1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Прн этом мы говорим, что векторы е, и е„ имеют одинаковую ориентацию тогда и только тогда, когда Ое((Аи') ) О, (50.13) и аналогично для е» н ех. 5 51) квхзиАФФиннАЕ и АФФиннАИ ГРУппы пРеоБРАзонлний 209 Чтобы зто понятие об одинаковой ориентации векторов е„ и е„ (и аналогично еы, ех) имело смысл, нужно, конечно, чтобы оно обладало транзитивностью.
Другими словами, нужно, чтобы сохранение ориентации е„ при переходе от первого репера ко второму и от второго к третьему влекло бы за собой сохранение ориентации е„ н при переходе от первого репера к третьему. Но это можно показать так: ввиду сохранения ориентации е„ оба перехода будут принадлежать к типам 1', 2' таблицы (50.12). Наложение двух таких движений дает движение снова типа 1' или 2', что легко усмотреть, беря для образца простейшие движения типов 1', 2'. Таким образом, для результирующего движения условие (50.13) снова соблюдается и е„для первого и третьего реперов имеют снова одинаковую ориентацию.
Для ех проводится совершенно аналогичное рассуждение, но для 1', 3'. Обращает на себя внимание то, что, оказывается, имеет смысл говорить об одинаковой (или различной) ориентации векторов, например, е« и е«ч несмотря на то, что онн определяют различные л-мерные плоскости. Но дело в том, что эти плоскости в нашем пространстве †максималь-мерные плоскости со знакоотрнцательной метрикой (х» ( О), а такие плоскости, как можно было бы показать, нельзя вращать слишком свободно (иначе в них появятся х») О), в частности, нельзя «перевертывать» и накладывать на себя с обратной ориентацией. Поэтому ориентацию, выбранную на одной из ннх, можно однозначно перенести, непрерывно вращая эту плоскость, и на все другие такие плоскости, — подобно тому, как это можно сделать (применяя грубое сравнение) для всех плоскостей обычного пространства, наклоненных к данной плоскости под углом не более чем, например, 20'.
Выберем какой-нибудь репер Я, и разобьем все реперы пространства на четыре класса в зависимости от того, получаются ли онн из Я, движениями собственными илн несобственными 1-го, 2-го и 3-го рода. Тогда согласно выше сказанному в пределах каждого класса возможен непрерывный переход от одного репера к другому, но непрерывный переход от одного класса к другому невозможен. Очевидно, такое разбиение всех реперов Я на четыре класса от выбора начального репера Я нв зависит (если нумерацией этих классов не интересоваться). й 51*. Квазиаффинная и аффиннзя группы преобразований В этом и следующем параграфах мы хотим отчетливо выявить некоторые ведущие идеи, лежащие в основе аффинной, евклидовой н вообще всех «однородных» геометрий. В самом деле, однородный в каком-то смысле характер рассмотренных нами до сих пор пространств, их одннзковое строение в разных местах и в разных квклидово пгостгьнство л измкгкний (гл, ш 210 направлениях, с наглядной точки зрения представляется очевидным.
Этой идее однородности мы прндадим точну|о математическую форму, в этом параграфе для аффннных, а в следующем — для евклидовых пространств. Попутно мы уточним и понятие о преобразованиях репера; с этого мы даже и начнем. Произвольный репер в л-мерном аффинном пространстве (О, е,, '..., е„) определяется лк-1- л независимыми параметрами в комплексном случае †комплексны, к вещественном в вещественными). Действительно, начало 0 и каждый из векторов ег определяется л координатами.
При этом из условия линейной независимости векторов репера следует, что определитель, образованный их коордннатамн, отличен от нуля. В остальном лк + л параметров совершенно произвольны. Мы рассматривали до сих пор обычно преобразование одного определенного репера н другой. Сейчас мы станем на более широкую точку зрения и будем применять данное преобразование сразу ко всем оо" +" аффинным реперам, в результате чего каждый из них переходит в некоторый другой. А именно, применить данное преобразование н многообразию *) аффинных реперов это значит указать для каждого репера (О, еы ..., е„) новый репер (О', егч ..., е„), имеющий заданное расположение относительно старого репера.
Другими словами, для каждого репера (О, е,, ..., е„) векторы егч ..., е„и вектор сдвига 00' разлагаются по е„..., е„ с одними и тели жв численными коэффициентами: 00' = А' ег ен = А,'.е,, (51.!) 00' = — А"ен, Ав= — А'Аг и, обратно, А'= — А,',А". Тогда (51.2) Последние соотношения легко получить, пользуясь зависимостью между е; и ен. Рассматриваемые нами в многообразии реперов преобразования (51.1) являются, очевидно, взаимно однозначными и образуют группу.
*) Множество всех аффннных реперов мы будем называть многообразием, намекая на его некоторые геометрические свойства; общая формулировка понятия многообразия будет дана позже. Произвольно взятыми численными коэффициентами А( Аг (при условии Ое((А',,(~ О) и характеризуется данное преобразование в многообразии реперов. Можно также вместо коэффициентов А' задаваться коэффициентами А" (как мы делали в 2 2Ф), положив $ 51) квкзилььиннкя и каьиннкя ггзппы пгвовгкзовлннй 211 1!оследнее означает, что совокупность наших пргзбразований содержит, во-первых, обратное преобразование для каждого из них и, во-втор»их, результируюи1ее преобразование для любых двух из них (а следовательно, и тождественное преобразование), Проверка этих утверждений тривиальна; достаточно убедиться, что при построении обратного и результирующего преобразований мы получаем преобразовзние того н<е вида (51.1), причем его коэффициенты А, 'А' полностью выражаются через коэффициенты исходных преобразований (и следовательно, вместе с ними имеют одни и те же численные значения для всех реперов).
Преобразования многообразия аффинных реперов в себя (51.1) мы будем называть квазиаффинными преобразованиями, а группу зтих преобразований — квазиаффинной группой. Квазиаффинная группа в многообразии реперов является однотранзитивной, т. е.
квази-. аффинное преобразование вполне определяется заданием двух произвольно выбранных реперов ( О, е„ ..., е„) н ( О', егч ..., е„.), если потребовать, чтобы первый из них при этом переходил во второй. Действительно, коэффициенты А;',, А' вполне определятся нз разложений (51.1), а тем самым определится и соответствующее квазиаффинное преобразование (путем применения формул (51.1) с теми же численнымн значениями А;'ч А' к каждому реперу). Очень важно отчетливо представлять себе, что квазиаффинная группа действует не в аффинном пространстве, а в многообразии его реперов.
Более того, ее нельзя даже истолковать как группу, действующую в самом аффинном пространстве. В самом деле, попробуем истолковать квазиаффинное преобразование как точечное преобразование в аффннном пространстве. Длн этого рассмотрим всевозможные реперы, имеющие общим началом какую-нибудь точку О, и подвергнем их одновременно одному и тому же квазиаффинному преобразо. нацию. Векторы сдвигз ОО', именно потому, что они будут разлагаться в разных реперах с одними и теми же коэффициентами А', будут, вообще говоря, различными, и начала наших реперов красползутся» из общей точки О по разным направлениям.
Точка О в результате квазиаффинного преобразования не будет иметь образа. Квазиаффинное преобразование многообразия реперов можно также рассматривать как преобразование соответствующих аффинных координатных систем; а именно, каждая координатная система преобразуется в другую согласно (24.20): х" = Аух'+ А", (51. 3) где А";,Ав имеют фиксированные значения: А," — матрица, обратная Аггп Ав имеет то же значение, как и в (5!.2). Здесь х' — кооодинаты произвольной точки относительно старого репера, а хв — координагы ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ (гл.
ш той же точки относитель«о преобразованного репера; коэффициенты преобразования произвольны с единственным ограничением Ре1) АУ ) чи О. (5!А) Оставим теперь квазиаффинные преобразования и займемся во- просои «об однородиостил аффинного пространства. Прежде всего формулируем понвтие об изоморфизме лвух и-мерных аффинных прост- ранств. Мы называем аффинным изоморфизмом двух аффинных про- странств такое взаимно однозначное отображение точек одного пространства в точки другого и векторое одного пространства в векторы другого, что; 1) если точкам А, В первого простран- ства отвечают точки А*, В* второго пространства, то вектору АВ отвечает вектор А*В"; 2) если вектору х первого пространства отвечает вектор х+ второго пространства, то вектору их отвечает вектор ахе (где и — любое число, комплексное в случае комплекс- ного пространства и вещественное в случае вещественного прост- ранства).
В частности, когда рассматриваемые пространства совпадают и речь идет о взаимно однозначном отображении точек и векторов аффинного пространства в точки и векторы того же пространства (с соблюдением прежних требований), то изоморфнзм мы булем назы- вать автоморфизмом или аффинным преобразованием аффинного пространства в себя.
Наше определение изоморфизма подобрано так, что, переходя от точек и векторов первого пространства к точкам и векторам второго пространства, мы не нарушаем никаких их аффииных свойств и соотношений; эти взаимоотношения в точности повторяются и после перехода. Действительно, если внимательно просмотреть нашу акси- оматику аффинного пространства, то нетрудно заметить, что в ней фигурирую~ по существу лишь два основных взаимоотношения между точками и векторами: что данный вектор х определяется парой данных точек А, В (х = АВ) и что данный вектор у есть вектор х, умноженный на число а (у =- пх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
