соответствие гимлновых пгостеанств 603 Предположим для простоты, что соответствующие многообразия О(х', ..., х") .
и Б(х', ..., х") — элементарные. Пусть, далее, между точками области Е) и области г) установлено взаимно однозначное непрерывно дифференпируемое соответствие. Тогда в сущности излишне строить самостоятельную систему координат в каждом пространстве, а именно, имея систему координат хг в области О, можно аперенести» ее в область с) следуюнгим очевидным образом. Каждой точке М в области г) приписываем те же координаты х', какие уже имеет в области ,0 соответствующая ей точка М. Итак, теперь для соответствующих точек М и М у нас х~ = х'. Тем не менее метрика обоих пространств остается, вообще говоря, различной, так что н для соответствующих точек у,в Ф к„в "), С точки зрения аналитической можно сказать, что имеется одно элементарное многообразие т»(х', ха, ..., х"), причем в нем заданы пве квадратичные формы, определяющие две различные римановы метрики: г(з» = у„дх' дхэ, аэ На» =- ~ ю г(х' 4 ха.
(121. 1) Ло сих пор речь шла вообще о взаимно однозначном соответствии двух различных римановых пространств. Теперь мы займемся частным случаем этого соответствия — конформным отображением. Мы скажем, что многообразия О и Е) конформно отображены друг на друга, если квадратичная форма па» отличается от дг» множителем а, зависящим лишь от выбора точки М(х', х', ..., х') и не зависящим, следовательно„от направления бесконечно малого смещения яхт, дх», ..., г(х": Иа»= агЬ», (121.2) (121.3) ') В частном случае может оказаться яяз=я,а. Тогда соответствие называется изометрическим, метрика в 0 н 0 оказывается одной н той же.
20» где а = а (х', , х") Условие (121.2) можно записать иначе, вставив выражение для на» и »гз» из (121.1). Так кзк (121.2) должно удовлетворяться тождественно, в частности, относительно ~(х', ..., с(х", то координаты тензоров к„з и у;, оказываются пропорпиональными в каждой точке. с коэффипиентом пропорциональности а: 604 (гл. ~х ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ Геометрически условие (121.2) означает следующее: дифференциалы всех дуг, выходящих из данной точки М области й, при переходе в соответствующую точку М области й изменяются в одном и том же отношении независимо Ю р от их направления. Отношение это, очевидно, равное )/ а, буг й~." дет иметь свое определен- .А 3 ное значение в каждой точке (рис.
32). Действительно, поскольку точки М и М вЂ соответствуюРнс. 32. щие значения их координат х' — общие, а поскольку бесконечно малые смещения 1 и 1' — соответствующие, они определяются одними и теми же 0л". Условие (121.2) при данных хги ох' выражает, следовательно, что отношение дифференциалов дуг 1' и 1 равно )/а, Как следствие получаем отсюда сохранение углов при нашем отображении.
Ограничимся случаем собственно риманова пространства. Пусть направления 1 и 2 в точке М задаются соответственно дифференциалами координат Их', бх'. Теми же дифференциалами задаются и соответствующие направления 1' и 2' и точке М. По известной формуле д„а ах'бха ( в'х бх У д, дх" лха У к, бхабха 1 ' ' (дх ((бх )) Вычисляя аналогичным образом соа(1', 2') н области В, мы видим, что соа(1', 2')= соз(1, 2), так как Фх' и бхг остаются без изменеииа, а все К„з менаютси в одном и том же отношении. Итак, наше соответствие является в бесконечно малом соответствием подобия, если пренебречь бесконечно малыми второго порядка. В этом и заключается геометрический смысл конформного отображения.
Введем обозначение: а = е'Р; это можно сделать, предполагая а > О (в противном случае мы изменили бы знак у Ба, что означает лишь тривиальное преобразование метрики). Удобство этого обозначения обнаружится в дальнейшем. Итак, если в одном и том же многообразии (в общем случае не обязательно элементарном] заданы две римановых метрики, свяванные зависимостью (121.4) $ 121) конеоемнов соответствие гни»новых пеостеянств 605 где о =а (х'„ ..., х") †непрерыв дифференцируемая функция точки, то этим саиым даны два римановых пространства, привеленных в конфориное соответствие друг с другом.
Выделим предварительно лемму, относящугося к тснзорному анализу, которая будет для нас важна в дальнейшем. Л еи и а. Предположим, что нам дано риманово пространство У„, в котором тензор кривизны имеет особое строение, а именно: йгм «,=и!«Зт! — д!«8!! — дп8!«+й!»Я!», (121.5) где е, — л~етрический, а Я! — некоторый другой симметрический тензор."). Составим в нашем пространстве дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции о= о (х', ..., х"): 1 7!о« вЂ” а!о»+ — д!»д' За„оа — — 8!«, (121.6) до где а = 7 о=- —.
Мы утверждаем, что условия интегрируемости дх» этой системы дифференциальных уравнений будут: (121.1) Дока з а тел ь с т во. Введем сокращенное обозначение Л»а для инвариантного выражения Л,а =- д'аа„оа —— о„о" = д„ао"аа (а" = йлаа ), (121.8) которое называется первым дифференциальным параметром сналлра о. Запишем дифференциальное уравнение (121.6) в виде, разрешенном относительно второй ковариантной производной скаляра: я 7то» = а о« вЂ” 2 й!»й ао,аа + Ю!« Можно писать здесь 7уа и в развернутом виде: д«а и 7а = — Г«!а„, дх! дх» рассматривая (121.9) как систему и' дифференциальных уравнений (/, )»=1, 2, ..., и) в частных производных 2-го порядка относительно неизвестной о.
Как известно, для получения условий интегрируеиости мы дифференцируем (121.9) почленно по х и альтернируем по ! и у. При этом производные 3-го порядка от о уничтожаются, производные 2-го порядка можно заменить нз самой ") Правая часть получается из своего первого члена путем альтерннроваиия по индексам ! и ! н вторичного альтерннроваина резуаьтата по индексам» и !. 606 ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ [гл, !х системы (121.9), и условия интегрируемости, получземые в результате, могут содержать лишь и и о„. Все этн операции мы проделаем в ковариантных производных, что, конечно, нисколько не меняет их сущности. Итак, (121.9) мы подвергаем ковариантному дифференцированию Чр Во втором члене справа и , а з ведут себя как постоянные, дифференцирование же и„ и затем и, дает одинаковый результат (разница лишь в обозначениях индексов суммирования), так что оба полученных члена объединяем в один.
Получаем: 1),.рупа =-(р!о ) па+ арго„— п„а"з (рго) оа+ рЯт . (121.10) Теперь произведем альтернацию по индексам ! и у (без деления на 2). Выясним, что получается в правой части. Так как а Р,о =П;,— Гпо„ симметрично относительно индексов ! и у, то при альтернации первый член правой части выпадает. В остальных членах заменяем вторые производные от и нз (121.9) и (пользуясь обозначением (121,8)) получаем; / 1 о ( очна — — а гаЛ,о+ о ы )— — хуло" (п,о„— 2 АЫЛ,о+5,,) + Ч,.$~» [гЯ ), 1 Раскроем здесь скобки.
Суммз членов второго, четвертого и пятого образует симметричное относительно ! и / выражение 1 ! 1 — — и пыЛ,о — и;д Л,п-(- — о;КуаЛ,п= — — Л,п(пг,ау-(-руан,), ко~орое, равно как и первый член, исчезает при зльтернирозании, Остаются члены уф;„— ду~Яыо" + Ч<8, [(11. (121.11) Левая часть (12!.1О) согласно (108.1Ф) принимает после альтернацни следующий вид; р,.р,а, — 9,Л го, = Л';;, ьзп, = ) )г,, д'аоз =- Л !,, „о". Используем теперь особое строение тензора кривизны в нашем пространстве, подставляя сюда его выражение из (121,5]; (д, о „вЂ” пу„5ы — а;„52,+ду,Юга) о"=о,Юге — х;„5ыо" [!Я.
(12112) Приравниваем теперь, чтобы получи~ь искомые условия интегри- *) Как всегда, символ (!Д после многочлена означает требование проальтерннровать все его члены по индексам ! и ! (без деления на 2). ф 121] конеотмнов соответствия тимлновых птостелнств 607 руемости, левую и правую части равенства [121.10) после альтер- нации, т. е. (12!.11) и (121.12). Одинаковые члены сокращаются, и остается: О= р;ят,(1Л, или более подробно р;Я„= р,А».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
