1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Поэтому, применяя формулу (130.12), например, к полю тяготения, порождаемому Солнцем (и пренебрегая полем тяготения планет), мы можем ею пользоваться лишь до тех пор, пока не начнет сказываться поле тяготения звезд. Следовательно, формулу (130.12) имеет смысл применять хотя и при очень больших полярных радиусах х' (сравнимых с расстоянием до ближайшей звезды), но не при х'- оо. И вообще, как указывалось, мы не предъявляем никаких претензий на установление геометрических свойств всего пространства событий.
Экспериментальный материал, которым в настоящее время обладает наука, не дает еще возможности сделать какие-либо обоснованные выводы в этом отношении. В противоположность этой точке зрения многие авторы пытались построить геометрию четырехмерного пространства событий в целом. Лишенные экспериментальной базы, эти попытки представляют собой лишь фантазии, хотя и облеченные в математическую форму.
648 мхтемхтичвские основы овщяй теогии относительности (гл. х ненулевой массой покоя, а в случае ненулевой длины — для световых лучей. Пусть геодезическая линия задана начальной точкой и направлением в ней. В четырехмерном пространстве событий всегда можно найти трехмерную «плоскость», уравнение которой имеет вид (131.1) Аду'+Азу +Азуз 0 (так что «плоскость» проходит через ось уз) и которая проходит через данную точку н данное направление (здесь у~ имеют тот же смысл, как и в начале в 129).
Так как координаты у', уз, уз задаются с точностью до ортогонального преобразования, то всегда можно добиться, чтобы уравнение «плоскости» имело простой вид уз О Геодезическая, для которой начальная точка и начальное направление лежат в втой плоскости, и сама в ней лежит. В самом деле, при зеркальном отражении в пространстве событий, когда уз уз ут уг уз з уз „з метрика (130.12) в силу ее симметрического характера остается инварнантной и ее геодезические переходят снова в геодезические.
При этом плоскость у'== 0 и лежащие в ней точки с направлением переходят в себя, следовательно, переходят в себя и определяемые ими геодезические. Но это при нашем зеркальном отражении возможно лишь в том случае, если эти геодезические целиком лежат в плоскости у'=О. Итак, геодезические линии метрики (130.12) располагаются в трехмерных «плоскостях» вида (131,1). Все эти плоскости равноценны в том смысле, что любую из них можно перевести в любую ортогональным преобразованием над у', у', уз, причем метрика (130.12) сохраняется и геодезические переходят в геодезические.
Поэтому достаточно изучить геодезические в какой- нибудь одной из этих «плоскостей». Мы рассмотрим «плоскость» уз = О, которая в «полярных» координатах определится, очевидно, уравнением х'= — (т. е. широта 0=0), и 2 (131.2) На «плоскости» остаются в качестве координат х', х', х', и метрика принимает вид »» !в сзх' Составим дифференциальные уравнения геодезических, лежащих в 131) 649 геодезические линии этой «плоскости», Геодезические, отнесенные к каноническому параметру т, вообще определяются дифференциальными уравнениями «Г»х» «!х««!х« — +Г, — — =О.
х»2 (т дт (131.4) В нашем случае Г»«имеют вид (129.11), причем в силу х»= — ' обращаются з нуль Г*„н Г»„. Остальные отличные от нуля Г«', мы перепишем, учитывая, что (согласно (130.10)) т=- — Л, а также в!пх'=1: Г„= — Г",= — — Г' = — х'е, Г,= — — е ' 2' ' 2' «' ' » 2 Г'„=Г',» — — —,, 1",',= — х'е ". Остальные Г» =0 Выпишем теперь уравнения (13!.4) при Ь= О, ! будем помнить что х»= †, а следовательно 2 ' Получим 2, 3, причем «Гх» «Рх» — = — =О. «Гт «1т» * «Г»х», «!х» «!х' — — Л' — — =- О, ««тх «!т «Гт 0=0, «!»х» 2 «Гх««Г»» — + — — — = О.
«И» х' «!т ат Умножая почленно первое из этих уравнений на е-»«">, нее на х", мы приводим их к виду — (е ' — )=О, — (х" — „) =О, ~ (1 31.3) а послед откуда » ««х», йх» е — =а, х" — =Ь ет ' ет (131.6) где а, Ь вЂ” некоторые константы (для данной геодезической); мы будем считать Ь чь О, оставляя в стороне тривиальный случай ра«гх« диального движения частицы. Кроме того, касательный вектор— ««т (при каноническом параметре т) параллельно переносится вдоль геодезической, так что сохраняет постоянную длину. Обозначим его постоянный скалярный квадрат через С. Так как у нас согласно (129.10), (130.! 3) Ь"о»= — е = — е ', Кш=е', А'»я=х Юа»=Х'*а!п х =х' 650 мхтемхтичяскиа основы овшей теогии относительности (гл. х дх' вектора вт д;Г равны нулю), то скалярный квадрат Д~2 во внимание, что хя = †, — = 0) можно 2' йт (остальные ( принимая виде записать в — е '( — „) +е" ( — ) +х' Я =С.
(131.7) Соотношения (131.6) вместе с (131.7) дают нам все, что нужно (неиспользованное второе уравнение (131.5) является их след- ствием). Мы хотим исключить нз них т и х«, чтобы получить дифференциальное уравнение между х», х». Исключив х«, т. е. времн, мы переходим к рассмотрению траектории частицы (нли светового луча) в обычном чисто пространственном смысле в коор- динатах х', х', ха. Так как прн этом х', х', х' играю~ роль по- лярных координат в пространстве, то х', х» играют роль полярных координат (х' =г, х»= ~р) на рассматриваемой нами «экваториаль- ной» плоскости х' = — (широта О = 0).
Зависимость между х', х' 2 определяет в этой плоскости траекторию частицы (илн светового луча) в обычном смысле слова. Конечно, х', х» лишь приблизительно играют роль обычных полярных координат, так как метрика рассматриваемой плоскости лишь приблизительно является евклидовой. Действительно, полагая в (131.3) хе =- сопз1, х' = г, ха = ~р, получаем: (1»я „( га с((р» 2 ягл ! —, с«г г(ко Возвращаемся к выкладке.
Заменяя в (131.7) — через ае" н Нт дкз Ь вЂ” через —,, (согласно (131.6)), получим: кг Деля почленно это уравнение на второе из равенств (131.6), воз- веденное в квадрат, получим окончательно: ( 3«) =ь ((и'+е (С ")~. Это и есть дифференциальное уравнение искомой траектории в по- лярных координатах х', х»= г, ср в плоскости х' = — . 2 Переходя к обозначениям г, гр и полагая (131.8) б 13П получим: 65! геодезические линии ( —,-„— ) =-А+ е ' ( — —,) (131.9) Для выкладок будет удобнее пользоваться обратной величиной полярного радиуса.
Мы положим: ! о= —. Г Тогда, согласно (130.13) е '=1 — — „— =-1 — — о, 2ап1 2асп (1 31.10) сет ст и (131.9) принимает внд ( — ) = А+ (1 — — — о) ( — ое). (131. 11) 2 — — = — — — ( — о') + (! — — о) ( — 2о — ) . (131.!2) Во И'о 2етп Лв я I 2лтп '1 У Вв~ Д д,те — се В (, се )(, в,р). При обратном интегрировании константа А появляется снова. При этом, если учесть, что В О, то из самого вида уравнения (131.11) следует, что А) О. Итак, дифференциальные уравнения (131,11), (131.12) дейстзило тельно эквивалентны.
Деля (13!.!2) на 2 — почленно, получаем: сьр вео ьтВ злю — = — — — о + — о'. к<ее се се (131.13) Все случаи о= сопят, которые мы как будто потеряли, сокращав на †, мы полностью находим среди решений уравнения (131,13), дв вф ' подбирая В так, чтобы правая часть была равна О (при о=сопя!). Поэтому вопрос полностью сводится к интегрированию уравнения [131.!3). Н это дифференциальное уравнение, связывающее ср, о, входят две произвольные константы А и В. При этом, как видно из (131,8), вх) А ) О, В( О. Действительно, скалярный квадрат С вектора Й~ будет отрицательным в случае траектории частицы (с ненулевой массой покоя) и равным нулю в случае траектории светового луча, Отсюда В ( 0 в первом случае и В= 0 во втором случае. Мы предпочтем заменить дифференциальное уравнение 1-го порядка (131,11) эквивалентным ему дифференциальным уравнением 2-порядка, исключив при этом одну из произвольных постоянных, Для этого мы просто почленно продифференцируем уравнение по <р; аддитивная константа А исчезнет.
Получаем; 552 математические основы овщвй твогнн относительности (гл. х ья 132. Вращение планетных орбит Мы знаем, что В~» О. Рассмотрим особо случай, когда В ( О, т. е. когла в центрально симметрическом поле тяготения двнже1ся частица, обладающая ненулевой массой покоя. Сюда относится, например, движение планет в поле тяготения Солнца. Обозначая сь 3!ин — — =р) О, а=— яв!В ' с' (132.1) перепишем (131,13) в виде — = — — а+ аа'. иьа 1 йф' Р (132.2) Член ааь весьма мал вследствие малости коэффициента а.
Если его откинуть, то мы получаем дифференциальное уравнение Вьа 1 — = — — а, ф' Р (132.3) вытекающее из ньюгоновой теории тяготения. Таким образом, уточнение, вносимое здесь теорией относительности, заключзется в появлении дополнительного члена ааь. )1(ы будем интегрировать уравнение (132.2) приближенно. В качестве первого приближения иы берем решение уравнения (132.3), которое обозначаем пь(ф). Очевидно, о, (ф) =- — + В сов ф+ М а!п ф, ! Р где В и М вЂ” произвольные постоянные.
Поворотом полярной оси всегда можно побиться, чтобы М= О, А ) О, и тогда, обозначая Вр через е, получаем: (ф) = — (1+ с~ ф). Р (132.4) ! Так как и = †, то полярное уравнение траектории будет: г— (132. 5) !+е сааф а(ф) ="(ф)+а,(ф). При этом добавку а, (ф) в решении, возникающую за счет маяой лобавкн ааа в уравнении, считаем весьма малой сравнительно с а (ф), Вставляя а=па+о, в (132,2) и учитывая, что аа т. е. мы имеем коническое сечение с фокусом в начале, эксцентриснтетом е и параметром р.
Переходя ко второму приближению, ищем решение уравнения (132.2) в виде 653 2 132) ВРАЩЕНИЕ ПЛАНЕТНЫХ ОРБИТ которое перепишем в развернутом виде: ЕЯО1 П вЂ”,'+ от = —, (1+ 2е соя <р+ ез сояз гр) = л1РЕ 1 ря а( ея Ея = —,(1+ — +2е сояср+ — соя21р). (132.6) Предположим, что из скобки выкинут член 2е соягр, В таком случае, как следует из элементарных выкладок, решение а, будет периодическим (с периодом 2п), так что уточненпан орбита планеты остается замкнутой (мы предполагаем, что е ( 1, так что орбита, рассматриваемая в первом приближении (132.5), представляет собой эллипс). 2са Что же касается члена — соя ~р в правой части (132.6), то ему ря отвечает непериодическое частное решение ае о, (1р) = —, ср з(п 1р. (1 32.7) Мы будем учитывать только эту добавку к первому приближению а= аа(1р), так как только она нарушает замкнутый характер орбиты, что выражается, как можно считать, в медленном вращении орбиты в ее плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
