1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 54
Текст из файла (страница 54)
е. приводится к сумме-разности квадратов его координат х' — х'. Но мы знаем, что скалярный квадрат вектора имеет такое выражение в ортонормированной и только е ортонормироеанной координатной системе псевдоевклидова пространства (9 42). Следовательно, хс представляют собой тоже ортонормироеанную координатную систему.
Окончательный результат: пространстео событий можно так взаимно однозначно отобразить на четьгрехмерное псеедоееклидоео пространстео индекса 1, что координаты событий 1, х, у, х, вычисленные с точки зрения любой инерциальной системы $, будут играть роль ортонормироеанных координат е псеедоееклидоеом пространстее (причем 1 нужно еще умножить на с): х'=х, х'=у, х'=х, (62.9) хе =с7, Тем самым выбор инерциальной системы О в пространстве событий равносилен выбору ортонормированной координатной системы в псевдоевклидовом пространстве, а переход от одной инерциальной 266 ОСНОВЫ СПЕЦИЛЛЬНОй ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ.
1Ч 9 62) 267 ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ системы 8 к другой Ю' равносилен переходу от одной ортонормированной координатной системы к другой. Но мы знаем, что этот последний переход совершается при помощи формул хг =- А' х'+ А', (62.10) где А' — псевдоортогональная матрица 4-го порядка, индекса 1. Напомним, что это означает, что матрица А," связана со своей обратной матрнцей А,'О как следует из соотношений (50.7), сле. дующим образом: 4ю' Аю' Аю' Аю' А' А' А' А' Ан Аз' Аз' Аз' ! А;,— А,', — А,', А,', Аю р з' А,', А' з' — А,' Аз ,4з, А,', (62.11) — А,', А,', 4з Аа з' ММз=(хз хт)з 1-(ха — ха)а ( (ха — хз)з и расстояние ММ в пространстве событий совпадает с точки зрения системы 8 с обычным расстоянием между точками, где события произошли. Если же относительно системы 3 два событии М и М произошли в одной точке, хз = ха х'=х' з х'=х' Другими словалзи, данная матрица Аг и обратная ей А,', совпадают после транспонирования одной нз них и умножения первой строки и первого столбца у одной из них на — 1.
При этом, как мы вскоре увидим, нам придется ограничиться случаем А," ) 0 (следовательно, и Аю ) О). Так как х' согласно (62.9) могут служить и координатами событий, то (62.10) дает нам общий вид перехода от одной инерцнальной системы к другой. Этим и решается основчая задача, поставленная в этол параграфе. В дальнейшем мьз всегда будем представлять себе, что пространство событии отображено указанным образом на псевдоевклидово пространство и восприняло его геометрию, причем инерциальные системы отсчета приняли вид ортонормирозанных координатных систем. Заметизй что если два события М, М являются одновреиенными относительно какой-либо системы отсчета Я, то в соответствующей ортонориированной системе х' = хь формула (62А) принимает вид 268 основы специальной твогин относительности (гч, гг то формула (62.4) дает ММ' = — (хв — х')', откуда видно, что расстояние ММ в пространстве событий будет мнимым и равно 1(ха †') = (с(1 — 1), т.
е. равно промежутку времени, протекшему между этими событиями, умноженному на гс. Таким образом, псевдоевклидова метрика в пространстве событий носит универсальный характер и объединяет в себе измерение как пространственных, так и жременнйх расстояний. В первом случае расстояния в этой метрике получаются вещественными, во втором— мнимыми. й 63, Формулы Лоренца Разберемся теперь детально в полученном результате, именно в новых формулах перехода (62.10) от одной инерцнальной системы к другой. С геометрической точки зрения речь идет о переходе от одной ортонормированной координатной системы к другой в пространстве событий, т. е. в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1. Этот переход изучался нами специально в $ 48.
Там было выяснено, что, проделав предварительно тривиальные вращения над ортонормированными реперами 61 и Я' и параллельный сдвиг одного из них, можно свести преобразование к простому виду (48.10), (48. 11): е,.=, е,= еч+ ре, рее+ ег е„=е,, е, . е,, (63.1) — '=+ )'1-(1*' причем 0 неподвижно. Соответствующее преобразование ортонормированных координат х' будет иметь вид х' — Их', — ()х'+ х' х = ', х' = х' =к' х' =х' (68.2) ~ У1-()" ~ У~-~' ' (см. переход от преобразования (50.1) к (50.6)). Посмотрим, что означает этот результат с точки зрения пространства событий, Прежде всего параллельный сдвиг репера, например И, означает, что над ортоиормированными координатами х', х~, х', к~ произведено преобразование, заключающееся в добавлении к ним некоторых констант.
Но так как координаты хг имеют теперь в соответствующей ииерциальной системе 3 физический смысл (62.9), то зто означает, что некоторые константы добавились к Г, х, у, з, т. е. изменен начальный момент отсчета времени и координатные оси Х, У, Е параллельно сдвинуты и укреплены на прежней ьплатформе» в иовом положении. Такое изменение системы отсчета мы относили к числу тривиальных. ФОРМУЛЫ ЛОРЕНЦА Далее, тривиальное вращение репера И (и аналогично И') заключается в том, что вектор еь не меняется, а е„ е, еь испытывают вращение в своей плоскости, т.
е. в трехмерном собственно евклидовом пространстве. Отсюда вытекает„ что хь не меняется, а х', ха,ха подвергаются обычному ортогональному преобразованию. Но, учитывая (62.9), мы видим, что это означает некоторый определенный поворот координатных осей Х, У, Е при прежнем отсчете времени 1. Так как коэффициенты ортогонального преобразования константы от времени не зависят, то повернутые оси Х, У, Х твердо расположены относительно прежних осей Х, У, Л и укреплены на той же «платформеь, Такое преобразование системы отсчета мы тоже назвали тривиальным. Итак, за счет тривиальноео преобразования инерииальных систем отсчета 8 и 8', т. е.
сохраняя прежнее движение хплатформь и лишь иначе скрепляя с ними координатные оси Х, У, Е и Х', У' Х', а также, возможно, изменяя начальныа момент отсчета времени, можно добиться, чтобы переход от 5 к 5' принял вид (63.2). Чтобы выпуклее представить этот результат, перепишем формулы (63.2), пользуясь (62.9), в следующем виде: г — — х у' =у, е' =з. (63.3) хУ1 — бь хУ1 — 6 Здесь имеется четыре варианта выбора знаков в знаменателях. Однако мы из них оставим лишь один, именно, когда оба знака положительные.
В первой формуле мы делаем это на основе физических соображений: если бы знак знаменателя был отрицательным, то возрастание 1 вызывало бы убывание У (считая для простоты х, у, з постоянными). Другими словами, наблюдая с точки зрения системы Я' существование точки Я (х, у, з), скрепленной с системой Я, мы увидели бы все события происходящими в обратной последовательности.
Этот физическн абсурдный результат заставляет нас отказаться от анака минус в первой формуле (63.3) и, что то иге самое, в первой формуле (63.2) и по совершенно аналогичным причинам считать и в обшей формуле (62,10) коэффициент А," положительным: А,' ) О. Заметим, что с точки зрения пространства событий это означает, что переход от одной инерциальной системы к другой не есть любой переход от одного ортонормированного репера к другому. Этот переход представляет собой либо собственное движение, либо несобственное движение 1-го рода (но не 2-го и не З-го).
Соответственно этому инерциальным системам будут отвечать в пространстве событий ортонормированные реперы не всех четырех, а лишь двух классов. Что же касается случая знака минус в знаменателе второй форму. (63.3), то его устранение не связано с какими-либо 270 ОСНОВЫ СПЕПИАЛЬНОй ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. 1Т принципиальными соображениями и достигается просто изменением положительного направления оси Х на обратное, вследствие чего х' меняет знак.
Итак, окончательно формулы (63.3) мы будем писать в виде Т вЂ” — х х' =, у' =у, х' = х. (63.4) с, — бег+ х У'1-Р * У 1-йь * Таковы формулы перехода от одной инерциальной системы 8 к другой 5' после упрощений, внесенных предварительным тривиальным преобразованием этих систем отсчета. Конечно, нетрудно догадаться, каков настоящий смысл этих тривиальных преобразований: мы так повернули и сдвинули координатные оси, скрепленные с каждой из платформ, и так изменили начальный момент отсчета времени на одной из них, чтобы осн У, к системы 8 в начальный момент Е = О совпадали с осями 1", к' системы 3' в начальный момент !' = От а последующее движение Я' относительно Ю (равно как и 8 относительно Ю') происходило вдоль общей оси Х.
Однако, если бы мы попытались привести формулы преобразования к упрощенному виду (63,4), исходя непосредственно из этих соображений, то мотли бы легко запутаться в новых, еще неизвестных нам, пространственновременнйх соотношениях. Формулы (63.4) представляют собой аналог формул (61.1) и (61.2) и призваны их заменить при переходе от классической точки зрения к релятивистской. Уже беглое сравнение этих формул показывает глубокую разницу между ними, которая при дальнейшем исследовании станет еще более разительной. Прежде всего нужно выяснить смысл параметра Р, входящего в формулы (63.4).
По аналогии с (61,!), (61,2) следует ожидать, что он должен быть связан со скоростью движения и одной инерциальной системы относительно другой, и это действительно оправдывается. Рассмотрим точку Р, закрепленную в системе Я'. Ее координаты х', у', х' остаются, следовательно, постоянными; время же у будем считать переменным, так что мы рассматриваем одну и ту же (с точки зрения системы О') точку Р в разные моменты времени г'. Как будет восприниматься поведение точки Р с точки зрения системы О "г Дифференцируя почленно последние три из четырех уравнений (63.4) н учитывая, что в нашем случае йх'=йу'=йх'=О, получаем: 271 ф 631 ФОРМУЛЫ ЛОРВНЦЯ откуда йу йг ' йг — =рс, — =О, (63.5) о=()с, (63.6) Так как параметр )) меняется в пределах — 1<р<1, то скорость о может принимать значения в пределах — с < о < с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
