1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 50
Текст из файла (страница 50)
А именно, кроме спннреперов Я, описанных в начале в 57, мы будем допускать н такие Ж (е„ е„ ег, е;), которые отличаются от прежних переименованием е„ е, в е-,, е;, и наоборот, так что у них е„ е, будут лежать в А„ а е(, ей — в А,. Другими словами, к преобразованиям (57.1) мы присоединяем преобразование (58.5) а также преобразования, полученные наложением етого преобразо- вания на преобразования (57.1): Ф т ер = аре, + аре,. е,, = а,',е 7 + а,',е;, ем = а',,ес + а,',е"„ (58.6) ех =а)'ей, х ен=азе,. и' (58.7) Координаты спинора преобразуются при этом с помощью транспонированных обратных матриц: ф» ах фй „в а~,,~» (58.8) Под гпинорной еруппой мы будем теперь понимать группу, состоящую кок из преобризований (57.4), тик и из (58.8).
Эта расширенная спннорная группа будет, очевидно, несвязной, так как переход от старых преобразований к новым связан с перескакиванием векторов е„ е, со своей плоскости Ая на плоскость Аь (аналогично и для е;, ез) и непрерывным путем осуществлен быть не может. Покижем теперь. что спинорния вруппи в представлении ф покрывиет (двожды) всю ортогонильную аруппу в 77,+ (которые» гпинорные преобризовиния порождают собственные ортогонольныв митрич»с и ановые» вЂ” несобственные). Так как любые ортогональные преобразования в Й,' (и вообще в И„+) можно осуществить наложением некоторого числа зеркальных отражений, то достаточно доказать, что в представлении ф появляетсн любое зеркальное отражение.
Рассмотрим преобразование Мы изменили здесь обозначения коэффициентов по сравнению с (57.1), но обе матрицы 2-го порядка остались по существу прежними, т. е. произвольными унимодулярными матрицами. То же самое в краткой записи: ф 58] спиногы в 4-мятном комплексном пгостглнствв Я~ тензора (5Т.18), отвечаюшее спинорному преобразованию (58.8): (58.9) В частности, если взять преобразование (58.5), то обе матрицы ал а- будут единичными, и мы получим: л 'слв = с"". Здесь штрих поставлен при с, так как штрихование инлексов в этом частном случае неудобно.
Итак, спинорному преобразованию (58.5) отвечает транспонирование тензора сю в клетке 2-го порядка (58.2), а это равносильно зеркальному отражению хз — — ха при неизменных хл, ла, хл. Теперь ясно, что новые спинорные преобразования (полученные наложением преобразовании (58.5) на старые спинорные преобразования) дают в представлении ф несобственные ортогональные преобразования (полученные наложением зеркального отражения х' †на какие-то собственные ортогональные преобразования).
Требуется доказать, что этим путем получатся, в частности, все зеркальные отражения в )с,+. Для этой цели возьмем произвольную комплексную унимолулярную матрицу 2-го порядка М; дальше она остается фиксированной. Рассмотрим специальное спинорное преобразование вида (58.8), положив ~ ал ))= М, ! ссл )=М-'. (58.10) Тогда преобразование (58.9) над произвольным спинтензором сли можно переписать в матричной форме: )) лй )~ т М,~~ слй!,(М-л)т (58.1! ) где Т обозначает транспонированне матрицы. Очевидно, (М.))сл эта т () ел й ~) т.Мт М.)~ слй~ в последнем равенстве использовано (58.11), Отсюда видно, что матрица М ~)с"")1 при преобразовании (58.11) переходит в транспонированную матрицу; в частности, она не меняется, если была симметричной, и умножается на — 1 в случае косо- симметричности.
Комплексные матрицы 2-го порядка М )~с'"~ при фиксированной М и всевозможных !)с"й)) образуют четырехмерное комплексное 250 ЕВКЛНДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНнй [гл. ш линейное пространство, причем симметрические из них образуют трехмерное подпространство, а кососимметрические †прям (одномерное надпространство). Тем самым и среди тензоров с " найдется «й трехмерное надпространство тензоров, инвариантиых при(58. 11), и одномерное надпространство тензоров, умножающихся на — !.
Это означает, что ортогональное преобразование над х', которое порождается спинорным преобразованием (58.10), оставляет в )т+, неподвижной некоторую трехмерную плоскость )7;, «перепрокидываиь некоторую прямую ст+,. Итак, спинорное преобразование вида (58.10) порождает в )7~ зеркальное отражение относительно некоторой (тем самым кеизотропкой) плоскости )7,+. Остается показать, что этим путем можно получить всевозчожные зеркальные отражения а Я,", Зададимся произвольно иеизотропным вектором х Е )7,+ или, что то же, невырожденной матрицей схи (ср.
(58.3)), Подходящим выбором унимодулярной матрицы М всегда можно добиться, чтобы М [[с'"[[ оказалось кососимметрической матрицей; тем самым тензор с'~, а вместе с ним и вектор х умножаются на — 1 при спинорном преобразовании (58.11), и порождаемое им отражение в И7 идет в направлении наперед заданного вектора х. Вместе со всевозможными отражениями расширенная спинорнаи группа порождает в )7+ зсе вращения, собственные и несобственные, т.
е. все ортогональные матрицы, и наше утверждение доказано. При этом группа ортогональных матриц покрывается дважлы: каждой ортогональной матрице отвечают ровно два спинорных преобразования, отличающихся друг от друга множителем — 1. (Это можно показать так же, как н в случае спинорных преобразований (57.4).) Но каждое спинорное преобразование (вида (57.4) или (58.8)) влечет за собой соответствующее преобразовзние каждого спинтензора. В итоге ортогональному преобразованию ортонормированного репера в )7; отвечает некоторое преобразование каждого спинтензора и спинтензоры можно рассматривать как иектроевклидовы объекты в )7„+: для одного ортонормиронанного репера координаты спинтензора, в частности спинора 1)ь, ~р', можно выбрать произвольно; любоЙ другой ортонормированный репер получается нз данного определенным ортогональным преобразованием, соотвегственно которому и пересчитываются координаты спинтензора.
Так как наложению спинорных преобразований отвечает наложение соответствующих ортогональных преобразований, то указанное правило преобразования координат спинтензора действует н при переходе от любого ортоиормированного репера к любому другому. Здесь необходимо сделать важное уточнение: так как ортогональное преобразование определяет соответствующее спинорное пре- 8 58) спиногы в 4-манном псявдоевклидовом пгостглнстве 251 образование с точностью до множителя — 1, то правило преобразования координат спинтензора будет вполне определенным лишь для спинтензоров четной валентности. Действительно, в этом случае в тензорный закон преобразования элементы матрицы спинорного преобразования входит множителями четное число раз.
В случае же спинтензоров нечетной валентности, в частности спннора, тензорный закон преобразования будет определен с точностью до множителя — 1, а потому и спинтензоры нечетной валентности, в частности спиноры, в качестве центроевклндовых объектов имеет смысл зада вать лишь с точностью до множителя — 1 (т.
е. с точностью хо одновременного умножения всех координат спинтензора на — 1), 'Таким образом, спинтензоры нечетной валентности оказываются двузначными центроевклидовыми объектами. Это новые объекты, конечно, не сводящиеся просто к тензорам. Зато спинтензоры четной валентности задаютси однозначно и по существу не дают ничего нового по сравнению с тензораии: всякий спинтензор четной валентности после подходящего линейного преобразования его координат с постоянными коэффициентами превращается в некоторый тензор в тс,+, и этим путем можно получить любой тензор в й+. Это последнее утверждение доказать нетпудно. Сначала вспомним, что один раз контравариантный тензор х можно согласно (58.1) свести к спинтензору с"я= с"', сги = схй = О. Характерно, что одновалентный тензор эквивалентен двухвалентному спинтензору, так что спинор тр", ~Р нужно расценивать как нечто вроде «полувалентного» тензора.
Аналогичным образом любой лг-валентный тензор Р " Ч в )г; можно свести к 2лг-валентному спинтензору сх и х и -- х ~ю с симметрией индексов внутри каждой пары (при этом предполагается, что однотипность индексов в какой-либо паре влечет обращение координаты в нуль). Для этого достаточно каждый из индексов г,, ...
переделать в пару спинорных индексов Х,р„ ... по схеме (58.1), (58.2). й 59". Спиноры в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1 Построив спиноры и спинтензоры в комплексном четырехмерном евклидовом пространстве гг+, мы уже почти автоматически получаем их и для вещественных четырехмерных евклидовых пространств, При этом мы ограничимся пространством )г",' индекса 1, имеющим особое значение для физики; но и в остальных случаях можно поступать аналогично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
