1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В ортонормнрованной координатной системе объем йрр области Р выражается интегралом (54.1). В произвольной же аффинной координатной системе этот интеграл меняет свое значение, а именно, ведет себя как знакопостоянный относительный инвариант веса в 1, так что объема (в евклидовом смысле), вообще говоря, не выражает. Мы хотим все-таки получить выражение объема в произвольных аффинных координатах; з таком случае удобнее всего домножить интеграл (54.1) на (тоже знакопостоянный) инвариант веса + 1, так чтобы в результате получился бы уже настоящий инвариант, выражающий евклидов объем (Р'и области Р в любой аффииной координатной системе.
Простейшим инвариантом веса 2, связанным с метрикой евклидова пространства, является определитель, составленный из координат метрического тензора 226 ввклидово пгостгхнство л измвгвний [гл. ш Чтобы в этом убедиться, достаточно записать (54.10) в аргонорми- 0((чьу) рованной координатной системе; тогда 30 = 7-1,1(;=,) Ы= ~ 1, $')к)= 1, и мы получаем верное равенство )рр = ~ с(х~ .. с~х", О Особо следует заняться измерением объемов л-мерных параллелепипедов. Пусть параллелепипед построен на (линейно независимых) векторах а„ ..., а„. Интеграл (54.1), распространенный по нашему параллелепипеду, в любой аффинной координатной системе выражается формулой (37.13): Ъ'и — — ) ()е1) а'„)), (54.11) где ах †координа вектора атг Следовательно, согласно (54.10) евклидов объем параллелепипеда выражается формулой йур=3~ Я) ) ()е1) а[)).
(54.12) В частности, в ортонормированной координатной системе л и'-. 1, и следовательно, (к'о —— ) Ве1) а1)). Эта формула при и=3 хорошо известна из элементарной аналитической геометрии. Все сказанное относительно вычисления объемов в л-мерном евклидовом пространстве остается справедливым и для его т-мерных неозотролных плоскостей, поскольку они также несут на себе евклидову метрику. В результате объемы плоских гл-мерных областей также получают определенные численные значения.
В связи с этим (в отличие от аффинного пространства) мы можем сравнивать т-мерные объемы областей, расположенных в каких угодно (а не только параллельных) гл-мерных плоскостях. Однако плоскости эти должны быть неизотропными; для изотропных же плоскостей мы не имеем никакого прогресса сравнительно с аффинным случаем. В й 37 было выяснено, что задание простого отличного от нуля ш.вектора в вещественном аффинном пространстве равносильно заданию гл-мерной плоскости Й (с точностью до параллельного сдвига) с определенной ориентацией и с определенным объемом, указанными на ней.
Прн этом, если простой лт-вектор имел вид [а ... а„[, то л 54] измагхниа овъамов в ввщхстванном птоставнствв 227 У=ш1у у....у, | ац'*. ° |май| "ь. О/ ЦУ~ ' | ю (54.13) Множитель пг! добавлен для упрощения окончательного результата. Здесь имеет смысл выделить в качестве леммы следующее предложение. Пусть происходит свертывание тенворов Ь!, | и а| °" |м, причем тензор ац . см кососимметрический. Тогда Ь;,. |„а| ° |м=Ь!|д, . | 1айц (54.14) т. г. результат свертывания не меняется, если тензор Ь,, ч подвергнуть предварительно альтериаиии и сделать, таким образом, тоже кососиммгтричсским.
Чтобы проверить равенство (54.14), достаточно обнаружить, что каждая координата аь .. с входит в правую и левую части с одинаковыми коэффициентами (после приведения подобных членов), При этом мы рассматриваем лишь координаты аь ° в, при которых все индексы р„ ...,р различны, так как все прочие координаты равны нулю. В процессе суммирования в левой части (54.14) каждая координата ап и встретится |и! раз, а именно, когда |ы ..., | совпадают с р„ ..., р„ или получаются из них произвольной подстановкой; в случае нечетной подстановки ап " и входит с обра~ным знаком. В результате коэффициент при аь ° и будет иметь вид ~~ЬО (54.!5) где суммирование идет по перестановкам |, ...
|„ индексов р,...р , а знак ~ берется в зависимости от четности или нечетности соответствующей подстановки. но по определению альтернации (э 31) суьша (54.!5) после деления на ш! дает координату проальтерни- речь шла об объеме и-мерного параллелепипеда, построенного на векторах а„ ..., а„ (линейно независимых в силу (ад ...
а„~ чь'= О). Применяя этот результат в нашем вещественном евклидовом пространстве, мы вправе понимать объем параллелепипеда в евклидовом смысле (если плоскость неизотропная), так как задание объема в аффинном смысле равносильно †п наличии евклидовой метрики †е ззданню в евклидовом смысле. Мы хотим выяснить теперь, как будет выражаться евклидов объем, отвечающий нашему простому гп-сектору [аг...
а ) Чь О, через его координаты а' ' и, конечно, через координаты метрического тензора д| (в произвольной аффинной координатной системе). Один нз простейших инвариантов, которые можно составить из указанных тензоров, мы будем называть скалярным квадратом тп-вектора и определять путем свертывания следующим образом: 228 внклндоао ИРОстРАнство п измвгвний (гл. ш рованного тензора Ьр,, р„.' 1 Ь1ю .
Р»1 = »,1 ~~~ ~ЬО ... ею так что Х~Ьл г»=шЬ1» Р»1 (54.16) ДаЛЕЕ МЫ ПОДСЧИтЫВаЕМ КОЭффяцИЕНт Прн аг "- Рм В ПраВОй ЧаСтИ равенства (54.14), который совершенно аналогично (54,15) оказывается равным ~~~' ~ Ь!„, (54.17) Суммирование снова идет по перестановкам 1 ... г индексов р, ... р . При этом в силу косой симметрии тензора Ьр, Ь„,;„, = ~Ьич где знак (- зависит от четности или нечетности соответствующей подстановки. Следовательно, все слагаемые под знаком суммы (54.17) равны Ь1р, р 1, так что (54.18) Ьп г 1 гл(Ь1Р р 1 Сравнивая равенства (54.16) и (54.18), убеждаемся, что коэффициенты при а» - Р» в правой и левой частях (54.14) равны, и следовательно, лемма доказана.
Используя эту лемму для инварианта (54.13), мы можем, не меняя ничего по существу, произвести предварительно альтернацию по индексам гага ... 1 в произведении координат метрического тензора. Выполним сначала эту альтернацию (с умножением на лг1): лг)4ГПНЬОП ... лг ~„= [г, г, г„,1 азй а! и ° ° а /» = Р'г г г»я ш гз» (54. 19) вгт»л Ф и ° ° ° йг»г 3 ись результата альтернации в виде определителя, деленного на чг1, получается совершенно аналогично (35.1).
Из свойств определителя видно, что полученный тензор будет кососимметрнчегиим не точько по индексам юдг ... 1„, но и по индексам 7',у ... 7 . Кратким обозначением полученного тензора будет служить 4'ш: .. ~». ли вм 2 54) измвгвнив овьемов в вкщвстввнном пгостванствв 229 Теперь (54.13) иожно переписать в виде т'= ль, . д,. а' 'тай . ~ю. (54.20) Чтобы установить геометрический смысл этого инварианта, мы рассмотрим аффинный репер, в котором первые и векторов е,, ..., е„ принадлежат лг-мерной плоскости )с„ нашего лг-вектора (ат ...
а ». В этом репере векторы аы ..., а полностью разлагаются по е„, ..., е„, а потому их координаты с индексами 1=- т+ 1, е+ 2, ..., а равны нулю. Согласно (35.1) равны нулю будут и все координаты простого гл-вектора анп ч, среди индексов которых встречается хоть один, больший чем гн. В результате в процессе свертывания (54.20) можно считать, что все индексы пробегают значения лишь 1, 2, ..., и.
Теперь нужно учесть, что ап ..' — кососимметрический тензор, а потому при наличии двух одинаковых индексов его координаты обращаются в нуль. В сумме следует сохранить поэтому лишь те слагаемые, где все индексы (, ... ( (и аналогично ут ... у„) различны между собой, т.
е. получены из 1, 2. .. т некоторыми подстановками. В частности, в сумму (54.20) войдет слагаемое к„,..., „, а" '"а" '", (54.21) для которого (г(а ... („= 12 ... т и 1',уа ... у„=!2 ... т, а все остальные сла~аемые будут получаться из этого всевозможными подстановками индексов (, ... ( и индексов /, ... у„. Всего, таким образом, в сумме будет (лг!)' слагаемых. Но в силу кососимметричности тензоРов а' 4 и 4н ; ., „ ,,г относительно (, ...
г произведение этих тензоров не менвется при любой подстановке индексов (т ... г'„ (так как или оба множителя не меняются или оба меняют знак). То же справедливо и для индексов ут ... /„. Поэтому в сумме (54.20) все слагаемые равны между собой и совпадают с (54.21), а так как их число равно (т !)', то окончательно т=аы...вн г|...т(гл(п" ''' )'. (54.22) Согласно (35.1) гл(а" м=Ре1!а»,» (Е, )г= — 1, 2, ..., гл). (54.23) В правой части мы получаем определитель, составленный из координат векторов а,, ..., а относительно репера (О, е, ..., е„» в нашей т-мерноЙ плоскости )с .
280 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ [гл. и! Далее, согласно (54.19) ВДД ВДВ ° ° ° ВД (54.24) ьдь...т; дд...ш= где у, таким образом, — определитель метрического тензора плоскости Ад„. Теперь (54.22) принимает вид т = ~". (Ре[] ац~)е. (54.25) Теперь мы можем установить геометрический смысл ииварианта Е который определен для какого-либо простого гл-вектора (ад ...
а ] с координатами асд нн при помощи формул (54.13), или, что то зсе, (54.20). Если 1фО, то, как видно из (54.25), у~О и, следовательно, плоскость Я данного простого т-вектора неизотролная и ]т] = (р'о, (54. 26) где (Ро — евклидов объем пд-мерного параллелепипеда, построенного на векторах а„..., а . В самом деле, применяя к вд-мерному параллелепипеду на плоскости Я формулу (54.12), получаем: (Ро = ]/ ]у ] [ Ре1] аь!] (д', й = 1, 2, ..., Лд), (54,2у) Сравнивая зту формулу с (54.25), мы приходим к (54.26).
Если 1= О, то из (54.25) следует, что д'= О, а следовательно плоскость Я данного простого т-вектора изотропная (Ре1]ад] ~ О, так как а, ..., а линейно независимы), Окончательно, объем пд-мерного параллелепипеда, построенного на векторах а, ..., а (в неизотропноЙ )т'„), выражается через соответствующий пд-вектор (ад ... а ] следующим образом: (ро =- $'(~(, т, е. (рО = $' / дб... ВЫ Л, С а' ' ' ' '" а ' . дн,' = =-$ лд![а,б ...
уд„д а" 'нас -Д.]. (54,28) Добавим сюда еще одну формулу для объема пд-мерного параллелепипеда. А именно, если за векторы е,, ..., е принять, в частности, просто ад, ..., а , то [ 0(дфй) а'„=- ~,, Ре1[а~д] =- 1, ~ 1(д=й)' 231 $55) пОнятие о гвометгичвском Объекте и (54.25) принимает зид У =- у= Ре1 ) 4,. ! (ю', у =- 1, 2, ..., лг). Но, как мы знаем, л, =ее, в нашем случае, следовательно, д; = а,а (1, у= 1, 2, ..., т), и мы получаем: 1=-Ре()ага ( (1, /=1, 2, ..., и). г г — Гтити;д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
