1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 128
Текст из файла (страница 128)
В самом деле, уточненная орбита согласно сказанному имеет внд 1 аа о = оя (1р) + а1 (1р) = — (1 + е соя 31) + —, 1р Рйп 1р = 1 е = — + — ( соя р+ — грМН 1р) — + — соя( 1 — — ) 1р, )= Мы произвели замену по приближенной формуле соягр — й1гн я!п1р а соя(1р+ ст1р), считая 111р = — — ~р весьма малой величиной. Мы Р видим, что теперь прежнее значение а будет повторяться не при полном обороте полярного радиуса, т. е. не при увеличении ~р на 2п, а при повороте на немного больший угол, именно на угол 2л 2па 2п+ — ' а р 1 —— Р удовлетворяет уравнению (132.3), получаем: от + а (ао+ а1) ° лч2 Пренебрегзя внутри круглой скобки о, сравнительно с о, мы приближенно ищем о, из уравнения аяо1 —, = — а, + ао', 654 мАтемАтнческне ОснОВы Овщей теогии относительности (гл.
х Это можно понимать в том смысле, что за время обхода планетой своей орбиты сал~а орбита успевает повернуться в тол~ же направлении на угол е= —. (132.8) Р Этот угол (весьма малый для планет солнечной системы) составляет наиболее заметную величину для Меркурия; его значение, предсказываемое теорией относительности, хорошо согласуется с опытом. Заметим еще, что, прибавляя а,(~р) к ар(гр), мы откинули периодическую часть ат (~р), но ввиду малости о (гр) сравнительно с ор(~р) зто дает при подсчете угла в весьма малую относительную ошибку, которой мы пренебрегаем. $ 133. Искривление световых лучей в поле тяготения Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение (131.13) в случае В= О, когда оно определяет, как мы знаем, траектории световых лучей: а«о —,= — а+аар, где сс= —, (133.1) В порядке первого приближения мы отбрасываем член ааа и интегрируем дифференциальное уравнение ИРΠ— = — а.
Й~' Получаем: ар (~р) = й соз <р+ Л4 з(п гр, (133.2) где Е и Л вЂ произвольн постоянные, За счет поворота полярной оси нетрудно добиться, чтобы решение имело вид ор(~) = 1 = В соыр, Е ) О, нли, полагая Д = —, а (р)= — ~, тг (133.3) 1 Так как а = —, то соответствующее полярное уравнение траектог рии будет: В ор(е) соз Р ' Мы получаем «прямуюр, проходящую на расстоянии В от начала координат.
Точнее, полученная траектория была бы примой, если бы г, ~Р были полярными координатами нз обычной евклидовой плоскости. ф 133) нскеивленик свктовых нечай в полп тяготвння 555 Итак, в первом приближении световой луч распространяется «прямолинейно». Переходя ко второму приближению, ищем решение дифференциального уравнения (133.1) в виде о(гр) =а, (гр)+о, (р). Вставляя это приближение в уравнение (133,1), получаем: з —,= — — а,+а(аз+ах) .
Кзк и в 2132, считаем добавку а, малой сравнительно с ор — главной частью решения, так что пишем полученное лифференциальное уравнение в виде з»а, » Д<р» 1 а +поз т. е. п»п, а соз' у 1 Дв» 1+ и» Решение этого уравнении будет: а, = —, (1+ з1п» <р). (133.4) Правда, мы выписали здесь лишь частное решение; но члены нида А соз гр+ 8з1п ф (А,  — произвольные постоянные), которые нужно присоединить сюда, чтобы получить общее решение, мы объединяем ! с а,= — спнор. При добавлении к а, этих членов решение сохра- няет вид (133.2), траектория остается «прямолинейной» и испыты- вает лишь весьма малое смещение и поворот (авилу малости добав- ляемых членов). Искривление светового луча в поле тяготения, которое сейчас нас интересует, происходит, следовательно, лишь при добавлении частного решения (133,4).
Поэтому мы этим част- ным решением и ограничимся ). Итак, а=а +от= — + — (1+ вбп <р). соз ~р а 11 ЗЛ» (133.5) *! Несколько более детальный подсчет показал бы, что мы делаем прн этом весьма малую относительную ошибку в окончательном результзте. соз ф В случае о= — мы имеем прямую линию, причем когда мы пробегаем ее, полярный угол ~р меняется от — — до + — так что по- 2 2 лярный радиус поворачивается на угол и.
Значения ф= ~ — дают 2 а= О, т, е, г= оо, и определяют направления, параллельные нашей прямой. Переходя к траектории (133.5), мы вносим в уравнение 636 мАтемАтические Основы ОБщей теоеии ОтнОсительнОсти [Гл. х дополнительный член —, (1+ ейп ~р), вызывающий ее искривление 5 (весьма малое ввиду малости этого члена). Теперь, когда полярный угол гр достигает значения —, и еще остается положительным 2 ' (хотя и будет очень малым), так что кривая еще не уходит в бесконечность.
Это происходит при дальнейшем (весьма малом) увесоз ф личении угла гр, когда — принимает отрицательное значение В уничтожающееся в сумме с добавочным членом. Пусть — -(-6 (где 6 2 весьма мало) будет значение гр, при котором о= О, г = оо, и кривая уходит в бесконечность. Подставим в (133.3) <р= — '+6, причем в 2 ,и т бе добавочнол~ члене мы полагаем 5!п ( — +6) =! — — + ... 1, пре- (,2 ) 2 небрегая весьма малой величиной 65 сравнительно с единицей. Получаем: тп соз [ 2 +6) О =- В ЗВ' В ЗВ5 ' + — = — — + — ° Отсюда (133.6) Итак, при яз — — +6 и, в силу симметрии относительно поляр- 2 и ной оси, при <р -» — †' — 6 кривая уходит в бесконечность, Нетрудно сов (ф — б) показать, что при этом кривая имеет асимптоты: проекция полярного радиуса г на полярную ось, повернутую на угол 6, при <р-» †" + 6 стремится к конечному пределу (что легко получается 2 по правилу Лопиталя).
Тем самым имеется одна асимптота, идущая под углом — + 6 к полярной оси и, конечно, вторая, симметричная с первой, Таким образом, наш световой луч приходит из бесконечности, имея первоначальное (предельное) направление под углом †' — 6 к полярной оси, и уходит в бесконечность под углом — + 6 (разумеется, практически имеется в виду луч, идущий из 2 одной достаточно удаленной точки в другую, тоже достаточно удаленную). Уклонение луча от первоначального налравления составляет, таким образом, угол 26 = ЗВ='— "'В. (133.?] $134] кРАсное смещение спектРАльных линий.
ЗАключьние 657 Когда идущие от звезд лучи проходят вблизи Солнца, т. е. в сильном центрально симметрическом поле тяготения, действительно наблюдается отклонение лучей от первоначального направления, достаточно хорошо согласующееся с полученной формулой (такие наблюдения возможны при солнечных затмениях). 3 134. Красное смешение спектральных линий. Заключение Есть еще третий случай, когда отклонения от ньютоновой теории, предсказываемые теорией относительности, доступны опытной проверке, несмотря на свою малую величину.
Пусть в центрально симметрическом пале тяготения (130.12) из некоторой точки М с полярным радиусом хд = гд н в момент времени х', подается световой сигнал, который принимается затем в точке М» с полярным радиусом х' =- г, и в момент времени х,'. При этом мы будем считать, что г сравнительно мало, так что точка М, находится вблизи гравитирующей массы лд, а г„ наоборот, очень велико, так что в точке М наше поле тяготения фактически не ощущается. Ввиду стационарного характера поля ясно, что, если повторить сигнал спустя некоторое время, он будет распространяться в точности таким же образом, как н в первый раз, Если второй сигнал был отправлен после первого спустя время Лх', то он и принят будет после первого спустя время Лхь. Теперь необходимо обратить внимание на то, что хс, как мы знаем, лишь приблизительно играет роль времени с1, поскольку мы находимся в координатах, лишь близких к галилеевым, но не галилеевых (хе †«среднее» или «мировое» время).
Координата хс практически будет совпадать с временем с1, если мы перейдем в локально галилеевы координаты, что можно сделать лишь по отдельности в окрестности точки М, и в окрестности точки М . Пусть хе †локаль галилеева координзта в окрестности точки М . В таком случае с(хь должно входить в вг» с коэффициентом †, а для этого мы должны положить, как видно из (130.12): охс = 2ЬЛ У Ьл ! =дхс 1гг 1 ††, с(хс( 1 ††, ), откуда следует аналогичное с»г, (, с»гд ) ' ЬА '1 соотношение и для приращений: Лхс Лхь~! — —,). Обозначая с»г д,] через( время в локально галилеевых координатах в окрестности М„ о так что хс = с1„мы получаем, следовательно, сЛ1» = Лхс ~ 1 — — ) . с»г ) ' д Аналогичную формулу мы пишем и для времени Т в окрестности М с заменой г на г; но ввиду того, что г очень велико, мы получаем; сЛ(»=Лхс.
Отсюда следует: Л!» — Лсд~!+— с»гд 658 математические основы овщхй твогии относительности (гл х т е. «истинное время» между двумя сигналами в месте приема окаьт зывается длиннее, чем в месте отправления в отношении 1 +— ««г« Частота колебаний ч, отвечающая данной спектральной линии данного химического элемента, будет одной и той же в любом месте пространства, если, конечно, при ее подсчете пользоваться кистинным временем», т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
