1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

В остальном аксиомы говорят о свойствах этих взаимоотношений, но каких-либо нных взаимоотношений не уста- навливают. Из определения изоморфизма легко получается, в частности, что вектор-нуль отображается в вектор-пуль, сумма векторов отобража- ется в сумму отображенных векторов и т.

д. Линейная зависимость между векторами, как следует отсюда, переходит в линейную зави- симость с теми же коэффициентами. Поэтому размерность п, т. е, максимальное возможное число линейно независимых векторов, будет в нзоморфных пространствах обязательно одинаковой, $ 51) квьзигеенннля и ььеиннля ггзппы пгковтлзовьний 213 Выберем в первом аффинном пространстве какой-либо репер Я (О, е, ..., е„). В силу изоморфизма ему отвечает во втором пространстве некоторый репер И;(О", е"„ ..., еД. Каждому вектору х= х"е„ (51.5) отвечает вектор х» х"е„ (51.6) с теми же координатами х" в силу сохранения линейных зависимостей при нзоморфизме. В частности, радиус-вектор ОМ каждой точки М переходит в радиус-вектор О»М» преобразованной точки М", сохраняя прежние координаты х". Тем самым и точка М» имеет в преобразованном репере прежние координаты.

Итак, всякий данный изоморфизм двух аффинных пространств можно описать следующим образом. В первом пространстве задаемся произвольным репером И (О, еы ..., е„) а во втором пространстве берем соответствующий ему репер К (О», ег, ..., е„"). Каждой точке М (всктору х) в первом пространстве ставим в соответствие точку М» (вектор х") во втором пространстве так, чтобьч координаты М (вектора х") относительно второго репера были такими же, как и координаты М (вектора х) относительно первого репера. Обратно, задавшись реперами 9(ь, И," произвольно, мы прн помощи указанного построения всегда получаем изоморфизм, что обнаруживается тривиальной проверкой.

Этот изоморфизм переводит Я в Я; и определяется, очевидно, однозначным образом. Все сказанное справедливо и для частного случая, когда оба пространства совпадают, н речь идет об автоморфизме — аффинном преобразовании пространства в себя. Оба репера Иь и И," берутся тогда в одном и том же аффинном пространстве, и каждая его точка М переводится в некоторую точку М" с таким расчетом, чтобы М" относительно И," имела те же координаты хг, что и точка М относитеяьно И,. Пусть хе суть координаты точки М" относительно репера И„ и, следовательно, связаны с х~ формулами (51.3) хе = А," х'+ А'.

(51. 7) Но так как х' †координа произвольной точки М относительно репера И„ хе †координа преобразованной точки М» относительно того же репера Яь, то теперь формулы (51.7) дают аффинное 214 евклидова пгостглнство и измегвний [гл. ш преобразование пространства в сеоя, т. е, выражают координаты преобразованной ~очки как функции координат произвольно взятой исходной точки в неизменной координатной системе.

Очевидно, далее, что аффинные преобразования в данном аффннном пространстве образую~ группу. В самом деле, нз определения автоморфизма немедленно следует, что обратное к автоморфизиу преобразование есть тоже авточорфизм и наложение двух автоморфнзмов есть снова автоморфизм. Группу аффинных автоморфизмов мы будем называть аффинной группой. Наличие этой группы и есть точное выражение идеи однородности аффинного пространства.

В отличие от квазиаффинных преобразований аффинные преобразования по самому определению суть точечныг преобразования пространства (соответствующие преобразования векторов можно при желании считать слслствием точечных преобразований). Вместе с тем аффинное преобразование переводит каждый репер пространства снова в репер, так что мы получаем взаимно однозначное преобразование многообразия реперов в себя. Группа аффинных преобразований, рассматриваемых в многообразии реперов, является согласно сказанному выше однотранзитивной.

Понятие группы автоморфизмов аффинного пространства введено нами лишь на заключительном этапе его теории. Однако это не значит, что речь идет о маловах<ном понятии; напротив, эта группа играет огромную принципиальную роль. С ее точки зрения необходимо переосмыслить некоторые наши прежние понятия. Так, мы рассматривали до сих пор аффипные реперы как специального вида конструкции, оказавшиеся нам полезными. Теперь мы можем формулировать ипею, лежащую в основе этого понятия. Пусть нам дана совокупность фигур Я, обладающая следующим свойством: любую фигуру Я, этой совокупности можно перевести в любую фигуру Я этой же совокупности одним и только одним автоморфизмом данного пространства и любой автоморфизм пространства переводит каждую фигуру Ят нашей совокупности в некоторую фигуру Я этой же совокупности. Тогда фигуры Я называются реперами данного пространства.

Это опрелеление раскрывает настоящий смысл нзших аффинных реперов, но применимо не только к ним. Так же определяются реперы и в любом олнородном пространстве, т. е. в пространств, геометрические свойства которого могут быть определены как инварианты некоторой транзитивной группы взаимно однозначных преобразований этого пространства в себя(которая и будет группой его автоморфизмов). Заметим, что из нашего определения репера не вытекает его конкретный вид, например, что аффинный репер булет именно состоять из точки и и линейно независимых векторов; здесь остается произ- 9 511 квлзихяьнннля н кяьпннкя ггьппы птзовтьзовкний 215 ЯО-Я:, Я Йа (51,8) при одном и том же квазиаффинном преобразовании, то Яо Яо 1 Я .1 (51.

9) при одном и том же аффинном преобразовании (и обратно). вол, который используется в мелях наибольшей простоты и удобства. Интересно сравнить теперь группу аффинных и группу квазиаффиннььх преобразований в и'+и-мерном многообразии всевозможных реперов и-мерного аффинного пространства. Обе группы однотранзитивны, т. е. для любых двух реперов Мы Я; как в одной, так я в другой группе найдется точно одно преобразование, переводящее Й, в К. Но характер згих преобразований существенно различный.

В случае аффинного преобразования мы изоморфно отображаем аффинное пространство в себя, точки переходят в точки, векторы в векторы с сохранением всех их аффинных взаимоотношений; в частности, и реперы переходят в реперы (причем Я переходит в Я,). В случае квазиаффинного преобразования о преобразовании точек и векторов нет смысла говорить; каждый же репер Й переходит в новое положение Я так, что 5(ь относительно Я рзсположен точно так же, как Я", относительно Й,. ьч(ы уточняли это в том смысле, что векторы репера Я+ н смещение его начала сравнительно с началом Я разлагаются по векторам репера Й с теми же коэффициентами, как и в случае реперов ьМы Яа. Но это равносильно тому, что, переводя аффинным преобразованием Я в Я, мы заставим перейти и Я", в Яч. Таким образом, геометрический смысл того утверждения, что репер Я, "относиьельно Я и Я" относительно Я расположены одинаково, заключается в возможности перевести пару реперов Я, Я; в пару реперов Я, Я некоторым автоморфизмом нашего пространства.

Это определение пригодно пе только в аффинном, но и в любом однородном пространстве. Чы можем теперь формулировать следующее правило, исчерпывающее связь между аффиннььми и квазиаффинными преобрззованиями в многообразии реперов. Если четыре репера подобраны так, что 216 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [гл. ш Эту зависимость между аффинныл1и и квазиаффинныл1И преобрааованиями в многообразии реперов можно формулировать в виде перестановочности любого аффинного преобразования с любым квазиаффиннсчм преобразованием. Действительно, из (51.8), (5!.9) видно, что при выполнении данного аффинного и данного квазиаффинного преобразований, в том или другом порядке безразлично, репер й(ь все равно перейдет в репер д[".

Обратно, из перестановочности данных преобразований следует наше правило. Две однотранзитивные взаимно перестановочные группы преобразований в многообразии аффинных реперов представляют собой пример конструкции, играющей важную роль в геометрии и в теории групп Ли. А именно, если в каком-либо многообразии дана однотранзитивная группа взаимно однозначных преобразований этого многообразия в себя, то единственным образом определяется вторая однстранзитивная группа, преобразования которой будут перестановочнел со всеми преобразованиялчи первой.

В самом деле, задавшись как-либо элементами многообразия Аь, А"„ мы передвигаем эту пару элементов всевозможными преобразованиями первой группы в положения А, А"; в силу однотранзитивности первой группы А пробегает все многообразие, причем каждому положению А отвечает строго определенное положение Ач. Преобразование А — А" будет перестановочным со всеми преобразованиями первой группы и, как мы видим, однозначно определяется выбором А, — А",. Совокупность таких преобразований и образует вторую, тоже однотранзитнвную группу. Обе группы играют взаимно симметрическую роль. В случае мно~ообразия аффинных реперов все же естественно считать основной аффинную группу (группу автоморфизмов), а квазиаффинную группу †построенн дополнительно по принципу перестановочности с группой автоморфизмов, й 62ь. Группа квазидвнжеинй и группа движений в евклндовом пространстве )ь(ы проведем сейчас в евклидовом пространстве те построения, которые были выполнены в предыдущем параграфе для аффинного пространства.

Характеристики

Список файлов книги